小學四年級奧數(shù) 第二十七講 加法原理和乘法原理的綜合應用溫馨提示運用加法原理計數(shù)，關鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。合理分類也是運用加法原理解決問題的難點，不同的問題，分類的標準往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗。運用乘法原理計數(shù)，關鍵在于合理分步。完成這件工作的N個步驟，各個步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此工作的方法也不同。運用兩個原理解決的都是比較復雜的計數(shù)問題，在解題時要細心、耐心、有條理地分析問題。計數(shù)時要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運用兩個原理。靈活機動地分層重復使用或綜合運用兩個原理，可以巧妙解決很多復雜的計數(shù)問題。例題精講【例1】用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒有限制）組成1元錢，有多少種方法？思路點撥：運用加法原理，把組成方法分成三大類：只取一種人民幣組成1元，有3種方法：10張1角；5張2角；2張5角。取兩種人民幣組成1元，有5種方法：1張5角和5張1角；一張2角和8張1角；2張2角和6張1角；3張2角和4張1角；4張2角和2張1角。取三種人民幣組成1元，有2種方法：1張5角、1張2角和3張1角的；1張5角、2張2角和1張1角的。所以共有組成方法：3+5+2=10（種）?！纠?】各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個？思路點撥：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字，最大只能是9，24可分拆為：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。運用加法原理，把組成的三位數(shù)分為三大類： 9、9、7三個數(shù)字可組成3個三位數(shù)：997、979、799；由9、8、7三個數(shù)字可組成6個三位數(shù)：987、978、897、879、798、789；由8、8、8三個數(shù)字可組成1個三位數(shù)：888。所以組成三位數(shù)共有：3+6+1=10（個）。【例3】下圖中共有16個方格，要把A，B,C,D四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個棋子，問共有多少種不同的放法？思路點撥：從運用乘法原理，把放棋子的過程分為三個步驟：第一步：放棋子A。棋子A可以任意放，有16種放法。（如下圖一）第二步：放棋子B。棋子B不能放在棋子A所在的行或列，對應棋子A的每一種放法，棋子B都可以放在剩下的9個方格的任意一格里，有9種放法。（如下圖二）第三步：放棋子C。棋子C不能放在棋子A、B所在的行或列，對應前面的每一種放法，棋子C可以放在剩下的4個方格的任意一格里，有4種放法。（如下圖三）第四步：放棋子D。棋子D不能放在棋子A、B、C所在的行或列，對應前面的每一種放法，棋子D都只有1種放法。（如下圖四）所以，四顆棋子共有不同的放法：16×9×4×1=576（種）【例4】2003年12月6日0時起，南京市電話號碼從7位升至8位。由于特殊需要，電信部門一直有這樣的規(guī)定：普通市內(nèi)電話號碼的首位數(shù)字不使用0，1，9。升位前南京市普通電話號碼的容量為多少門？升位后，南京市內(nèi)電話號碼的容量增加了多少門？思路點撥：從電話號碼由09共10個數(shù)字組成，數(shù)字可以重復使用。升位前的7位電話號碼，首位數(shù)字不使用0，1，9，共有7種不同的選擇，第二、三、四、五、六、七位數(shù)字都有10種不同選擇?？?cè)萘繛椋?×10×10×10×10×10×10=7000000（門）。同理可算出，升位后8位電話號碼總?cè)萘繛椋?×10×10×10×10×10×10×10=70000000（門）。升位后，南京市內(nèi)電話號碼的容量增加了：700000007000000=6300000（門）。【例5】如下圖，用紅、綠、藍、黃四種顏色涂編號為1，2，3，4的長方形，使任何相鄰的兩個長方形的顏色都不同。一共有多少種不同的涂法？思路點撥：涂色的過程可以分為三步。第一步：給1號長方形涂色，有4種涂法。可以選任意一種顏色。第二步：給2號長方形涂色，有3種涂法。對于1號長方形每種不同的涂法，2號長方形都可以在剩下的3種顏色里選任意一種，即有3種涂法。所以，前兩步1號和2號長方形共有配色方案4個3種：4×3=12（種）。第三步：給3號、4號長方形涂色。 3號長方形與1號相鄰，與2號不相鄰，對于1、2號長方形的每一種配色方案，3號長方形都可以選與1號不同的3種顏色，按3號長方形的涂色情況，可把本題的涂法分為兩大類：第一大類，3號長方形選與2號相同的顏色。3號長方形只有一種涂法，這時4號長方形可以選與2號不同的3種顏色，有3種涂法。第一類共有不同涂法：12×1×3=36（種）。第二類，3號長方形選與1、2號都不同的顏色。3號長方形有2種涂法，這時4號長方形可以選剩下的與2號、3號不同的2種顏色，有2種涂法。第二類共有不同涂法：12×2×2=48（種）。 所以，這題一共有不同的涂法：36+48=84（種）?！纠?】如下圖，要從A點沿線段走到B點，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，問有多少種不同的走法？思路點撥：如下圖，先用字母標出圖中的每一個點，沿右上方向從點A到點B可以分為多步走，而每一步的走法又可以分為幾類，比較復雜，需要重復綜合使用加法原理和乘法原理。 上圖中，從右上往左下逐步分析：因為每一步都是向右、向上或向斜上方，因此每個點只能經(jīng)過它左、下或左下方的點到達。最后一步到達點B的走法有兩類：由I到B或由J到B。A到B的不同走法種數(shù)，就等于A到I的走法種數(shù)與A到L的走法種數(shù)之和。此前一步，到點I的走法有兩類：由F到I或由G到I,走法種數(shù)即A到F的走法種數(shù)與A到G的走法種數(shù)之和；到點J的走法有三類：分別由I、G或H到J,走法種數(shù)即A到I的走法種數(shù)、A到G的走法種數(shù)與A到H的走法種數(shù)之和。依次類推從左下到右上標出點A到每個點的走法種數(shù)，逐層解題：第一層：從A到C、D、E三個點只能向右，都只有1種走法。第二層：到F點有兩類走法，分別由A、C到達，每類都只有一種走法，共2種走法；到G點有三類走法，分別由F、C、D到達，三類走法種數(shù)之和為4種；到H點有三類走法，分別由G、D、E到達，三類走法種數(shù)之和為6種。第三層：到I點有兩類走法，分別由F、G到達，兩類走法種數(shù)之和為6種；到J點有三類走法，分別由I、G、H到達，三類走法種數(shù)之和為16種。最后一步到B點有兩類走法，分別由I、J到達，兩類走法種數(shù)之和為22種。所以，從A到B共有不同的走法22種。按：類似的復雜路線問題，都可以用這種方法求解。智慧挑戰(zhàn)1某人到食堂去買飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買一樣，共有多少種不同的買法？2從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種不同的選法？ 3. “IMO”是“國際數(shù)學奧林匹克”的縮寫，要求把這三個字母涂上三種不同的顏色，且每個字母只能涂一種顏色現(xiàn)有五種不同顏色的筆，按上述要求能有多少種不同的涂色方法4. 老師要求小剛在黑板上寫出一個減法算式，要求被減數(shù)必須是三位數(shù)，減數(shù)必須是兩位數(shù)請問小剛共有多少種不同的寫法 5. 書架上有三層書，第一層放了15本小說，第二層放了10本漫畫，第三層放了5本科普書，并且這些書都各不相同請問：（1）如果從所有的書中任取1本，共有多少種不同的取法？（2）如果從每一層中各任取1本，共有多少種不同的取法？（3）如果從中取出2本不同類別的書，共有多少種不同的取法？家庭驛站1. 從甲地到乙地有3條路，從乙地到丙地有3條路，從甲地到丁地有2條路，從丁地到丙地有4條路如果要求所走路線不能重復，那么從甲地到丙地共有多少條不同的路線             2. 在下圖中，從A點沿線段走到B點，每次只能向上或向右走一步，共有多少種不同走法？ BAA參考答案：12×4×3=24（種）215+10+6=31（種）3 5×4×3=60（種）4 900×90=81000（個）5 （1）30種 （2）750種 （3）275種117種不同走法 210種。