專題一 集合、常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式第1節(jié) 集合、常用邏輯用語(yǔ)自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012·浙江)設(shè)集合Ax1x4，集合Bxx22x30，則A(RB)A(1,4) B(3,4) C(1,3) D(1,2)(3,4)解析首先用區(qū)間表示出集合B，再用數(shù)軸求A(RB)解x22x30得1x3，B1,3，則RB(，1)(3，)，A(RB)(3,4)答案B2(2012·福建)下列命題中，真命題是Ax0R，0BxR,2xx2Cab0的充要條件是1Da1，b1是ab1的充分條件解析應(yīng)用量詞和充要條件知識(shí)解決對(duì)于xR，都有ex0，故選項(xiàng)A是假命題；當(dāng)x2時(shí)，2xx2，故選項(xiàng)B是假命題；當(dāng)1時(shí)，有ab0，但當(dāng)ab0時(shí)，如a0，b0時(shí)，無(wú)意義，故選項(xiàng)C是假命題；當(dāng)a1，b1時(shí)，必有ab1，但當(dāng)ab1時(shí)，未必有a1，b1，如當(dāng)a1，b2時(shí)，ab1，但a不大于1，b不大于1，故a1，b1是ab1的充分條件，選項(xiàng)D是真命題答案D考題分析高考對(duì)集合的考查主要集中在集合的運(yùn)算與集合間關(guān)系的判定與應(yīng)用，常用邏輯用語(yǔ)考查知識(shí)面十分廣泛，可以涵蓋函數(shù)、立體幾何、不等式、向量、三角函數(shù)等內(nèi)容考查的形式多為選擇題，難度不大，但需掌握基本知識(shí)與方法網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：集合的概念與運(yùn)算【例1】(1)(2012·朝陽(yáng)二模)已知集合A0,1，B1,0，a3，且AB，則a等于A1B0 C2 D3(2)(2012·西城二模)已知集合Axlog2x1，Bx0xc，其中c0若ABB，則c的取值范圍是A(0,1 B1，) C(0,2 D2，)(3)(2012·宜春模擬)設(shè)全集UR，Ax2x(x2)1，Bxyln(1x)，則圖中陰影部分表示的集合為Axx1 Bx1x2Cx0x1 Dxx1審題導(dǎo)引(1)利用子集的定義求解；(2)解出A，然后借助于數(shù)軸解決；(3)觀察圖形，求得陰影部分表示的集合，解出A，B并求解規(guī)范解答(1)AB，a31，a2.(2)解不等式log2x1，得0x2，Ax0x2ABB，AB，c2.(3)解不等式2x(x2)120得0x2，Ax0x2又易知Bxx1，圖中陰影部分表示的集合為A(UB)x0x2xx1x1x2答案(1)C(2)D(3)B【規(guī)律總結(jié)】解答集合間的關(guān)系判定與運(yùn)算問(wèn)題的一般思路(1)正確理解各個(gè)集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性、代表的意義(2)根據(jù)集合中元素的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合(3)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化一般規(guī)律為：若給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若給定的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若給定的集合是抽象集合，用Venn圖求解易錯(cuò)提示(1)準(zhǔn)確理解集合中代表元素的屬性，以求解有關(guān)不等式(如例1中的第(3)題，集合B表示函數(shù)yln(1x)的定義域)(2)在借助于數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，要標(biāo)清實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)，避免漏解或增解(如例1中的第(2)題)【變式訓(xùn)練】1(2012·三明模擬)已知集合Mm，3，Nx2x27x30，xZ，如果MN，則m等于A1 B2 C2或1 D解析由2x27x30，得3x，又xZ，N2，1，又MN，m2或1.答案C2(2012·海淀二模)設(shè)全集為R，集合M，N，則集合可表示為AMN BMNC(RM)N DM(RN)解析根據(jù)橢圓的有界性知Mx2x2，解不等式0，得Nx1x3由圓的定義可得x2x1，即M(RN)答案D考點(diǎn)二：命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞【例2】(1)(2012·濰坊模擬)命題：“若x21，則1x1”的逆否命題是A若x21，則x1，或x1B若1x1，則x21C若x1，或x1，則x21D若x1，或x1，則x21(2)若p是真命題，q是假命題，則Apq是真命題 Bpq是假命題Cp是真命題 Dq是真命題審題導(dǎo)引(1)按照四種命題的定義即可解決；(2)由復(fù)合命題的真值表判定規(guī)范解答(1)“1x1”的否定是x1，或x1.又由逆否命題的定義，原命題的逆否命題為：若x1，或x1，則x21.(2)由條件知，p是假命題，q是真命題，故選D.答案(1)D (2)D【規(guī)律總結(jié)】命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及到的相關(guān)交匯知識(shí)辨別(2)四種命題的真假的判斷根據(jù)：一個(gè)命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個(gè)命題的真假無(wú)必然聯(lián)系(3)形如p或q、p且q、p命題的真假根據(jù)真值表判定【變式訓(xùn)練】3(2012·衡水模擬)命題A：若函數(shù)yf(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限那么命題A的逆命題、否命題、逆否命題這三個(gè)命題中假命題的個(gè)數(shù)是A0 B1 C2 D3解析易知命題A是真命題，其逆否命題也是真命題，A的逆命題與否命題都是假命題答案C4(2012·石家莊模擬)有下列命題：p：函數(shù)f(x)sin4xcos4x的最小正周期是；q：已知向量a(，1)，b(1，2)，c(1,1)，則(ab)c的充要條件是1；r：若(a1)，則ae.其中所有的真命題是Ar Bp，q Cq，r Dp，r解析f(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)cos 2x，T，故p是真命題；ab(1，21)，(ab)c，則20，即1或0，故q是假命題；dxln xln a1，ae，故r是真命題答案D考點(diǎn)三：量詞、含有量詞的命題的否定【例3】下列命題中是假命題的是Ax，xsin xBx0R，sin x0cos x02CxR, 3x0Dx0R，lg x00審題導(dǎo)引對(duì)全稱命題與特稱命題真假的判定，要結(jié)合具體的知識(shí)進(jìn)行，要特別注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性規(guī)范解答x，設(shè)單位圓與角x的終邊交于點(diǎn)P(m，n)，與m軸正半軸交于點(diǎn)A(1,0)，作PMm軸于M，由正弦函數(shù)的定義，知MPsin x，的長(zhǎng)lx，由S扇形OAPSOAPxsin x，故x，xsin x，即選項(xiàng)A是真命題；sin xcos xsin，所以不存在x0R，使sin x0cos x02，故選項(xiàng)B是假命題故選B.(事實(shí)上，由指數(shù)函數(shù)的值域xR,3x0是真命題；取x01，lg x0lg 10，故x0R，lg x00是真命題)答案B【規(guī)律總結(jié)】全稱命題與特稱命題的判斷方法對(duì)于特稱命題的判斷，只要能找到符合要求的元素使命題成立，即可判斷該命題成立；對(duì)于全稱命題的判斷，必須對(duì)任意元素證明這個(gè)命題為真，也就是證明一個(gè)一般性的命題成立時(shí)，方可證明該命題成立，而只要找到一個(gè)特殊元素使命題為假，即可判斷該命題不成立易錯(cuò)提示注意對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、方程等知識(shí)在解題中的應(yīng)用，在判斷由這些知識(shí)組成的全稱或者特稱命題時(shí)，要特別注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)的值域、三角函數(shù)的定義域和周期性、不等式成立的條件等【變式訓(xùn)練】5(2012·朝陽(yáng)二模)若命題p：xR，0，則其否定是_解析不等式0的隱含條件為0且x2x10，綈p：xR，0，或x2x10.答案綈p：xR，0，或x2x106命題p1：x(0，)，xx；p2：x(0,1)，；p3：x(0，)，x；p4：x，x，其中的真命題是Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4解析取x，則1，log321，p2正確；當(dāng)x時(shí)，x1，而1，p4正確答案D考點(diǎn)四：充分必要條件【例4】(1)(2012·黃岡模擬)已知條件p：x1，條件q：1，則綈p是q的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既非充分也非必要條件(2)(2012·豐臺(tái)二模)已知p：2，q：x22x1m20(m0)，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A(0,9) B(0,3) C(0,9 D(0,3審題導(dǎo)引(1)求出綈p與q中x的范圍后，再判斷；(2)先解p與q中的不等式，然后利用數(shù)軸求解規(guī)范解答(1)p：x1，又易知q：x0或x1，p是q的充分不必要條件(2)解不等式2得p：2x10，又x22x1m2x(1m)x(1m)0，且m0，q：1mx1m.p是q的充分不必要條件，q是p的充分不必要條件由圖得或0m3.答案(1)A(2)D【規(guī)律總結(jié)】充分必要條件的判定方法(1)充要關(guān)系的判斷就是在兩個(gè)條件之間互推，當(dāng)問(wèn)題為A是B的什么條件時(shí)，如果AB，反之不成立的話，則A是B的充分不必要條件(B是A的必要不充分條件)；如果BA，反之不成立的話，則A是B的必要不充分條件(B是A的充分不必要條件)；若AB，則A，B互為充要條件(2)充要關(guān)系可以從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿足命題p的集合為M，滿足命題q的集合為N，則M是N的真子集等價(jià)于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價(jià)于p是q的必要不充分條件，MN等價(jià)于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價(jià)于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件易錯(cuò)提示充分必要條件的判斷應(yīng)注意問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式，我們知道：A是B的充分不必要條件是指：AB且BA；A的充分不必要條件是B是指：BA且AB.在解題中一定要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤【變式訓(xùn)練】7(2012·咸陽(yáng)二模)下面四個(gè)條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3解析ab1b，ab1是ab的充分條件，但當(dāng)ab時(shí)不能推出ab1，故選A.答案A8(2012·成都模擬)已知p：|x10|9x|a的解集為R，q：1，則綈p是q的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析|x10|9x|1，且|x10|9x|a的解集為R，p：a1，則p：a1；解不等式1，得q：a0或a1，p是q的充分不必要條件答案A名師押題高考【押題1】設(shè)全集UR，集合A，BxZx29，則圖中陰影部分表示的集合為A1,2 B0,1,2Cx0x3 Dx0x3解析圖中陰影表示的是AB，化簡(jiǎn)集合：AxZ0x30,1,2，BxZ3x33，2，1,0,1,2,3，所以AB0,1,2，故選B.答案B押題依據(jù)高考對(duì)集合的考查集中在三個(gè)方面：集合的表示方法，元素的性質(zhì)特征與集合的運(yùn)算本題與不等式的解法交匯命題、綜合性較強(qiáng)重點(diǎn)考查集合的運(yùn)算，難度不大，但重點(diǎn)突出，立意新穎，故押此題【押題2】已知命題p1：當(dāng)x，yR時(shí)，|xy|x|y|成立的充要條件是xy0. p2：函數(shù)y2x2x在R內(nèi)為減函數(shù)，則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命題是Aq1，q3Bq2，q3Cq1，q4Dq2，q4解析解法一p1是真命題，事實(shí)上：(充分性)若xy0，則x，y至少有一個(gè)為0或兩者同號(hào)，|xy|x|y|一定成立(必要性)若|xy|x|y|，兩邊平方，得x22xyy2x22|xy|y2，xy|xy|.xy0.故p1為真而對(duì)于p2：y2xln 2ln 2ln 2，當(dāng)x0，)時(shí)，2x，又ln 20，y0，函數(shù)單調(diào)遞增；同理得當(dāng)x(，0)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故p2是假命題由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故選C.解法二p1是真命題，同解法一對(duì)p2的真假可以取特殊值來(lái)判斷，如取x11x22，得y1y2；取x31x42，得y3y4，即可得到p2是假命題，由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故選C.解法三p1是真命題，同解法一對(duì)p2：由于y2x2x22(等號(hào)在x0時(shí)取得)，故函數(shù)在R上有最小值2，故這個(gè)函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù)，p2是假命題，由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真故選C.答案C押題依據(jù)常用邏輯用語(yǔ)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是高考考查的熱點(diǎn)，本題綜合考查了命題的真假判斷，充分必要條件及邏輯聯(lián)結(jié)詞，題目難度適中，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，重點(diǎn)知識(shí)的考查，故押此題