17.1 勾股定理投我以桃，報之以李。詩經(jīng)·大雅·抑原創(chuàng)不容易，【關(guān)注】店鋪，不迷路！第 2 課時勾股定理的應用一、新課導入1.導入課題前面我們學習了勾股定理的意義，它具有廣泛的實際應用，下面我們試用它來解決幾個問題. 2.學習目標（1）能應用勾股定理計算直角三角形的邊長.（2）能應用勾股定理解決簡單的實際問題.3.學習重、難點重點：運用勾股定理求直角三角形的邊長.難點：從實際問題中構(gòu)造直角三角形解決生產(chǎn)、生活中的有關(guān)問題.二、分層學習1.自學指導（1）自學內(nèi)容：教材 P25 例 1.（2）自學時間：8 分鐘.（3）自學方法：思考木板通過門框的方式有幾種，并對照數(shù)據(jù)分析木板能否通過.（4）自學參考提綱：因為木板的寬為 2.2m，長為 3m，都大于 1m，所以木板橫著不能從門框內(nèi)通過.因為木板的寬為 2.2m， 長為 3m，都大于 2m，所以木板豎著也不能從門框內(nèi)通過.所以試試斜著能否通過，對角線 AC 是斜著通過 的最大長度，因此必須先求出 AC 長，再與木板的寬比較.在 ABC 中，根據(jù)勾股定理： AC2=AB2+BC2=12+22=5，因此 AC = 5 »2.24 .因為 AC2.24(>)2.2，所以木板能斜著從門框內(nèi)通過.2.自學：學生結(jié)合自學提綱進行自學.3.助學（1）師助生：明了學情：了解學生是否分析出木板穿過門框的途徑有哪些.差異指導：指導尋找木板通過門框的途徑；木板斜著通過需要怎樣斜放時間隙是最大的.（2）生助生：學生相互交流，幫助研討.4.強化（1）歸納解題思路：把實際問題轉(zhuǎn)化成長方形 ABCD 的問題，再把長方形 ABCD 轉(zhuǎn)化成 RtABC，運用 勾股定理計算，求解.（2）練習：在上述問題中，若薄木板長 3m，寬 1.5m，木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？1.自學指導（1）自學內(nèi)容：教材 P25 例 2.（2）自學時間：6 分鐘.（3）自學方法：思考圖中的實際問題實質(zhì)是直角三角形的問題，所以應從直角三角形來分析解決問 題的辦法.（4）自學提綱：由梯子的原來位置構(gòu)成的 RtAOB，可求得 OB=1.由梯子頂端下滑至 C 的位置時，又構(gòu)成 RtCOD，且 CD 長不變，OC=1.9，由勾股定理可求得 OD 1.77.可看出，BD=OD-OB，求 BD，必先求出 OB、OD，在 RtAOB 中，OB 2 =AB 2 -OA2 =2.62 -2.42，OB = 1.在 RtCOD 中， OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5 )2，OD »1.77 .BD=OD-OB0.77.梯子的頂端 A 沿墻下滑 0.5 米，梯子的底端 B 外移 0.77 米. 2.自學：學生結(jié)合自學提綱進行自學.3.助學（1）師助生：明了學情：了解學生是否理解題意，梯子位置變化前后，什么不變，什么在變，學生是否清楚. 差異指導：由線段和差關(guān)系如何表示 BD；梯子與墻面地面構(gòu)成什么圖形.（2）生助生：學生相互交流，幫助研討.4.強化：學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立幾何模型求解.1.自學指導（1）自學內(nèi)容：教材 P26 到 P27 練習以上的內(nèi)容.（2）自學時間：8 分鐘.（3）自學方法：動手嘗試作直角三角形中，由已知兩邊長去求第三邊長.（4）自學提綱：教材 P26 思考中的證明：先用勾股定理證得 BC=BC，再用 SSS 公理判定ABCABC. 長為 13 的線段是直角邊為正整數(shù) 3，2 的直角三角形的邊長.在數(shù)軸上畫出表示 13 的點，方法如下：在數(shù)軸上找到點 A，使 OA=3，作直線 l 垂直于 OA，在 l 上取點 B，使 AB=2，以原點 O 為圓心，OB 為半徑畫弧與數(shù)軸的正半軸的交點 C，點 C 即為表示 13 的點.完成 27 練習題.2.自：請同學們結(jié)合自學提綱進行自學.3.助學（1）師助生：明了學情：了解學生看書、動手中存在的問題障礙.差異指導：指導學生分析作圖方法及依據(jù).(2)生助生：學生相互研討疑難之處.4.強化(1)尺規(guī)作圖方法.(2)總結(jié)在數(shù)軸上作出表示無理數(shù)的點的步驟.三、評價1.學生的自我評價(圍繞三維目標)：小組代表介紹自己在學習中的探索方法、收獲和惑.2.教師對學生的評價：（1）表現(xiàn)性評價：點評學生課堂學習的積極態(tài)度、成果及不足.（2）紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師的自我評價（教學反思）.本課時的教學內(nèi)容是用勾股定理解決簡單的實際問題，運用到的思想是數(shù)形結(jié)合的思想.在實際生活 中，很多問題需要用到勾股定理去解決.因此在解決此類問題時，先要將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，就本課時而 言，關(guān)鍵是要通過構(gòu)造直角三角形來完成，所以教師在教學時，應注意教學生如何構(gòu)造直角三角形，找出 已知的兩個量，并讓學生動手畫出圖形，教師再給予適時點撥.此處，教師還應關(guān)注學生所用語句的規(guī)范 性，盡量讓學生用數(shù)學語言來描述.(時間：12 分鐘滿分：100 分)一、基礎鞏固（50 分）1.(20 分)求出下列直角三角形中未知的邊.答案： AC= 8 AB=17 BC=1,AC= 3BC= 2 ,AC= 22.(10 分)直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個正方形面積為 7 和 8，則以斜邊為邊長的正方形的面 積為 15.3.(10 分)如圖，池塘邊有兩點 A,B，點 C 是與 BA 方向成直角的 AC 方向上的一點，現(xiàn)測得 CB=60m,AC=20m. 求 A，B 兩點間的距離(結(jié)果取整數(shù)).解：AB =BC2-AC2=602-202=40 2 »57 (m)第 3 題圖第 4 題圖4.(10 分)如圖，在平面直角坐標系中有兩點 A(5，0)和 B(0，4)，求這兩點間的距離. 解：AB = OA2 +OB 2 = 5 2 +4 2 = 41二、綜合運用（20 分）5.(10 分)如圖，BAC=90°,ADBC,BC=4cm,B=60°,求 AD,BD 的長. 解：在 ABC 中B=60°，AB=12BC=2(cm).1在 RtABD 中，ADB=90°,B=60,BD= AB=1(cm), AD =AB22-BD2= 3 (cm).6.(10 分)在數(shù)軸上作出表示 20 的點.點 A 即為表示 20 的點.三、拓展延伸（30 分）7.(15 分)印度數(shù)學家什迦羅(1141 年-1225 年)曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可見，面上半尺生 紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；諸君幫忙算一算，湖水如何知深淺？”請用學過的知識回答這個 問題.(如圖)解：設水深為 h 尺.1由題意得：AC=12,BC=2,OC=h,OB=OA=OC+AC=h+ .2由勾股定理得：OB2=OC2+BC2,即(h+ 15 15解得 h=.水深 尺4 412)2=h2+22,8.(15 分)有 5 個邊長為 1 的正方形，排列成如下圖形式，請把它適當分割后拼接成一個大正方形.(用 虛線標示分割線，并簡要寫出分割拼接法).將五個小正方形按圖 1 中虛線剪切為四個全等的直角三角形和一個小正方形，按圖 2 的擺法拼接，則可得到一個面積為 5 的大正方形.【素材積累】海明威和他的“硬漢形象”美國作家海明威是一個極具進取精神的硬漢子。他曾嘗試吃過蚯蚓、蜥蜴， 在墨西哥斗牛場亮過相，闖蕩過非洲的原始森林，兩次世界大戰(zhàn)都上了戰(zhàn)場。第一次世界大戰(zhàn)時，19 歲的 他見一意大利士兵負傷，便冒著奧軍的炮火上去搶救，結(jié)果自己也被炸傷了腿，但他仍背著傷員頑強前進。 突然間，炮擊停止，探照燈大亮，海明威終于回到陣地。原來是他的英勇行為感動了奧軍將領(lǐng)，下令放他 過去。