å ï ï n ï 打印版本§3.2 回歸分析(1)教學(xué)目標(biāo)（1）通過(guò)實(shí)例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因；（2）通過(guò)對(duì)回歸模型的合理性等問(wèn)題的研究，滲透線性回歸分析的思想和 方法；（3）能求出簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的線性回歸方程教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值的探求方法教學(xué)過(guò)程一問(wèn)題情境1 情境：對(duì)一作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程觀測(cè)了 8 次，得到如下表所示的數(shù) 據(jù)，試估計(jì)當(dāng) x=時(shí)的位置 y 的值時(shí)刻 x /s1 2345 6 7 8位置觀測(cè)值 y /cm5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06根據(jù)數(shù)學(xué) 3 （必修）中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個(gè)問(wèn)題的方法是： 先作散點(diǎn)圖，如下圖所示：從散點(diǎn)圖中可以看出，樣 本點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，時(shí)間 x 與位 置觀測(cè)值 y 之間有著較好的線 性關(guān)系因此可以用線性回歸 方 程 來(lái) 刻 畫 它 們 之 間 的 關(guān) 系根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式，ì nx y -nx y i iïb = i =1í åx 2 -n ( x ) 2 ï ii =1ïîa=y-bx可以得到線性回歸方為 y =3.5361+2.1214x ，所以當(dāng) x =9 時(shí)，由線性回歸方 程可以估計(jì)其位置值為 y =22.62872問(wèn)題：在時(shí)刻 x =9 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置一定是 22.6287cm 嗎？二學(xué)生活動(dòng)思考，討論：這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反 映 x 與 y 之間的關(guān)系， y 的值不能由 x 完全確定，它們之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系，y 的實(shí)際值與估計(jì)值之間存在著誤差三建構(gòu)數(shù)學(xué)1線性回歸模型的定義：高中數(shù)學(xué)n n å ï ï n ï n n å å i i打印版本我們將用于估計(jì) y 值的線性函數(shù) a +bx 作為確定性函數(shù)；y 的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為 e，稱之為隨機(jī)誤差；將 y =a +bx +e稱為線性回歸模型說(shuō)明：（1）產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；忽略了某些因素的影響；存在觀測(cè)誤差（2）對(duì)于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個(gè)問(wèn)題：模型是否合理（這個(gè)問(wèn)題在下一節(jié)課解決）；在模型合理的情況下，如何估計(jì) a ， b ？2探求線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值：對(duì)于問(wèn)題，設(shè)有 n 對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù) ( x , y ) (i =1,2,3, , n) ，根據(jù)線性回歸模i i型，對(duì)于每一個(gè) x ，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng) e =y -( a +bx ) ，我們希望總誤差越i i i i小越好，即要使åe2i越小越好所以，只要求出使 Q (a,b) =å( y -bx -a)i i2i =1i =1取得最小值時(shí)的 a ， b 值作為 a ， b 的估計(jì)值，記為 a ， b 注：這里的 ei就是擬合直線上的點(diǎn)(x , a +bx i i)到點(diǎn) Pi(x , yi i)的距離用什么方法求 a ， b ？回憶數(shù)學(xué) 3（必修）“24 線性回歸方程”P71“熱茶問(wèn)題”中求 a ， b 的方法：最小二乘法利用最小二乘法可以得到 a ， b 的計(jì)算公式為ì n( x -x )( y -y ) i iïb = i =1í å( x -x ) 2 ï ii =1ïîa=y-bx=åi =1åi =1x y -nx y i ix 2 -n ( x) 2 i，1 n 1 n其中 x = x ， y = yn ni =1 i =1由此得到的直線 y =a +bx 就稱為這 n 對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中 a ， b 分別為 a ， b 的估計(jì)值， a 稱為回歸截距， b 稱高中數(shù)學(xué)打印版本為回歸系數(shù)， y 稱為回歸值在 前 面 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 的 線 性 回 歸 方 程 y =3.5361+2.1214x 中 ， a =3.5361 ， b =2.1214 3 線性回歸方程 y =a +bx 中 a ，b 的意義是：以 a 為基數(shù)， x 每增加 1 個(gè)單位，y相應(yīng)地平均增加 b 個(gè)單位；4 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想）在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我 們根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q， 把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)下面列舉出一些常 見(jiàn)的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式（1） y =a +b 1，令 y ' =y ， x ' = ，則有 y ' =a +bx ' x x（2） y =ax b ，令 y ' =ln y ， x ' =ln x ， a ' =ln a ，則有 y ' =a '+bx ' （3） y =aebx，令 y ' =ln y ， x ' =x ， a ' =ln a ，則有 y ' =a '+bx ' b（4） y =ae x1，令 y ' =ln y ， x ' = ， a ' =ln a ，則有 y ' =a '+bx ' x（5） y =a +b ln x ，令 y ' =y ， x ' =ln x ，則有 y ' =a +bx ' 四數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：例 1下表給出了我國(guó)從1949 年至 1999 年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估 計(jì)我國(guó) 2004 年的人口數(shù)年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999人口數(shù)/百 萬(wàn)542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246xy解：為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，先將年份減去1949 ，并將所得值用 x 表示，對(duì)應(yīng)人口數(shù) 用 y 表示，得到下面的數(shù)據(jù)表：0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246作出 11 個(gè)點(diǎn) (x,y )構(gòu)成的散點(diǎn)圖，由圖可知，這些點(diǎn)在一條直 線附近，可以用線性回歸模高中數(shù)學(xué)型 y =a +bx +e打印版本來(lái)表示它們之間的關(guān)系根據(jù)公式（1）可得ìïb»14.453,íïîa»527.591.這里的 a , b 分別為 a, b 的估計(jì)值，因此線性回歸方程為 y =527.591+14.453x由 于 2004 年 對(duì) 應(yīng) 的 x =55 , 代 入 線 性 回 歸 方 程 y =527.591+14.453x 可 得 y =1322.506 （百萬(wàn)），即 2004 年的人口總數(shù)估計(jì)為 13.23 億.例 2 某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到 的各企業(yè)的人均資本 x （萬(wàn)元）與人均產(chǎn)出 y （萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)：人均資本345.5 6.5 7 8 9 10.5 11.514x /萬(wàn)元人均產(chǎn)出y /萬(wàn)元4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.50 25.46 26.66 45.20（1）設(shè) y 與 x 之間具有近似關(guān)系 y »ax 計(jì) a 和 b 的值；b（ a, b 為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估（2）估計(jì)企業(yè)人均資本為 16 萬(wàn)元時(shí)的人均產(chǎn)出（精確到 0.01 ）分析：根據(jù) x ， y 所具有的關(guān)系可知，此問(wèn)題不是線性回歸問(wèn)題，不能直接用線性回歸方程處理但由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對(duì) y »axb的兩邊取對(duì)數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系解（ 1）在 y »ax b 的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得 lg y »lg a +b lg x ，設(shè) lg y =z ， lg a =A ， lg x =X ，則 z »A +bX 相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖 3 -2 -7 所示ABCDEFGHIJ人 均 資1本 x / 萬(wàn)345.56.578910.511.5元高中數(shù)學(xué)打印版本人 均 產(chǎn)2出 y / 萬(wàn)4.12 4.678.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66元3X =lg x0.477120.602060.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.06074z =lg y0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586仿照問(wèn)題情境可得 A ，b 的估計(jì)值 A ，b 分別為ìïA=-0.2155, íïîb=1.5677,由 lg a =-0.2155可得 a »0.6088 ，即 a ， b 的估計(jì)值分別為 0.6088 和 1.5677 （2）由（1）知 y =0.6088x1.5677樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖 3 -2 -8（見(jiàn)書(shū)本 P102頁(yè)）當(dāng) x =16 時(shí)， y =0.6088 ´161.5677 »47.01（萬(wàn)元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為16 萬(wàn) 元時(shí)，人均產(chǎn)值約為 47.01 萬(wàn)元高中數(shù)學(xué)