秩,階梯陣,r(A)=非0行數(shù),行變換,極大無關(guān)組(基),階梯陣,主列對(duì)應(yīng)原矩陣的列,行變換,行最簡形,非主列的線性表示關(guān)系,解Ax=b (AX=B),(A b) 行變換,階梯陣,判別解:r1r2無解r1=r2=n 唯一解, r1=r2n無窮多解,行最簡形,基解:非主列變量為e1enr,特解:非主列變量為0,逆矩陣,行變換,行最簡形,(A E) (E A1 ),行列式,行/列變換,三角形,某行(列)有 一非0元素,注意對(duì)角線方向的符號(hào),按此行(列)展開,1,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 (1學(xué)時(shí)),初等變換,相抵,等價(jià)類的 不變量,矩陣的秩,相抵標(biāo)準(zhǔn)形,不變量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件 (1學(xué)時(shí)),相似變換,相似,2,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),二. 方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),二. 特征值、特征向量的性質(zhì),第四章 矩陣的特征值和特征向量,3,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,相似的應(yīng)用,求A11.,A = PP1,A11 = (PP1)(PP1)(PP1)(PP1),= P11P1,A與 相似,4,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,§4.1 相似矩陣,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),設(shè)A, B都是n階方陣, 若有可逆矩陣P, 使P1AP=B, 則稱矩陣A與B相似. 記為AB. P為相似變換矩陣.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,證明：,5,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,§4.1 相似矩陣,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),設(shè)A, B都是n階方陣, 若有可逆矩陣P, 使P1AP=B, 則稱矩陣A與B相似. 記為AB. P為相似變換矩陣.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,注2: 反身性: AA; 對(duì)稱性: AB BA; 傳遞性: AB, BC AC.,矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系,P1AP =B,PBP1 =A,相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,6,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,一. 相似矩陣的定義和性質(zhì),設(shè)A, B都是n階方陣, 若有可逆矩陣P, 使P1AP=B.,注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然.,矩陣間的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,注2:,性質(zhì)2:,AB, 則 |A| = |B|.,|B| = |P1AP| = |P1| |A| |P| = |P1| |P| |A| = |A|.,定義2: 矩陣的跡(trace):,tr(A+B) = tr(A)+tr(B),tr(kA) = k tr(A),tr(AB) = tr(BA),性質(zhì)3:,AB, 則tr(A) = tr(B).,行列式,跡,=tr(P1AP)=tr(APP1),7,性質(zhì)4: 設(shè)AB, f 是一個(gè)多項(xiàng)式, 則f(A) f(B).,證明: 設(shè)P 1AP =B, f(x) = anxn+a1x+a0, 則,P 1f(A)P,= anP 1AnP+a1P 1AP+a0 P 1EP,= an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0E,= P 1( anAn+a1A+a0E )P,= anBn+a1B+a0E,= f(B).,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,8,二. 方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 n個(gè)線性 無關(guān)的向量1, 2, , n和n個(gè)數(shù)1, 2, , n滿足 Ai = ii , i=1,2,n. 若令P = (1, 2, ,n), = diag(1, 2,n), 則 P1AP = .,證明: 設(shè)P1AP = = diag(1, 2, , n), AP = Pdiag(1, 2, , n), 即, A(1, 2, , n) = (11, 22, , n n), Ai = ii , i=1,2,n,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,P可逆,所以 1, 2, , n 線性無關(guān).,9,二. 方陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 n個(gè)線性 無關(guān)的向量1, 2, , n和n個(gè)數(shù)1, 2, , n滿足 Ai = ii , i=1,2,n. 若令P = (1, 2, ,n), = diag(1, 2,n), 則 P1AP = .,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,方陣A的相似對(duì)角化問題: 求可逆陣P, 使P 1AP=. 其中，對(duì)角陣稱為相似標(biāo)準(zhǔn)形.,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,行列式,跡,相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,相抵關(guān)系下的最簡形：相抵標(biāo)準(zhǔn)形,相似關(guān)系下的最簡形：,相似標(biāo)準(zhǔn)形,10,1. 定義, = ,n階方陣,非零向量,特征值(eigenvalue),特征向量(eigenvector),§4.2 方陣的特征值和特征向量,一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,A,數(shù),注1. 幾何意義,A33,/,注2. ,否則, = , R, A = = ,但是可以 =0, 此時(shí),A = 0 = ,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,11,eigshow(A),顯示不同的單位向量x及經(jīng)變換后的向量y=Ax,特征值和特征向量：0, s.t. A = ,12,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程,=,特征多項(xiàng)式,特征值,特征向量, ,對(duì)每個(gè), 求(EA)x = 0的基礎(chǔ)解系 1, 2,t,對(duì)應(yīng)于的所有特征向量為 k1 1+k22+ktt , k1, kt 不全為0.,2. 計(jì)算,先解|EA|=0, 求出所有特征值,13,解: |EA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值為1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 0的基礎(chǔ)解系: 1=(1,0,1)T. 對(duì)應(yīng)于1= 1的特征向量為k1 (0kR). (2EA)x = 0的基礎(chǔ)解系: 2=(0, 1, 1)T, 3=(1, 0, 4)T. 對(duì)應(yīng)于2=3 =2的特征向量為k22 +k33 (k2, k3不同時(shí)為零).,例2. 求,的特征值和特征向量.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,14,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角陣相似 n個(gè)線性無關(guān)的向量1,n和n個(gè)數(shù)1,n滿足 Ai = ii , i=1,n.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.1 相似矩陣,方陣A的相似對(duì)角化問題: 求可逆陣P, 使P 1AP=.,相似關(guān)系下的不變量：,矩陣的秩,行列式,跡,相抵關(guān)系下的不變量：矩陣的秩,相抵關(guān)系下的最簡形：相抵標(biāo)準(zhǔn)形,相似關(guān)系下的最簡形：,相似標(biāo)準(zhǔn)形,n階方陣A, B相似, 若有可逆陣P, 使P1AP=B., A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量1,n. = diag(1,n), i為特征值, P = (1,n).,i為特征值,i為特征向量,15,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程,=,特征多項(xiàng)式,特征值,特征向量, ,對(duì)每個(gè), 求(EA)x = 0的基礎(chǔ)解系 1, 2,t,對(duì)應(yīng)于的所有特征向量為 k1 1+k22+ktt , k1, kt 不全為0.,2. 計(jì)算,先解|EA|=0, 求出所有特征值,16,解:,所以A的全部特征值為 0(n1重根),例3. 設(shè)0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,17,解: 當(dāng)=0時(shí), (EA)x = 0, 即Ax = 0.,不妨設(shè),例3. 設(shè)0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,對(duì)應(yīng)=0的 特征向量為,不全 為0,18,此時(shí)，線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè).,解: 當(dāng)= T時(shí), (T EA) x = 0.,因?yàn)锳x = x.,即 x = x.,注意到,所以即為A的對(duì)應(yīng)特征值 = T的特征向量.,所以只要找一個(gè)非零向量滿足上述方程即可.,例3. 設(shè)0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,r(TEA) + r(x) n.,r(TEA) n1.,r(TEA)+r(A) r(TEA+A) = r(TE) = n.,r(TEA) = n1.,則對(duì)應(yīng) = T的特征向量為,r(A)=1,19,例4. 設(shè)A = (aij)n×n, 證明f() = |EA|是的n次 多項(xiàng)式, 并求n, n1的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).,f() = |EA| =,(a11)(a22)(ann),f(0) = |A|,A的跡, 記為trA,= (1)n|A|,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,n, n-1項(xiàng)只在主對(duì)角線乘積中,20,二. 特征值、特征向量的性質(zhì),性質(zhì)1. 設(shè)1, , n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù), 可重復(fù))是n階方 陣A=(aij)的n個(gè)特征值, 即 |EA| = (1) (2)(n)，則,證明：,|EA| = (1) (2)(n),第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,21,性質(zhì)1. 設(shè)1, , n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù), 可以重復(fù)),是n階方陣A=(aij)的n個(gè)特征值,則,推論1：方陣A可逆,證明：,A的特征值均不為0, 則,所以A可逆.,必要性:,設(shè) = 0是A的一個(gè)特征值,則0, s.t.,A = = 0,因?yàn)锳可逆,A1A = = 0,產(chǎn)生矛盾.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值與特征向量,A的特征值均不為0.,22,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,性質(zhì)1. 設(shè)1, , n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))是n階方陣A=(aij),的n個(gè)特征值, 則,推論1：方陣A可逆 A的特征值均不為0.,證明：,設(shè)0, s.t.,A = , A1A = A1,性質(zhì)2：方陣A可逆, 是A的特征值, 則1/是A1 的特征值, |A|/是A*的特征值.,因?yàn)锳可逆, A1 =(1/) ,則1/是A1的特征值.,AA* = |A|E, A可逆, A* = |A|A1, A* = |A|A1 = (|A|/) ,則|A|/是A*的特征值.,23,性質(zhì)1. 設(shè)1, , n(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))是n階方陣A=(aij),的n個(gè)特征值, 則,推論1：方陣A可逆 A的特征值均不為0.,證明：,性質(zhì)2：方陣A可逆, 是A的特征值, 則1/是A1 的特征值, |A|/是A*的特征值.,性質(zhì)3: 若是方陣A的特征值, 則也是AT 的特征值.,|EA|,= | (EA)T |,=| EAT |,性質(zhì)4. 設(shè)是A的特征值,則k是Ak的一個(gè)特征值.,證明：因?yàn)闉锳的特征值, 即0使A=, 于是(A2) = A(A) = A() = (A) = 2, 0 使(Ak) = k, 即k也是Ak的特征值.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,24,性質(zhì)5. 設(shè)是方陣A的一個(gè)特征值, f是一個(gè),多項(xiàng)式, 則f()是方陣f(A)的一個(gè)特征值.,對(duì)于f() = ass+a1+a0, f(A) = asAs +a1A+a0 = ass+a1+a0 = f(), 0 使 f(A) = f().,則f()是方陣f(A)的一個(gè)特征值.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,證明：因?yàn)闉锳的特征值, 即0 使A =, (Ak) = k, 即k也是Ak的特征值.,性質(zhì)4. 設(shè)是A的特征值,則k是Ak的一個(gè)特征值.,25,性質(zhì)5. 設(shè)是方陣A的一個(gè)特征值, f是一個(gè),多項(xiàng)式, 則f()是方陣f(A)的一個(gè)特征值.,推論2. 若f 是多項(xiàng)式, A是一個(gè)方陣, 使f(A) = 0,(稱f為A的一個(gè)零化多項(xiàng)式),則A的任一特征值必滿足f() = 0., f() = 0 = 0, f()=0,證明：,對(duì)A的任一特征值 ,f()是f(A)的一個(gè)特征值.,則0 使 f(A) = f() .,因?yàn)閒(A) = 0, 0,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,26,推論2. 若f是多項(xiàng)式, A是一個(gè)方陣, 使f(A) = O,則A 的任一特征值 必滿足f() = 0.,注1: A的零化多項(xiàng)式的根是A的所有可能的特征值.,例5. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,A 的任一特征值都是零化多項(xiàng)式的根.,1=2 =1,1=2 = 1,1=1, 2 = 1,解：由A2 E= 0知, f(x) = x21為A一個(gè)零化多項(xiàng)式.,f(x) = x21=0 的根1,1為A的所有可能的特征值.,注2: A的零化多項(xiàng)式的根未必都是A的特征值.,例6. f(x) = x21, 根為1, 1,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,27,解法2:,所以A的所有可能的特征值滿足,所以A的所有可能的特征值,所以A的全部特征值為 0(n1重根),例3. 設(shè)0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,28,性質(zhì)6. 設(shè)n階方陣A與B相似, 則有相同的特 征多項(xiàng)式和特征值.,事實(shí)上, A與B相似, 則EA與EB相似. 設(shè)P1AP = B(P可逆), 則 P1(EA)P =EP1AP =EB,注3: 特征多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似.,例7.,它們的特征多項(xiàng)式都是(1)2.,但是若有P 1AP = B, 則A = PBP1 =E=B.,矛盾!,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,|EA|=|EB|,29,特征多項(xiàng)式相同是相似的必要而非充分的條件.,注4. 方陣A與B相似特征多項(xiàng)式和特征值相同, tr(A) = tr(B), |A| = |B|, r(A) = r(B),相似關(guān)系下的不變量為：,特征值, 跡, 行列式, 秩,相抵關(guān)系下的不變量為：,秩,相抵關(guān)系下的最簡形為：,相抵標(biāo)準(zhǔn)形,相似關(guān)系下的最簡形為：,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,相似標(biāo)準(zhǔn)形,30,一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,二. 特征值、特征向量的性質(zhì),0,s.t. A = .,先解|EA|=0, 求; 將代入 (EA)=0, 求非零通解.,設(shè)是A的特征值,則f()是f(A)的特征值.,注:A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值都是零化多項(xiàng)式的根.,A可逆A的特征值均不為0, 1/是A1的特征值.,是可逆陣A的特征值, 則|A|/是A*的特征值.,若是方陣A的特征值, 則也是AT 的特征值.,31,例8.設(shè)3階矩陣A的特征值為2,1,1,則,解：, A可逆,是可逆陣A的特征值, 則 1/ 是A1的特征值.,( + 1/ ) 是 (A+A1) 的特征值.,(A+A1) 的特征值為：,例9.設(shè)3階矩陣A的特征值為1,2,3, 則,的特征值為,即11,5,3,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,32,設(shè)A是n階方陣, 對(duì)于數(shù), 存在n維非零向量, 使得A = , 則稱為A的一個(gè)特征值。,由A = 得齊次線性方程組(EA) =, 它有非零解 |EA|=0 EA不可逆,若A為方陣, 是A的一個(gè)特征值 (EA)不可逆.,A為方陣, 不是A的特征值 (EA)可逆.,例10.設(shè)3階矩陣A的特征值為2,1,4,則可逆的矩陣:,(A) EA,(B) 4EA,(C) 2EA,(D) 2E+A,例11.若方陣A不可逆，則A的一個(gè)特征值為( ),0,例12.若方陣A滿足A2=2A,0不是A的特征值,則A=,A可逆,A = 2E,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.2 特征值和特征向量,33,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件 (1學(xué)時(shí)),§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 (1學(xué)時(shí)),一. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,二. 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣,一. 方陣可相似對(duì)角化的條件,二. 方陣可相似對(duì)角化的步驟,34,定理4.1. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 n個(gè)線性 無關(guān)的向量1, 2, , n和n個(gè)數(shù)1, 2, , n滿足 Ai = ii , i=1,2,n. 若令P = (1, 2, ,n), = diag(1, 2,n), 則 P1AP = .,第四章 矩陣的特征值和特征向量,方陣A的相似對(duì)角化問題: 求可逆矩P, 使P 1AP=. 其中，對(duì)角陣稱為相似標(biāo)準(zhǔn)形.,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,定理4.3. n階方陣A相似于對(duì)角矩陣 A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,35,注1： 若A有l(wèi) (n)個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 則A不與對(duì)角矩陣相似.,(但是若有P 1AP = B, 則A = PBP1 =E=B.,矛盾!),證明: 1=2 =1, n r = 1 2, A不與對(duì)角陣B相似.,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,定理4.3. n階方陣A相似于對(duì)角矩陣 A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,36,定理4.4. 設(shè)1, 2為方陣A的兩個(gè)不同的特征值, 1, ,s,與1,r分別為屬于1, 2的線性無關(guān)的特 征向量, 證明1,s, 1,r 線性無關(guān).,證明: 設(shè)k11+kss+l11+ +lr r = 0 (1),左乘A得,2(1)(2), 得,(2 1)k1 1+ (2 1)ks s = 0,2 1,k111+ks1s+l12 1+lr2r = 0 (2),k1 1+ ks s = 0,1,s,線性無關(guān),k1 = ks = 0, l11+ +lr r = 0,1,r 線性無關(guān),l1 = lr = 0,所以1,s, 1,r 線性無關(guān).,對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān).,37,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 矩陣可相似對(duì)角化的條件,定理4.5.,1, 2, , s 不同值,1,1,s l.i.,1, , r l.i.,2,1, , s, 1, , r線性無關(guān),l.i.,l.i.,l.i.,線性 無關(guān),命題. 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān).,38,推論4.4. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 A的每個(gè)ni重特征值i有ni個(gè)線性無關(guān)的 特征向量, 即r(iEA) = nni , i=1,t. 其中，n1+ n2 + nt = n,推論4.3. 若n階方陣A有n個(gè)不同的特征值, 則A與對(duì)角矩陣相似.,定理4.3. n階方陣A相似于對(duì)角矩陣 A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,推論4.2 A的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).,39,一. 特征值、特征向量的定義和計(jì)算,二. 特征值、特征向量的性質(zhì),0,s.t. A = .,先解|EA|=0, 求; 將代入 (EA)=0, 求非零通解.,設(shè)是A的特征值,則f()是f(A)的特征值.,注:A的零化多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值都是零化多項(xiàng)式的根.,A可逆A的特征值均不為0, 1/是A1的特征值.,是可逆陣A的特征值, 則|A|/是A*的特征值.,若是方陣A的特征值, 則也是AT 的特征值.,40,推論4.4. n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 A的每個(gè)ni重特征值i有ni個(gè)線性無關(guān)的 特征向量, 即r(iEA) = nni , i=1,t. 其中，n1+ n2 + nt = n,Cor4.3. n階方陣A有n個(gè)不同的特征值, 則A與對(duì)角陣相似.,Th4.3. n階方陣A相似于對(duì)角陣 A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,推論4.2 A的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).,n階方陣A, B相似, 若有可逆陣P, 使P1AP=B.,相似關(guān)系下的不變量為：,特征值, 跡, 行列式, 秩,41,求|EA| = 0的根,A可以相似對(duì)角化,r(iEA) = nni?,A不能相似對(duì)角化,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,注:特征向量要與特征 值的順序相對(duì)應(yīng),相 似 對(duì) 角 化 問 題 解 題 步 驟,An與相似 i(ni重), 有r(iEA) = nni,42,解: |EA| = (+1)( 2)2. 1= 1, 2=3= 2.,例13. 設(shè), 求可逆陣P和對(duì)角陣, 使得 P1AP = .,(2EA)x=0 的基礎(chǔ)解系: 1=(1,0,4)T, 2=(0,1,1)T. 當(dāng)1= 1, (EA)x =0 的基礎(chǔ)解系: 3=(1,0,1)T,當(dāng)2= 3= 2,使得 P1AP = .,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,43,解:,例13續(xù),求可逆陣P和對(duì)角陣, 使得 P1AP = . 并求出Ak .,使得 P1AP = ., Ak =(PP1)k =PkP1,P1AP = A =PP1,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,44,解: |EA| = ( 2)(1)2. 所以A的特征值為1=2, 2= 3= 1.,例14. 討論,的相似對(duì)角化問題.,所以矩陣A 不能相似對(duì)角化，即不存在可逆陣P使得 P1AP = .,當(dāng)2=3=1,第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,45,求|EA| = 0的根,A可以相似對(duì)角化,r(iEA) = nni?,A不能相似對(duì)角化,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件,第四章 矩陣的特征值和特征向量,注:特征向量要與特征 值的順序相對(duì)應(yīng),相 似 對(duì) 角 化 問 題 解 題 步 驟,An與相似 i(ni重), 有r(iEA) = nni,46,§4.2 方陣的特征值和特征向量 (1學(xué)時(shí)),§4.1 相似矩陣 (1學(xué)時(shí)),第四章 矩陣的特征值和特征向量,§4.3 方陣可相似對(duì)角化的條件 (1學(xué)時(shí)),§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 (1學(xué)時(shí)),一. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,二. 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣,一. 方陣可相似對(duì)角化的條件,二. 方陣可相似對(duì)角化的步驟,47,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,一. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量,1. 復(fù)矩陣的共軛矩陣,設(shè)A = (aij)mn, aijC.,A的共軛矩陣.,共軛運(yùn)算的性質(zhì)：,實(shí)對(duì)稱矩陣,第四章 矩陣的特征值和特征向量,48,2. 實(shí)對(duì)稱矩陣,定理4.7. 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,從而,另一方面,兩式相減得,則存在非零復(fù)向量 x , 滿足 Ax = x,又因?yàn)?x, 故,因此,可見為實(shí)數(shù).,設(shè)復(fù)數(shù)為實(shí)對(duì)稱陣A的特征值,證明:,49,定理4.8. 設(shè)1, 2是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同 的特征值, p1, p2是對(duì)應(yīng)與它們的特 征向量, 則p1與p2正交.,定理4.8. 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特 征向量彼此正交.,證明:,設(shè)12, p1, p2 0, s.t.Ap1=1 p1, Ap2=2 p2,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,此外, p1TAp2 = p1TATp2 = (Ap1)Tp2 = 1 p1Tp2 ,于是(12) p1Tp2 = 0,從而 p1TAp2 = p1T(2p2) = 2 p1Tp2.,但是1 2,故p1Tp2 = 0.,50,定理4.9. 對(duì)于任意n階實(shí)對(duì)稱矩陣A, 存在 正交矩陣Q, 使得 Q1AQ = QTAQ = = diag(1, 2, , n), 其中1, 2, , n為A的全部特征值, Q = (q1, q2, , qn)的列向量組是A的對(duì)應(yīng) 于1, 2, , n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.,二. 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣,推論. n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的ni重特征值都有ni個(gè) 線性無關(guān)的特征向量，再由施密特正交化方 法知，必有ni個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,51,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,解: |EA| = (+2)(4)2.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取2= 2,將2, 3正交化,(4EA)x =0的基礎(chǔ)解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,A的特征值為1= 2, 2= 3= 4.,(2EA)x =0的基礎(chǔ)解系1= (1, 1, 2)T.,解(4EA)x = ,52,解: 所以A的特征值為1= 2, 2= 3= 4. (2EA)x =0的基礎(chǔ)解系1= (1, 1, 2)T. (4EA)x =0的基礎(chǔ)解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取2= 2,將2, 3正交化,再單位化, 即得,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,53,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,解: |EA| = (+2)(4)2.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取2= 2,將2, 3正交化,(4EA)x =0的基礎(chǔ)解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,A的特征值為1= 2, 2= 3= 4.,(2EA)x =0的基礎(chǔ)解系1= (1, 1, 2)T.,解(4EA)x = ,一個(gè)非零解為2=(0, 1, 1/2)T ,設(shè)另一解為32 ,3=(5, 1, 2)T ,再單位化,Q不唯一,?,54,例15. 把,正交相似對(duì)角化.,解: |EA| = (+2)(4)2.,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,取2= 2,將2, 3正交化,(4EA)x =0的基礎(chǔ)解系2=(1, 1, 0)T, 3=(2, 0, 1)T.,A的特征值為1= 2, 2= 3= 4.,(2EA)x =0的基礎(chǔ)解系1= (1, 1, 2)T.,解(4EA)x = ,一個(gè)非零解為2=(0, 1, 1/2)T ,設(shè)另一解為32 ,3=(5, 1, 2)T ,再單位化,Q不唯一,正交特征向量組的幾何含義:,1垂直于2,3所在平面, 2,3為平面上任意兩個(gè)垂直的向量.,?,55,例16. 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱陣A的特征多項(xiàng)式(1)2(10),3 = (1, 2, 2)T是對(duì)應(yīng)于=10的特征向量. 求A.,解: 對(duì)應(yīng)于=1兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量1,2,將正交向量組1, 2, 3單位化得正交矩陣,都與3正交, 解x1+2x22x3=0,因?yàn)? 3,1,由QTAQ=Q1AQ=可得A = QQT,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,第四章 矩陣的特征值和特征向量,1=(2, 1, 2)T,解得2 =(2, 2, 1)T,得到1個(gè)特征向量,Q不唯一 A唯一,56,解法3:,所以A的全部特征值為 0(n1重根),所以實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似對(duì)角化。,即存在正交矩陣Q和對(duì)角陣, 使得,例3. 設(shè)0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,57,再求|E A3|.,即存在正交陣Q和對(duì)角陣, 使得,例3. 設(shè)0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,所以實(shí)對(duì)稱矩陣可以正交相似對(duì)角化,解：,是A的特征值 f, f()是f(A)的特征值,A f, f(A)f(),58,§4.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：,Th4.7 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).,Th4.8 實(shí)對(duì)稱陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交.,Th4.9 任意n階實(shí)對(duì)稱陣總可以正交相似對(duì)角化, 存在正交陣Q, 使得Q1AQ=diag(1,2,n), 1,n為A的全部特征值,Q = (q1,qn)是A的 標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.,Q1AQ= QTAQ = A = QQ1, f, f(A) = Qf()QT,正交特 征向量,1. l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交,2. 由1個(gè)特量及正交方程組解其他正交特量,逆命題:若實(shí)矩陣A可正交相似對(duì)角化, 則A必對(duì)稱.,AT = (QQT)T = QTQT = QQT = A,59,關(guān)于相似對(duì)角化與正交相似對(duì)角化,實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：,Q1AQ=QTAQ= A=QQT=QQ1,不是任一個(gè)方陣A都可以相似對(duì)角化，只有當(dāng)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對(duì)角化； 實(shí)對(duì)稱矩陣必可以正交相似對(duì)角化，當(dāng)然也可以相似對(duì)角化. 若實(shí)方陣A可以正交相似對(duì)角化，則A必是實(shí)對(duì)稱矩陣. AT=(QQT)T=QQT=A 只有要求正交相似對(duì)角化時(shí)才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化.,P1AP= A=PP1,無需正交標(biāo)準(zhǔn)化, 但需求逆,正交標(biāo)準(zhǔn)化, 但不需求逆,60,等價(jià)關(guān)系匯總,Rnn,Rmn,相抵,相似,正交 相似,Rnn, 實(shí)對(duì)稱,相抵標(biāo)準(zhǔn)形,為初等陣,i為特征值,秩,特征值, 跡,行列式, ,秩,第四章 矩陣的特征值和特征向量,相似標(biāo)準(zhǔn)形,61,(A) 填空題選擇題：作為課下練習(xí),(A)一 1-4; 二 1-2 (B) 1, 2, 3, 6(2,4,8), 9,(B) 留作業(yè),每周四交作業(yè),(C) 課下提高題：有時(shí)間盡量做,三. (A)一 8; 二 7-10 (B) 23, 24,26, 27(2,4), 28, 29, 30,第四章 矩陣的特征值和特征向量,二.(A)一 5-8; 二 3-6 (B) 7, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 18, 20, 21,62,