要點(diǎn)梳理 1.導(dǎo)數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0(a,b),若 x無限趨近于0時(shí),比值 = 無限趨近于一個(gè)常數(shù)A,則稱f(x)在x=x0處可導(dǎo)，并 稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作_.,2.9 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),f(x0),2.導(dǎo)函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就 說f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間 (a,b)內(nèi)的函數(shù)，又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作_ 或_. 3.函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處的函數(shù)值_ 即為函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù). 4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于 函數(shù)所表示的曲線在相應(yīng)點(diǎn)M(x0，y0)處的_ _.,f(x),y,f(x0),切線的,斜率,(2)設(shè)s=s(t)是位移函數(shù)，則s(t0)表示物體在t=t0 時(shí)刻的_. (3)設(shè)v=v(t)是速度函數(shù)，則v(t0)表示物體在t=t0 時(shí)刻的_. 5.常用的導(dǎo)數(shù)公式 C= _(C為常數(shù)); (xm)= _(mQ); (sin x)=_; (cos x)=_; (ex)=_; (ax)=_(a0且a1); (ln x)= ; (logax)= = (a0且a1).,0,mxm-1,-sin x,cos x,ex,axln a,瞬時(shí)速度,瞬時(shí)加速度,6.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 f(x)g(x)=f(x)g(x), Cf(x)=Cf(x)(C為常數(shù)), f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x), 7.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的運(yùn)算法則 一般地,設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y=f(u)在u處有導(dǎo)數(shù) =f(u),則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù),且 =_= _.,基礎(chǔ)自測 1.函數(shù)y=xcos x-sin x的導(dǎo)數(shù)為_. 解析 y=(xcos x)-(sin x) =xcos x+x(cos x)-cos x =cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 2.若f(x0)=2,則當(dāng)k0時(shí), =_. 解析,-xsin x,-1,3.若函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式x f(x) -f(x)恒成立,且常數(shù)a,b滿足ab，則下列不等式不 一定成立的是_(填序號). af(b)bf(a) af(a)bf(b) af(a)0. g(x)在R上為增函數(shù), g(a)g(b),即af(a)bf(b).,4.(2009遼寧)曲線 在點(diǎn)(1,-1)處的切線方 程為_. 解析 所以切線方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.,y=-2x+1,【例1】利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù). 先求y,再求 最后求 解,典型例題 深度剖析,分析,跟蹤練習(xí)1 利用導(dǎo)數(shù)的定義,求出函數(shù) 的導(dǎo) 數(shù),并據(jù)此求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù). 解,【例2】(2010蘇州月考)求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3) (4) 利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及求導(dǎo)法則. 解,分析,(2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, y=3x2+12x+11. 方法二 y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3) =(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.,跟蹤練習(xí)2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)y=x2sin x; (2)y=3xex-2x+e; (3) (4)y=sin32x. 直接利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo). 解 (1)y=(x2)sin x+x2(sin x) =2xsin x+x2cos x;,分析,(2)y=(3xex)-(2x)+(e) =(3x)ex+3x(ex)-(2x) =3xln 3ex+3xex-2xln 2 =(ln 3+1)(3e)x-2xln 2. (4)y=3(sin 2x)2(sin 2x)=6sin22xcos 2x.,【例3】(2009江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P 在曲線C:y=x3-10 x+3上,且在第二象限內(nèi),已知曲線 C在點(diǎn)P處的切線斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_. 解析 設(shè)P(x0,y0)(x0<0),由題意知 x0=-2,y0=15.P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,15).,(-2,15),跟蹤練習(xí)3 (2008江蘇,8)直線 是曲線y= ln x(x0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b=_. 解析 (ln x)= 得x=2,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,ln 2), 將其代入直線方程,得 所以b=ln 2-1.,ln 2-1,【例4】(14分)已知曲線 (1)求曲線在x=2處的切線方程; (2)求曲線過點(diǎn)(2,4)的切線方程. (1)由題意知切點(diǎn)為(2,4),則在(2,4)處的切 線可求. (2)過點(diǎn)(2,4)的切線中,(2,4)可能為切點(diǎn),也可能 為另外一條切線與曲線的交點(diǎn). 解題示范 解 (1)y=x2, 在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率k=y|x=2=4. 曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 4分,分析,(2)設(shè)曲線 與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn) 則切線的斜率 切線方程為 8分 點(diǎn)P(2,4)在切線上, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 10分 故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0. 14分,跟蹤練習(xí)4 若直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2x相切，則 k=_. 解析 y=x3-3x2+2x, y=3x2-6x+2. 直線和曲線均過原點(diǎn), 當(dāng)原點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí),切線斜率k=y|x=0=2, 當(dāng)原點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),其中x00, 則切線的斜率,又切點(diǎn)P(x0,y0)在曲線上,高考中主要以填空題的形式考查求導(dǎo)數(shù)的基本公式 和法則,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義;有時(shí)也以解答題的形式 出現(xiàn),即以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景設(shè)置成導(dǎo)數(shù)與解析 幾何的綜合題. 1.結(jié)合實(shí)際背景理解變化率、導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的實(shí) 質(zhì)是函數(shù)平均變化率的極限,即瞬時(shí)變化率.,思想方法 感悟提高,高考動(dòng)態(tài)展望,方法規(guī)律總結(jié),2.要深刻理解導(dǎo)數(shù)的定義,會(huì)用定義解題. 3.在導(dǎo)數(shù)與切線斜率的對應(yīng)關(guān)系中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思 想方法. 4.熟記幾個(gè)常用函數(shù)的求導(dǎo)公式,提高運(yùn)算速度和準(zhǔn) 確率. 5.熟練積商的求導(dǎo)法則,不可混淆. 6.函數(shù)解析式較復(fù)雜的,可以化簡的要先化簡再求導(dǎo). 7.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),必須搞清復(fù)合層次,不能有漏掉的環(huán) 節(jié)，要適當(dāng)選取中間量，弄清每一步對哪個(gè)變量求 導(dǎo),用什么公式求導(dǎo).,一、填空題 1.(2009廣東東莞模擬)曲線y=x3-1在x=1處的切線 方程為_. 解析 y=f(x)=3x2, f(1)=3,切點(diǎn)為(1,0), 切線方程為y=3(x-1),即3x-y-3=0.,3x-y-3=0,定時(shí)檢測,2.(2010徐州模擬)已知f(x)=x2+2xf(1),則f(0) =_. 解析 f(x)=2x+2f(1), f(1)=2+2f(1),即f(1)=-2, f(x)=2x-4,f(0)=-4. 3.(2009江蘇姜堰中學(xué)、如皋中學(xué)、淮陰中學(xué)、前 黃中學(xué)四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=xex,則f(0)= _. 解析 f(x)=(xex)=ex+xex,f(0)=1.,-4,1,4.(2010江蘇常熟檢測)設(shè)P為曲線C：y=x2+2x+3上 的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為 則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為_. 解析 切線的斜率k=tan tan 0,tan =0,1. 設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),于是 x0,5.(2009山東濟(jì)寧第一次月考)曲線y= 在點(diǎn)(4, e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_. 解析 曲線在(4,e2)點(diǎn)處的切線方程為 切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別是(0,-e2),(2,0), 則切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積,6.（2010廣東四校聯(lián)考）設(shè)f0(x)=sin x，f1(x)= f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)= ,nN,則 f2 010(x)=_. 解析 f1(x)=(sin x)=cos x, f2(x)=(cos x)=-sin x, f3(x)=(-sin x)=-cos x, f4(x)=(-cos x)=sin x, f5(x)=(sin x)=f1(x),f6(x)=f2(x),. fn+4(x)=fn(x),即周期T為4. f2010(x)=f2(x)=-sin x.,-sin x,7.（2009安徽改編）已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)= 2f(2-x)-x2+8x-8,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切 線方程是_. 解析 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8. 將f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8.f(x)=x2. y=f(x)在(1,f(1)處的切線斜率為y|x=1=2. 函數(shù)y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為 y-1=2(x-1),即y=2x-1.,y=2x-1,8.（2010無錫模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c 的導(dǎo)數(shù)為f(x),f(0)0,對于任意實(shí)數(shù)x,有f(x) 0,則 的最小值為_. 解析 f(x)=2ax+b,f(0)=b0,2,9.(2009江西改編)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線 y=x3和y=ax2+ x-9都相切,則a等于_. 解析 設(shè)曲線y=x3上切點(diǎn)為 公切線的斜率為k= 或k=0, 切線方程為y= (x-1)或y=0. 當(dāng)直線方程為y=0時(shí),求得a= 當(dāng)直線方程為y= (x-1)時(shí),求得a=-1.,二、解答題 10.(2010麗水模擬)已知曲線S:y=3x-x3及點(diǎn)P(2,2). (1)求過點(diǎn)P的切線方程; (2)求證:與曲線S切于點(diǎn)(x0,y0)(x00)的切線與S 至少有兩個(gè)交點(diǎn). (1)解 設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則 又f(x)=3-3x2, 切線斜率 (x0-1)(x0-1)2-3=0,解得x0=1或 相應(yīng)的斜率k=0或 切線方程為y=2或,(2)證明 與曲線S切于點(diǎn)(x0,y0)的切線方程可設(shè)為 與曲線S的方程聯(lián)立,消去y, 即(x-x0)2(x+2x0)=0, 則x=x0或x=-2x0, 因此,與曲線S切于點(diǎn)(x0,y0)(x00)的切線,與S至少 有兩個(gè)交點(diǎn).,11.(2008海南、寧夏,21,(1)(3)問)設(shè)函數(shù)f(x)= ax+ (a,bZ),曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切 線方程為y=3. (1)求f(x)的解析式; (2)證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和 直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值. (1)解,(2)證明 在曲線上任取一點(diǎn) 由f(x0)= 知,過此點(diǎn)的切線方程為 切線與直線x=1的交點(diǎn)為 令y=x,得y=2x0-1, 切線與直線y=x的交點(diǎn)為(2x0-1,2x0-1); 直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1,1), 從而所圍三角形的面積為 所以,所圍三角形的面積為定值2.,12.(2009江蘇淮陰二模)設(shè)曲線C:y=-ln x (0<x 1)在點(diǎn)M(e-t,t) (t0)處的切線為l. (1)求直線l的方程; (2)若直線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t), 求S(t)的最大值. 解 (1)y=(-ln x)= (0<x1), 在點(diǎn)M(e-t,t)處的切線l的斜率為-et, 故切線l的方程為y-t=-et(x-e-t), 即etx+y-1-t=0.,(2)令x=0,得y=t+1;再令y=0,得 從而S(t)= e-t(1-t)(1+t). 當(dāng)t0,1)時(shí),S(t)0; 當(dāng)t(1,+)時(shí),S(t)<0, S(t)的最大值為,返回,