1.3 線段的垂直平分線,第一章 三角形的證明,第1課時(shí) 線段的垂直平分線,1.理解線段垂直平分線的概念； 2.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；（重點(diǎn)） 3.能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算.（難點(diǎn)）,學(xué)習(xí)目標(biāo),導(dǎo)入新課,問題引入,某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？,A,B,C,觀察： 已知點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于直線l 對(duì)稱，如果線段AA沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，AD=AD，1=2= 90，即直線l 既平分線段AA，又垂直線段AA.,,,,,l,A,A,D,2,1,(A),講授新課,我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.,由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.,知識(shí)要點(diǎn),如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是l 上的點(diǎn)，請(qǐng)你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3， 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離之間的數(shù)量關(guān)系,探究發(fā)現(xiàn),P1A ____P1B,P2A ____ P2B,P3A ____ P3B,,,,作關(guān)于直線l 的軸反射（即沿直線l 對(duì)折），由于l 是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合. 從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.,活動(dòng)探究,猜想： 點(diǎn)P1，P2，P3， 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離分別相等,命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,由此你能得到什么結(jié)論？,你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？,如圖，直線lAB，垂足為C，AC =CB，點(diǎn)P 在l 上 求證：PA =PB,證明：lAB， PCA =PCB 又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PB,驗(yàn)證結(jié)論,微課--證明線段垂直平分線的性質(zhì),線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,線段垂直平分線的性質(zhì)定理：,總結(jié)歸納,例1 如圖，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC的長(zhǎng)為(),A5cm B10cm C15cm D17.5cm,典例精析,C,解析：DBC的周長(zhǎng)為BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm， BC352015(cm).故選C.,方法歸納：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng),練一練：1.如圖所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長(zhǎng)為（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3,2.如圖所示，在ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E, BCE的周長(zhǎng)等于18cm,則AC的長(zhǎng)是 .,B,10cm,圖,定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,逆 命 題,到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.,它是真命題嗎？你能證明嗎？,想一想：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？,記得要分點(diǎn)P在線段AB上及線段AB外兩種情況來討論,（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，,PA=PB，,點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，,顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；,（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如右圖所示.,PA=PB，,PAB是等腰三角形.,過頂點(diǎn)P作PCAB，垂足為點(diǎn)C，,底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.,即 PCAB，且AC=BC.,直線PC是線段AB的垂直平分線，,此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.,微課--線段垂直平分線的逆命題,到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.,線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：,應(yīng)用格式： PA =PB， 點(diǎn)P 在AB 的垂直平分線上,作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.,,總結(jié)歸納,例2：已知：如圖ABC中，AB=AC，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC. 求證：直線AO垂直平分線段BC.,證明：AB=AC， A在線段BC的垂直平分線（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）. 同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線. 直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.,利用三角形的全等證明,證明：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D， ABAC， AOAO， OBOC ， ABOACO（SSS）. BAO=CAO， AB=AC， AOBC OBOC ，ODOD ， RTDBORTDCO（HL）. BDCD. 直線AO垂直平分線段BC.,試一試：已知：如圖，點(diǎn)E是AOB的平分線上一點(diǎn)，ECOA,EDOB,垂足分別為C,D，連接CD. 求證：OE是CD的垂直平分線.,證明：,OE平分AOB,ECOA,EDOB,,DE=CE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）., OE是CD的垂直平分線.,當(dāng)堂練習(xí),,1.如圖所示，AC=AD,BC=BD, 則下列說法正確的是 （） AAB垂直平分CD； B CD垂直平分AB ； CAB與CD互相垂直平分； DCD平分 ACB ,A,2.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，這樣的點(diǎn)的組合共有種.,無數(shù),3.下列說法： 若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EAEB，PAPB； 若PAPB，EAEB，則直線PE垂直平分線段AB； 若PAPB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)； 若EAEB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB 其中正確的有 （填序號(hào)）., ,4.如圖，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16cm,則BCE的周長(zhǎng)是 cm.,16,5.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且AC =BC， AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O. 求證：AO=BO.,證明： AC =BC，AD=BD，, CD為線段AB的垂直平分線.,又 AB與CD相交于點(diǎn)O，,課堂小結(jié),線段的垂直平分的性質(zhì)和判定,性質(zhì),到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,,內(nèi)容,,判定,內(nèi)容,作用,,線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,作用,見垂直平分線，得線段相等,判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上,