平 面 向 量 復(fù) 習(xí),向量的三種表示,表示,運(yùn)算,向量加 法與減法,向量的相關(guān)概念,實(shí)數(shù)與 向量 的積,三 角 形 法 則,平行四邊形法則,向量平行、 垂直的條件,平面向量 的基本定理,平 面 向 量,向量的數(shù)量積,向量的應(yīng)用,幾何表示,: 有向線段,向量的表示,字母表示,坐標(biāo)表示,: (x，y),若 A(x1,y1), B(x2,y2),則 AB =,(x2 x1 , y2 y1),1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 4.單位向量: 5.平行向量: 6.相等向量: 7.共線向量:,既有大小又有方向的量,1.有向線段 2.字母 3.有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)字母,長度為零的向量(零向量與任意向量 都平行,長度為1個(gè)單位的向量,1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量與任一向量平行,長度相等且方向相同的向量,平行向量就是共線向量,向量的模（長度）,1. 設(shè) a = ( x , y ),則,2. 若表示向量 a 的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別 為A(x1,y1)、B (x2,y2) ，則,例1：思考下列問題：,1、下列命題正確的是 （1）共線向量都相等 （2）單位向量都相等 （3）平行向量不一定是共線向量 （4）零向量與任一向量平行,四、例題,一、第一層次知識(shí)回顧：,1.向量的加法運(yùn)算,三角形法則,平行四邊形法則,“首尾相接首尾連”,2.向量的減法運(yùn)算,設(shè) 則,思考：若 非零向量 ，,則它們的模相等且方向相同。,同樣 若：,“同始點(diǎn)尾尾相接,指向被減向量”,一、第一層次知識(shí)回顧：,1.向量的加法運(yùn)算,A,B,C,AB+BC=,三角形法則,O,A,B,C,OA+OB=,平行四邊形法則,坐標(biāo)運(yùn)算:,則a + b =,重要結(jié)論：AB+BC+CA=,0,設(shè) a = (x1, y1), b = (x2, y2),( x1 + x2 , y1 + y2 ),AC,OC,例題：,實(shí)數(shù)與向量 a 的積,定義：,坐標(biāo)運(yùn)算：,其實(shí)質(zhì)就是向量的伸長或縮短！,a是一個(gè),向量.,它的長度 |a| =,| |a|；,它的方向,(1) 當(dāng)0時(shí),a 的方向,與a方向相同；,(2) 當(dāng)0時(shí),a 的方向,與a方向相反.,若a = (x , y), 則a =, (x , y),= ( x , y),平面向量的數(shù)量積 （1）a與b的夾角：,（2）向量夾角的范圍：,（3）向量垂直：,00 ，1800,共同的起點(diǎn),（4）兩個(gè)非零向量的數(shù)量積：,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0,a b = |a| |b| cos,幾何意義：,數(shù)量積 a b 等于 a 的長度 |a|與 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘積。,若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ),則a b=,x1 x2 + y1 y2,5、數(shù)量積的運(yùn)算律：,交換律：,對數(shù)乘的結(jié)合律：,分配律：,注意：,數(shù)量積不滿足結(jié)合律,5、重要定理和公式：,二、平面向量之間關(guān)系,向量平行(共線)條件的兩種形式:,向量垂直條件的兩種形式:,3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)回憶,知識(shí)回憶,典例分析,例5,例6,例題,解這個(gè)方程組得k=-(1/3), =-(1/3),即當(dāng)k=-(1/3)時(shí)， ka+b與a-3b平行，這時(shí) ka+b=-a/3+b. 因?yàn)?-(1/3)<0,所以-a/3+b與a-3b反向。,在本例中，也可以根據(jù)向量平行充分條件的坐標(biāo) 形式，從(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,先解出 k=-(1/3)，然后再求。,注,例2 設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共線則k=_(kR),知識(shí)回憶,典例分析,例2,例3,例4,2、實(shí)數(shù)與向量的積典例分析-例2,1與平面幾何的結(jié)合：,C,C,四邊形ABCD是菱形,四邊形ABCD是矩形,O,D,M,O,M,外心,重心,重心,第一層次例題分析,類型四：三角形中的向量問題,重要結(jié)論：,A,B,C,O,第一層次例題分析,類型四：三角形中的向量問題,練習(xí)1：判斷正誤，并簡述理由。,( ）,( ）,( ）,( ）,( ）,( ）,平 面 向 量 復(fù) 習(xí),2.,設(shè)AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求證：A、B、D 三點(diǎn)共線。,分析,要證A、B、D三點(diǎn)共線，可證,AB=BD關(guān)鍵是找到,解：,BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b,AB=2 BD,且AB與BD有公共點(diǎn)B, A、B、D 三點(diǎn)共線,AB BD,