3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算,平面向量的夾角：,平面向量的數(shù)量積的定義：,即,你能類比平面向量的數(shù)量積的有關(guān)概念、計(jì)算方法和運(yùn)算律推導(dǎo)出空間向量的數(shù)量積的有關(guān)概念、計(jì)算方法和運(yùn)算律,概念,1） 兩個(gè)向量的夾角的定義,2）兩個(gè)向量的數(shù)量積,注意： 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量. 零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。,,3)空間向量的數(shù)量積性質(zhì),注意： 性質(zhì)2）是證明兩向量垂直的依據(jù)； 性質(zhì)3）是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)；,對(duì)于非零向量 ，有：,4)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律,注意：,思考,1.下列命題成立嗎? 若 ,則 若 ,則 ,應(yīng)用,,由于空間向量的數(shù)量積與向量的模和夾角有關(guān),所以立體幾何中的距離、夾角的求解都可以借助向量的數(shù)量積運(yùn)算來(lái)解決. (1)空間中的兩條直線(特別是異面直線)的夾角,可以通過(guò)求出這兩條直線所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角而獲得.對(duì)于兩條直線的判斷更為方便. (2)空間中的距離,即兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的向量的模.因此空間中的兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度,可以通過(guò)求向量的模得到.,典型例題,例1 在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.,,,,,,分析：用向量來(lái)證明兩直線垂直，只需證明兩直線的方向向量的數(shù)量積為零即可！,證明：,如圖,已知:,求證：,在直線l上取向量 ,只要證,為,逆命題成立嗎?,分析:同樣可用向量,證明思路幾乎一樣,只不過(guò)其中的加法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析.,變式,設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn),且滿足 則BCD是 ( ) A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不確定,C,分析：要證明一條直線與一個(gè)平面 垂直,由直線與平面垂直的定義可知,就是要證明這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.,,例2:(試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理) 已知直線m ,n是平面 內(nèi)的兩條相交直線, 如果 m, n,求證: .,,,,m,n,,,,,,取已知平面內(nèi)的任一條直線 g ,拿相關(guān)直線的方向向量來(lái)分析,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件?要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)?怎樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系?,共面向量定理,,例2:已知直線m ,n是平面 內(nèi)的兩條相交直線, 如果 m, n,求證: .,例3 如圖，已知線段在平面 內(nèi)，線段 ，線段 ，線段， ，如 果，求、之間的距離。,解：由，可知. 由 知 .,課堂練習(xí),1.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,則AB1與C1B所成角的大小為( ) A. B. C. D.,2.已知在平行六面體中，, , 求對(duì)角線的長(zhǎng)。,B,小 結(jié)： 通過(guò)學(xué)習(xí), 我們可以利用向量數(shù)量積解決立體幾何中的以下問(wèn)題： 1、證明兩直線垂直; 2、求兩點(diǎn)之間的距離或線段長(zhǎng)度; 3、求兩直線所成角.,