(文)如圖，過拋物線y22PX(P0)的焦點(diǎn) F 的直線與拋物線相交于 M、N 兩點(diǎn)，自 M、N 向準(zhǔn)線 L 作垂線，垂足分別為 M1、N1()求證：FM1FN1:、，()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為 S1S2S3，試判斷 S224S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論。本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力總分值 13 分答案：答案：(1)證法 1：由拋物線的定義得MF MM1,NF NN1,MFM1 MM1F,NFN1 NN1F2 分如圖，設(shè)準(zhǔn)線 l 與 x 的交點(diǎn)為F1MM1/NN1/FF1F1FM1 MM1F,F1FN1 NN1F0而F1FM1MFM1F1FN1N1FN 1800即2F1FM1 2F1FN1180F1FM1F1FN1 900故FM1 FN1證法 2：依題意，焦點(diǎn)為F(pp,0),準(zhǔn)線 l 的方程為x 22p，則有2（x1,y1),N（x2,y2),直線 MN 的方程為x my設(shè)點(diǎn) M,N 的坐標(biāo)分別為MM1(pp,y1),N1(,y2),FM1(p,y1),FN1(p,y2)22px my由2得y22mpy p2 0y2 2px2于是，y1 y2 2mp，y1y2 pFM1FN1 p2 y1y2 p2 p2 0，故FM1 FN12S2 4S1S3成立，證明如下：證法 1：設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則由拋物線的定義得|MM1|MF|x1pp,|NN1|NF|x2，于是2211pS1|MM1|F1M1|(x1)|y1|22211S2|M1N2|FF1|p|y1 y2|2211pS3|NN1|F1N1|(x2)|y2|22211p1p2S2 4S1S3(p|y1 y2|)2 4(x1)|y1|(x2)|y2|2222212pp22p(y1 y2)4y1y2x1x2(x1 x2)|y1y2|424px my 1y1 y2 2mp12將與代入上式化簡可得2py y px my,12222p2(m2p2 p2)p2(m2p2 p2)，此式恒成立。2故S2 4S1S3成立。證法 2：如圖，設(shè)直線MNM 的傾角為，|MF|r1,|NF|r2則由拋物線的定義得|MM1|MF|r1,|NN1|NF|r3MM1/NN1/FF1,FMM1,FNN1于是S11211r1sin,S3r22sin()r22sin222在FMM1和FNN1中，由余弦定理可得|FM1|2 2r122r12cos 2r12(1cos),|FN1|2 2r222r22cos 2r22(1cos)1|FM1|FN1|2112S2|FM1|2|FN1|24r12r22(1cos)(1cos)r12r22sin2 4S1S344由I的結(jié)論，得S22即S2 4S1S3，得證。來源：09 年高考湖北卷題型：解答題，難度：較難在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P 到點(diǎn) F3，0的距離的 4 倍與它到直線 x=2 的距離的 3 倍之和記為 d，當(dāng) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d 恒等于點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)與 18 之和求點(diǎn) P 的軌跡 C；設(shè)過點(diǎn) F 的直線 I 與軌跡 C 相交于 M，N 兩點(diǎn)，求線段 MN 長度的最大值。yOFxx=2答案：答案：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為x，y，則d 4(x3)2 y23x-2由題設(shè)當(dāng) x2 時(shí)，由得(x3)y 6221x,2x2y21.化簡得3627當(dāng)x 2時(shí)由得(3 x)2 y2 3 x,化簡得y 12x2x2y21在直線故點(diǎn) P 的軌跡 C 是橢圓C1:36272x=2 的右側(cè)部分與拋物線C2:y 12x在直線 x=2 的左側(cè)部分包括它與直線x=2 的交點(diǎn)所組成的曲線，參見圖 1如圖 2 所示，易知直線 x=2 與C1，C2的交點(diǎn)都是 A2，2 6，B2，2 6，直線 AF，BF 的斜率分別為kAF=2 6，kBF=2 6.當(dāng)點(diǎn) P 在C1上時(shí)，由知1PF 6x.2當(dāng)點(diǎn) P 在C2上時(shí)，由知PF 3 x假設(shè)直線 l 的斜率 k 存在，則直線 l 的方程為y k(x3)i當(dāng) kkAF，或 kkBF，即 k-26時(shí)，直線 I 與軌跡 C 的兩個(gè)交點(diǎn) Mx1，y1，Nx2，y2都在 C1上，此時(shí)由知11x1NF=6-x222111x1+6-x2=12-(x1+x2)從而MN=MF+NF=6-222MF=6-y k(x3)2222由x2y2得(3 4k)x 24k x36k 108 0則x1，y1是這個(gè)方程的兩1362724k212k21根，所以x1+x2=*MN=12-x1+x2=12-2234k34k22因?yàn)楫?dāng)k 2 6,或k 2 6時(shí),k 24,12k212100MN 1212.134k21142k當(dāng)且僅當(dāng)k 2 6時(shí)，等號成立。2當(dāng)kAE k kAN,2 6 k 2 6時(shí)，直線 L 與軌跡 C 的兩個(gè)交點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)分別在C1,C2上，不妨設(shè)點(diǎn)M在C1上，點(diǎn)C2上，則知，1MF 6x1,NF 3 x22設(shè)直線 AF 與橢圓C1的另一交點(diǎn)為 E(x0,y0),則x0 x1,x2 2.11MF 6x1 6x0 EF,NF 3 x2 32 AF22所以MN MF NF EF AF AE。而點(diǎn) A，E 都在C1上，且kAE 2 6,有1知AE 100100,所以 MN 1111假設(shè)直線的斜率不存在，則x1=x2=3，此時(shí)1100MN 12(x1 x2)9 211綜上所述，線段 MN 長度的最大值為10011來源：09 年高考湖南卷題型：解答題，難度：較難如圖，已知拋物線E:y x2與圓M:(x4)y r(r 0)相交于 A、B、C、D222四個(gè)點(diǎn)。求 r 的取值范圍當(dāng)四邊形 ABCD 的面積最大時(shí)，求對角線AC、BD 的交點(diǎn) P 的坐標(biāo)。答案：答案：解：解：將拋物線E:y x代入圓M:(x4)y r(r 0)的方程，消去y，整理得x 7x16r 0.1拋物線E:y x與圓M:(x4)y r(r 0)相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程1有兩個(gè)不相等的正根22222222222 4949 4 4(1616 r r2 2)0 0 5 55 55 5 r r 或或r r r r 4 4 x x1 1 x x2 2 7 7 0 0即。解這個(gè)方程組得2 22 22 2 4 4 r r 4 4 2 2 x x1 1 x x2 2 1616 r r 0 0 r(15,4).2II設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)。2則由I根據(jù)韋達(dá)定理有x1 x2 7,x1x216r，r(15,4)2則S 12|x2 x1|(x1x2)|x2 x1|(x1x2)2S2(x1 x2)24x1x2(x1 x22 x1x2)(72 16r2)(4r215)2令16r2t，則S (72t)(72t)下面求S的最大值。22方法 1：由三次均值有：1S2(72t)2(72t)(72t)(72t)(144t)21 72t 72t 144t31283()()2323當(dāng)且僅當(dāng)72t 144t，即t 意。法 2：設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2,x2)則直線 AC、BD 的方程分別為157,4)滿足題時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)r(26y y x x1 1 x x2 2 x x1 1x x2 2 x x1 1(x x x x1 1),),y y x x1 1 x x2 2 x x1 1x x2 2 x x1 1(x x x x1 1)解得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x x1 1x x2 2,0 0)。設(shè)t t 1 1x x1 1x x2 2，由t t 1616 r r2 2及得t t (0 0,)4 41 1(2 2 x x1 1 2 2 x x2 2)|x x1 1 x x2 2|2 2由于四邊形 ABCD 為等腰梯形，因而其面積S S 則S S2 2 (x x1 1 2 2 x x1 1x x2 2 x x2 2)()(x x1 1 x x2 2)2 2 4 4x x1 1x x2 2 將x x1 1 x x2 2 7 7，x x1 1x x2 2 t t代入上式，并令f f(t t)S S，等2 27 7f f(t t)(7 7 2 2t t)2 2(7 7 2 2t t)8 8t t3 3 2828t t2 2 9898t t 343343(0 0 t t )，2 2f f(t t)2424t t 5656t t 9898 2 2(2 2t t 7 7)()(6 6t t 7 7)，2 2令f f(t t)0 0得t t 7 77 7，或t t 舍去6 62 2當(dāng)0 0 t t 7 77 77 77 7時(shí)，f f(t t)0 0；當(dāng)t t 時(shí)f f(t t)0 0；當(dāng) t t 時(shí)，f f(t t)0 06 66 66 62 27 7時(shí)，f f(t t)有最大值，即四邊形ABCD 的面積最大，故所求的點(diǎn)P 的6 6故當(dāng)且僅當(dāng)t t 坐標(biāo)為(,0 0)。7 76 6來源：09 年高考全國卷一題型：解答題，難度：中檔已知拋物線 C:x2=2py(p0)上一點(diǎn) A(m,4)到其焦點(diǎn)的距離為17.4I求 p 與 m 的值；II設(shè)拋物線 C 上一點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t(t0)，過 P 的直線交 C 于另一點(diǎn) Q，交 x 軸于點(diǎn) M，過點(diǎn) Q 作 PQ 的垂線交 C 于另一點(diǎn) N.假設(shè) MN 是 C 的切線，求 t 的最小值.答案：答案：p，根據(jù)拋物線定義2p171點(diǎn)A(m,4)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即4，解得p 242拋物線方程為：x2 y，將A(m,4)代入拋物線方程，解得m 2解析由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：y 由題意知，過點(diǎn)P(t,t)的直線PQ斜率存在且不為 0，設(shè)其為k。2t2 ktt2 kt,則M(,0)。則lPQ:y t k(xt)，當(dāng)y 0,x kky t2 k(x t)2x kx t(k t)0聯(lián)立方程，整理得：2x y即：(x t)x(k t)0，解得x t,或x k t1Q(k t,(k t)2)，而QN QP，直線NQ斜率為21 世紀(jì)教育網(wǎng)k121y(k t)x(k t)lNQ:y(k t)2 x(k t)，聯(lián)立方程kk2x y11222整理得：x x(k t)(k t)0，即：kx x(k t)k(k t)1 0kkk(k t)1kx k(k t)1x(k t)0，解得：x ，或x k tkk(k t)1 k(k t)12N(,)，kk2k(k t)122(k2 kt 1)2kKNM222k(k t)1t ktk(t k 1)kk2而拋物線在點(diǎn) N 處切線斜率：k切 yxk(kt)1k 2k(k t)2k(k2kt 1)22k(k t)2MN 是拋物線的切線，2，整理得2kk(t k 1)k2tk 1 2t2 0222 t2 4(1 2t2)0，解得t 舍去，或t，tmin333來源：09 年高考浙江卷題型：解答題，難度：中檔已知拋物線C：x 2py(p 0)上一點(diǎn)A(m,4)到其焦點(diǎn)的距離為I求p與m的值；II設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(t 0)，過P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N.假設(shè)MN是C的切線，求t的最小值.217.4答案：答案：p，根據(jù)拋物線定義2p171點(diǎn)A(m,4)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即4，解得p 242拋物線方程為：x2 y，將A(m,4)代入拋物線方程，解得m 22由題意知，過點(diǎn)P(t,t)的直線PQ斜率存在且不為 0，設(shè)其為k。由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：y t2 ktt2 kt,則M(,0)。則lPQ:y t k(xt)，當(dāng)y 0,x kky t2 k(x t)2聯(lián)立方程，整理得：x kx t(k t)02x y即：(x t)x(k t)0，解得x t,或x k t1Q(k t,(k t)2)，而QN QP，直線NQ斜率為k11y(k t)2 x(k t)2lNQ:y(k t)x(k t)，聯(lián)立方程kkx2 y11222整理得：x x(k t)(k t)0，即：kx x(k t)k(k t)1 0kkk(k t)1kx k(k t)1x(k t)0，解得：x ，或x k tk2k(k t)1 k(k t)12N(,)，2kkk(k t)122(k2 kt 1)2kKNM222k(k t)1t ktk(t k 1)kk而拋物線在點(diǎn) N 處切線斜率：k切 yxk(kt)1k 2k(k t)2k(k2kt 1)22k(k t)2MN 是拋物線的切線，2，整理得kk(t k21)k2tk 1 2t2 0222 t2 4(1 2t2)0，解得t 舍去，或t，tmin333來源：09 年高考浙江卷題型：解答題，難度：較難已知拋物線 y2=4ax(0a1的焦點(diǎn)為 F，以 A(a+4,0)為圓心，AF為半徑在 x 軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點(diǎn)M 和 N，設(shè) P 為線段 MN 的中點(diǎn).1求MF+NF的值；2是否存在這樣的 a 值，使MF、PF、NF成等差數(shù)列?如存在，求出 a的值，假設(shè)不存在，說明理由.答案：答案：1Fa,0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0)，由y2 4ax(xa 4)y1622 x22(a4)x(a28a)0，0,x1 x2 2(4a)，MF NF (x1a)(x2a)82假設(shè)存在 a 值，使的AP MNMF,PF,NF成等差數(shù)列，即2 PF MF NF 2x0 x1 x2 x0 4 a，P 是圓 A 上兩點(diǎn) M、N 所在弦的中點(diǎn)，y0y y12x0a4x2 x1y2 y14a(y2 y1)8a24a2由得y0 2a 2a y02 4a2 0，這是不可x2 x1x2 x1y1 y2y0能的.假設(shè)不成立.即不存在 a 值，使的MF,PF,NF成等差數(shù)列.來源：09 年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：較難拋物線 x2=4y 的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn)(0，1)作直線 L 交拋物線 A、B 兩點(diǎn)，再以 AF、BF為鄰邊作平行四邊形 FARB，試求動(dòng)點(diǎn) R 的軌跡方程.12 分答案：答案：設(shè) R(x,y),F(0,1),平行四邊形 FARB的中心為C(,xy 1)，L:y=kx1,代入拋物線方22程得 x24kx+4=0,設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2160，即|k|1，x12 x22(x1 x2)22x1x2y1 y2 4k22，C 為 AB 的中點(diǎn).44xx2 x2 2k22y 1y2 y22 2k122x 4k，消去 k 得 x2=4(y+3),由 得，x 4，故動(dòng)點(diǎn) R 的軌跡方程為2y 4k3x2=4(y+3)(x 4).來源：09 年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔已知點(diǎn) A2，8，Bx1，y1，Cx2，y2在拋物線y 2px上，ABC 的重心與此拋物線的焦點(diǎn) F 重合如圖1寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)；2求線段 BC 中點(diǎn) M 的坐標(biāo)；3求 BC 所在直線的方程.2答案：答案：1由點(diǎn) A2，8在拋物線y 2px上，有8 2p2，解得 p=16.所以拋物線方程為y 32x，焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為8，0.2如圖，由于F8，0是ABC 的重心，M 是 BC 的中點(diǎn)，所以F 是線段 AM 的AF定比分點(diǎn)，且 2，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(x0,y0)，則FM22222x082y08,0，解得x011,y0 4，1212所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為11，4.3由于線段 BC 的中點(diǎn) M 不在 x 軸上，所以 BC 所在的直線不垂直于 x 軸.設(shè) BC 所在直線的方程為：y 4 k(x 11)(k 0).y 4 k(x 11),消 x 得ky232y 32(11k 4)0，由2y 32x所以y1 y232，由2的結(jié)論得y1 y2 4，解得k 4.2因此 BC 所在直線的方程為：4x y 40 0.k來源：09 年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔求以拋物線3y 16x的頂點(diǎn)O，焦點(diǎn)F及拋物線上縱坐標(biāo)為 4 的點(diǎn)P為頂點(diǎn)的2OPF的周長。答案：答案：設(shè)p p x x0 0,y y0 0因?yàn)?P 是拋物線上的一點(diǎn)所以3 3y y2 20 0 1616x x0 0根據(jù)提題意y y0 0 4 4所以x x0 0 3 3即P P 3,43,4 PFPF 3 3 4 413132 22 2 OPOP (3(3 0)0)4 4 0 0 5 53 33 34 413133232 3 33 33 3C C OPFOPF 5 5 來源：09 年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A0，8的距離比到直線l:y 7的距離大 1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。答案：答案：動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A0，8的距離比到直線l:y 7的距離大 1所以動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A0，8的距離等于到直線l:y 8的距離所以 P 的軌跡是以A0，8為焦點(diǎn)，l:y 8為準(zhǔn)線的拋物線所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x x 3232y y2 2來源：09 年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔已知拋物線y 4x上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，求這點(diǎn)的坐標(biāo)。2答案：答案：設(shè)p p x x0 0,y y0 0因?yàn)?P 是拋物線上的一點(diǎn)，所以P 到焦點(diǎn)的距離等于P 到準(zhǔn)線的距離即x x0 0 1 1 5 5所以x x0 0 6 6代入拋物線方程得y y0 0 4 4所以P P 4,4,4 4 來源：09 年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：容易已知曲線 C:y=x與直線 l:x-y+2=0 交于兩點(diǎn) A(xA,yA)和 B(xB,yB)，且 xAxB.記曲線 C 在點(diǎn) A 和點(diǎn) B 之間那一段 L 與線段 AB 所圍成的平面區(qū)域含邊界為D.設(shè)點(diǎn) P(s,t)是 L 上的任一點(diǎn)，且點(diǎn) P 與點(diǎn) B 均不重合.1假設(shè)點(diǎn) Q 是線段 AB 的中點(diǎn)，試求線段 PQ 的中點(diǎn) M 的軌跡方程；2假設(shè)曲線 G:x-2ax+y-4y+a2+22251=0 與D有公共點(diǎn)，試求a的最小值.25答案：答案：1 聯(lián)立y x與y x 2得xA 1,xB 2，則AB中點(diǎn)Q(,)，設(shè)線段PQ的21 52 215 st15中點(diǎn)M坐標(biāo)為(x,y)，則x 2，即s 2x,t 2y，又點(diǎn)P在曲,y 22222線C上，5121122y (2x)化簡可得y x x，又點(diǎn)P是L上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A228115和點(diǎn)B重合，則1 2x 2，即 x，中點(diǎn)M的軌跡方程為2441115y x2 x x.844yxBxADox2曲線G:x 2ax y 4ya 即圓E：(x a)(y 2)2222251 0，25497，其圓心坐標(biāo)為E(a,2)，半徑r 25551222由圖可知，當(dāng)0 a 2時(shí)，曲線G:x 2ax y 4ya 0與點(diǎn)D有公共25點(diǎn)；當(dāng)a 0時(shí)，要使曲線G:x 2ax y 4ya 22251 0與點(diǎn)D有公共點(diǎn)，只需圓257 27 a 0，則a的，得55心E到直線l:x y2 0的距離d|a 2 2|2|a|2最小值為7 2.5來源：09 年高考廣東卷題型：解答題，難度：較難設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線y 2x上，l是 AB 的垂直平分線，1當(dāng)且僅當(dāng)x1 x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn) F？證明你的結(jié)論；2當(dāng)x11,x2 3時(shí)，求直線l的方程.3當(dāng)直線l的斜率為 2 時(shí)，求 在y軸上截距的取值范圍。2答案：答案：法一F l|FA|FB|A,B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等.拋物線的準(zhǔn)線是 x 軸的平行線，y1 0,y2 0,依題意y1,y2不同時(shí)為 0，2上述條件等價(jià)于y1 y2 x12 x2(x1 x2)(x1 x2)0;x1 x2，上述條件等價(jià)于x1 x2 0.即當(dāng)且僅當(dāng)x1 x2 0時(shí)，l 經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn) F.法二拋物線y 2x，即x2焦點(diǎn)為F(0,)1直線l的斜率不存在時(shí)，顯然有x1 x2 02直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為 k，截距為 b2y1,p，2418即直線l：y=kx+b由已知得：yy21 kx1x2b22y1y2 1x1x2k222x22x1 kx1x2b22222x12x2 1kx1x2x222x1 kbx1x221 xx122k1122x1x2 b 0b 44即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過焦點(diǎn)F(0,)所以當(dāng)且僅當(dāng)x1 x2=0 時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn) F2當(dāng)x11,x2 3時(shí)，直線l的斜率顯然存在，設(shè)為l：y=kx+b則由得：x1x2x222x1kb 10 kbx1x22211 2 x1x22k2k181k 4b 414所以直線l的方程為y 141x443設(shè)l 在 y 軸上的截距為 b，依題意得l 的方程為y 2x b；過點(diǎn)A、B 的直線方程可寫為y 111x m，所以x1,x2滿足方程2x2x m 0,得x1 x2；2241A，B 為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式 8m 0,41即m .32設(shè) AB 的中點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(x0,y0)，則x01111(x1 x2,y0 x0 m m.28216由N l,得115519 m b,于是b m.1641616323232即得 l 在 y 軸上截距的取值范圍為9,來源：09 年浙江紹興月考一題型：解答題，難度：較難過拋物線y 2px(p 0)的對稱軸上一點(diǎn)Aa,0a 0的直線與拋物線相交于 M、2N 兩點(diǎn)，自 M、N 向直線l:x a作垂線，垂足分別為M1、N1。當(dāng)a 記p時(shí)，求證：AM1AN1；2AMM1、AM1N1、ANN1的面積分別為S1、S2、S3，是否存在，2使得對任意的a 0，都有S2S1S2成立。假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，說明理由。答案：答案：解：依題意，可設(shè)直線 MN 的方程為x my a,M(x1,y1),N(x2,y2)，則有 21 世紀(jì)教育網(wǎng)M(a,y1),N(a,y2)由x mya2y 2px消去 x 可得y 2mpy 2ap 02從而有y1 y2 2mpy y 2ap122于是x1 x2 m(y1 y2)2a 2(m p a)(y1y2)2(2ap)22 a又由y1 2px1，y1 2px2可得x1x2224p4p22ppp時(shí)，點(diǎn)A(,0)即為拋物線的焦點(diǎn)，l為其準(zhǔn)線x 222PP2此時(shí)M1(,y1),N1(,y2),并由可得y1y2 p22如圖 1，當(dāng)a 證法 1：AM1(p,y1),AN1(p,y2)AM1AN1 p2 y1y2 p2 p2 0,即AM1 AN121 世紀(jì)教育網(wǎng)KAM1 y1y,KAN1 2,pp證法 2：KAM1KAN1y1y2p22 2 1,即AM1 AN1.pp2()存在 4，使得對任意的a 0，都有S2 4S1S3成立，證明如下：證法 1：記直線l與 x 軸的交點(diǎn)為A1,則OA OA1 a。于是有11 MM1 A1M1（x1a)y1221S2 M1N1 AA1 a y1 y2211S3 NN1 A1N1（x2a)y222S12S2 4S1S3(a y1 y2)2(x1a)y1(x2a)y2 a(y1 y2)4y1y2x1x2a(x1 x2)a y1y2將、代入上式化簡可得222a2(4m2p28ap)2ap(2am2p 4a2)4a2p(m2p 2a)2上式恒成立，即對任意a 0,S2 4S1S3成立2證法 2：如圖 2，連接MN1,NM1,則由y1y2 2ap,y1 2px1可得KOMy12p2py22py2y2 KON1,所以直線MN1經(jīng)過原點(diǎn) O，x1y1y1y22apa同理可證直線NM1也經(jīng)過原點(diǎn) O又OA OA1 a設(shè)M1A1 h1,N1A1 h2,MM1 d1,NN1 d2,則111S1d1h1,S22a(h1h2)a(h1h2),S3d2h2.222來源：09 年高考湖北卷題型：解答題，難度：較難如圖，已知三角形PAQ 頂點(diǎn) P-3，0，點(diǎn)A 在 y軸上，點(diǎn) Q 在 x 軸正半軸上，PA AQ 0，QM 2 AQ。I當(dāng)點(diǎn)A 在 y 軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡 E的方程；II設(shè)直線l：y kx 1與軌跡 E 交于 B、C兩點(diǎn)，點(diǎn) D1，0，假設(shè)BDC 為鈍角，求 k 的取值范圍。答案：答案：解：I設(shè)OM x，y，OA 0，a(a 0)，OQ b，0(b 0)則PA 3，a，AQ b，a2又PA AQ 0，a 3b12 分又QM x b，y，AQ b，a，QM 2 AQx 3by 2a2 2 4 分由 y 4x(x 0)6 分II設(shè)OB x1，y1，OC x2，y2，DB x11，y1，DC x21，y2DB DC|DB|DC|cosBDCDB DCBDC 為鈍角，cosBDC 0|DB|DC|DB DC 08 分x1x2x1 x21 y1y2 0 3 2y 4x由消去 y 得：k2x2 2k24 x k2 0(k 0)y kx 14 2k2，x1x2 1則x1 x2k2 4 y1y2 kx11kx21 k2x1x2x1 x21分 代入得：k2 510122 k，此時(shí) 022222k 0，k 的范圍是，0 0，12 分22來源：題型：解答題，難度：較難設(shè) F1，0，M 點(diǎn)在 x 軸上，P 點(diǎn)在 y 軸上，且MN 2 MP，PM PF.當(dāng)點(diǎn) P 在 y 軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 N 點(diǎn)的軌跡 C 的方程；設(shè) A x1,y1，B x2,y2，D x3,y3 是曲線 C 上的三點(diǎn)，且|AF|、|BF|、|DF|成等差數(shù)列，當(dāng) AD 的垂直平分線與 x 軸交于 E3，0時(shí)，求 B 點(diǎn)的坐標(biāo) 答案：答案：解：MN 2 MP，故P 為 MN 中點(diǎn)1 分又PM PF，P 在 y 軸上，yF 為1，0，故M 在 x 軸的負(fù)方向上，設(shè)Nx，y則Mx，0，P0,，x0，2 y y2 分PM x,PF 1,，3 分又PM PF故PM PF 0,4 分22y2即 x 0 y2 4xx 0是軌跡 C 的方程5 分4 拋 物 線 C的 準(zhǔn) 線 方 程 是 x 1，由 拋 物 線 定 義 知|AF|x11,|BF|x21,|DF|x316 分|AF|、|BF|、|DF|成等差數(shù)列，22 4x1，y2x11 x31 2x21，x1 x3 2x27 分又y12 4x2，y3 4x3，故22y1 y3y1 y3y1 y3 4x1 x3，kADy1 y348 分AD 的中垂x1 x3y1 y3線為y x x3y1 y3y1 y3,x 39 分而 AD 中點(diǎn)1在其中垂線上，224y1 y3y y3 x1 x31 13 即1 x23 x21 11 分 由y22 4x2242212 分y2 2B 點(diǎn)坐標(biāo)為1，2或1，2來源：題型：解答題，難度：較難已知二次函數(shù) y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù) y=f2(x)的圖象與直線y=x 的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為 8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函數(shù) f(x)的表達(dá)式；(2)證明:當(dāng) a3 時(shí),關(guān)于 x 的方程 f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.答案：答案：【解】(1)由已知,設(shè) f1(x)=ax2,由 f1(1)=1,得 a=1,f1(x)=x2.設(shè) f2(x)=k(k0),它的圖象與直線 y=x 的交點(diǎn)分別為xA(k,k)B(k,k)88.故 f(x)=x2+.xx88(2)【證法一】f(x)=f(a),得 x2+=a2+,xa88即=x2+a2+.xa8在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出 f2(x)=和x8f3(x)=x2+a2+的大致圖象,其中 f2(x)的圖象是以坐標(biāo)軸為漸近線,且位于第一、三象a8限的雙曲線,f3(x)與的圖象是以(0,a2+)為頂點(diǎn),開口向下的拋物線.a由AB=8,得 k=8,.f2(x)=因此,f2(x)與 f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn),即 f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解.8a8當(dāng) a3 時(shí),.f3(2)f2(2)=a2+80,a又f2(2)=4,f3(2)=4+a2+當(dāng) a3 時(shí),在第一象限 f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f(2)在 f2(x)圖象的上方.f2(x)與 f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn),即 f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解.因此,方程 f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.【證法二】由 f(x)=f(a),得 x2+即(xa)(x+a方程 x+a828=a+,xa8)=0,得方程的一個(gè)解 x1=a.ax8=0 化為 ax2+a2x8=0,ax由 a3,=a4+32a0,得 a2a432a a2a432ax2=,x3=,2a2ax20,x1 x2,且 x2 x3.a2a432a假設(shè) x1=x3,即 a=,則 3a2=a432a,a4=4a,2a得 a=0 或 a=3 4,這與 a3 矛盾,x1 x3.故原方程 f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.來源：題型：解答題，難度：較難已知點(diǎn) B1，0，C1，0，P 是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PC|BC|PBCB.1求點(diǎn) P 的軌跡 C 對應(yīng)的方程；2已知點(diǎn) Am,2在曲線 C 上，過點(diǎn) A 作曲線 C 的兩條弦 AD，AE，且 AD，AE的斜率 k1、k2滿足 k1k2=2.求證：直線 DE 過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).答案：答案：1設(shè)P(x,y)代入|PC|BC|PBCB得(x 1)2 y21 x,化簡得v2 4x.(3分)(2)將A(m,2)代入y2 4x得m 1,(4分)設(shè)直線DE的方程為y kx b,D(x1,y1),E(x1,y1)y kx b由2得k2x2 2(kb 2)x b2 0,y 4xy 2y2 2kADkAE 2,1 2(x1,x21),(6分)x11x21且y1 kx1b,y2 kx2b(k2 2)x1x2(kb 2k 2)(x1 x2)(b 2)22 0,(8分)2(kb 2)b2將x1 x2,x1x22代入化簡得b2(k 2)2,b (k 2).(10分)2kkb (k 2).(10分)將b k 2代入y kx b得y kx k 2 k(x 1)2,過定點(diǎn)(1,2).將b 2 k代入y kx b得y kx 2 k k(x 1)2,過定點(diǎn)(1,2),不合,舍去,定點(diǎn)為(1,2)(12分)來源：題型：解答題，難度：較難如圖，過點(diǎn) A-1，0，斜率為 k 的直線 l 與拋物線 C：y 4x交于 P、Q 兩點(diǎn)。1假設(shè)曲線 C 的焦點(diǎn) F 與 P，Q，R 三點(diǎn)按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點(diǎn) R的軌跡方程；2設(shè)P，Q 兩點(diǎn)只在第一象限運(yùn)動(dòng)，0，8點(diǎn)與線 段PQ 中點(diǎn)的連線交 x 軸于點(diǎn) N，當(dāng)點(diǎn) N 在 A 點(diǎn)右側(cè)時(shí)，求k的取值范圍。2答案：答案：解：1由已知l:y k(x 1)，y k(x 1)y 4x2消 x 得k2y y k 04k 0直線 l 交 C 于兩點(diǎn) P、Q，4 1 k2 0得1 k 0或0 k 1。設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2),R(x,y)，M 是 PQ 中點(diǎn)，y1 y2422，M 點(diǎn)縱坐標(biāo)yM，將其代入 l 方程，得xM21，kkkPFQR 是平行四邊形，R、F 中點(diǎn)也是 M，而 F1，0 x 442y 4(x 3)。又k(1,0)(0,1)，消 k 得,y 2kk 32x(1,)，點(diǎn) R 的軌跡方程為y 4(x 3)(x 1)2P、Q 在第一象限y1 y2 0,y1 y2 0k 0，2k 8k2x 8令結(jié)合1得k(0,1)0，8點(diǎn)與PQ 中點(diǎn)所在直線方程為y 22 k4k28y 0，得 N 點(diǎn)橫坐標(biāo)xN2k 4k4k28 1。N 在點(diǎn) A 右側(cè)令xN 1，得k 4k21 k 841綜合，k 的取值范圍是 k 1。4解之得k 0或來源：題型：解答題，難度：較難已知點(diǎn) H0，3，點(diǎn) P 在x軸上，點(diǎn)Q 在y軸正半軸上，點(diǎn)M 在直線 PQ 上，且滿足 3HPPM 0，PM MQ。2 1當(dāng)點(diǎn) P 在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡曲線 C 的方程；2過定點(diǎn)Aa，b的直線與曲線C 相交于兩點(diǎn) S、R，求證：拋物線S、R 兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn) B 恒在一條直線上。答案：答案：1 解：設(shè) P a,0，Q 0，b 則：HP PQ (a,3)(a,b)a 3b 0a2 3b 23b 3a設(shè) Mx,yPM HQx 2ay 2 3b33211221y x241122解法一：設(shè) A(a,b)，S(x1,x12)，R(x2,x2)x1x2441212x x124241(x x1)，即 4y=(x1+x2)xx1x2則：直線 SR 的方程為：y x14x2 x1121x求導(dǎo)得：y=x421212拋物線上 S、R 處的切線方程為：y x1x1(x x1)即 4y 2x1x x1421212y x2x2(x x2)即 4y 2x2x x242x1 x2x 2，代入得：ax2y2b=0 故：B 點(diǎn)在直線ax2y聯(lián)立，并解之得1y x1x24A 點(diǎn)在 SR 上，4b=(x1+x2)ax1x2對y 2b=0 上解法二：設(shè) A(a,b)當(dāng)過點(diǎn) A 的直線斜率不存在時(shí)l與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，與題意不符，可設(shè)直線 SR 的方程為yb=k(xa)與y 4b=012x聯(lián)立消去y得：x24kx+4ak4設(shè)S(x1,x1 x2 4k1212，xx則由韋達(dá)定理：x1)R(x2,x2)1244x1x2 4(ak b)22又過 S、R 點(diǎn)的切線方程分別為：4y 2x1x x1，4y 2x2x x2x1 x2kx 22聯(lián)立，并解之得k為參數(shù)1y x1x2 ak b4消去k，得：ax2y2b=0故：B 點(diǎn)在直線 2axyb=0 上來源：題型：解答題，難度：較難如圖，求由兩條曲線y=x，4y=x及1 所圍成圖形的面積.22yOxA4y=x2直線y=答案：答案：B-1CDy=x2解：理由對稱性，所求圖形面積為位于y 軸在側(cè)圖形面積的 2 倍2 分由y x得 C1，1同理得D2，15 分y 1yOxA2B-1CD2212所求圖形的面積S 2x(x2)dxx(1)dx04144y=x2y=x213x2 2(04dx 2123x2dx dx)2(x14410 x312212 x|1)412 分3來源：題型：解答題，難度：難過拋物線y ax(a 0)外一點(diǎn) Px0,y0，向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B。1求直線 AB 的方程；2設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 F。求證：|PF|AF|BF|。22答案：答案：1設(shè)切點(diǎn) Ax1,y1，Bx2,y2，則過 Ax1,y1處切線方程為y y1 2ax1(x x1)即y 2ax1x ax12 2ax1x y1，同理過 Bx2,y2處切線方程為y 2ax2x y2。又 Px0,y0在上述兩切線上，y0 2ax1x0 y1，y0 2ax2x0 y2，過 A、B 兩點(diǎn)的直線方程為：y0 2ax0 x y，即y 2ax0 x y0。6 分y ax222聯(lián)立，ax 2ax0 x y0 0，y 2ax0 x y0yx1 x2 2x0,x1x20，a12122)x2(y2)2|AF|BF|x1(y14a4ay1yy2y112 y121()2 y22()2a2a4aa2a4a1111(y1)(y2)y1y2(y1 y2)4a4a4a16a22 ax12ax21111222(ax12 ax2)y(x x)2x x 012124a416a216a21112222 y0y0 x (y)x0|PF|212 分0022a4a16a來源：06 武漢調(diào)考題型：解答題，難度：較難設(shè)曲線：)上的點(diǎn)，)，過作曲線的切線與 x 軸交于 Q，過 Q作平行于 y 軸的直線與曲線 c 交于 P，然后再過作曲線 c 的切線交 x 軸于，過作平行于 y 軸的直線與曲線 c 交于，依次類推，作出以下各點(diǎn)：，已知，設(shè)，N N)()求出過點(diǎn)的切線方程；()設(shè)，求的表達(dá)式；()設(shè)，求lim.n答案：答案：解：()，過點(diǎn) P的切線方程為4 分()，過 P的切線方程為6 分將 Q，的坐標(biāo)代入方程得：xnx1n12xn28 分故是首項(xiàng)為，公比為1的等比數(shù)列211，即 f(n)2212(1n1)112()Sn 4(1n1)limSn=lim4(1-n1)=4nn12212f(n)=2 10 分來源：題型：解答題，難度：較難已知 RtOAB 的三頂點(diǎn) O、A、B 都在拋物線C:y2 2px(p 0)上(如圖),OAOB.假設(shè)直線 OA 的斜率為 2,|AB|=5 13,求拋物線 C 的假設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),求證:x1x2與 y1y2均為定值.方程；答案：答案：解：(1)由y22pxy2xp A(,p)(1 分)2同理可得 B(8P,-4P)(2 分)p2由|AB|=513得(8p)2(4p p)2 5 13(3 分)p 4(4 分)2p0,p=2.(5 分)C 的方程為y 4x(2)A(x1,y1),B(x2,y2)在y 2px上,y1 2px1,y2 2px2(7 分)又OAOB,x1x2 y1y2 0(9 分)2222y1y2=4p2(定值)(11 分)x1x2 y1y2 4p(定值)(12 分)222來源：題型：解答題，難度：中檔已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn) P1，0，且與定直線l:x 1相切，點(diǎn) C 在l上.求動(dòng)圓圓心的軌跡M 的方程；設(shè)過點(diǎn) P，且斜率為3的直線與曲線 M 相交于 A，B 兩點(diǎn).i問：ABC 能否為正三角形？假設(shè)能，求點(diǎn)C 的坐標(biāo)；假設(shè)不能，說明理由；ii當(dāng)ABC 為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C 的縱坐標(biāo)的取值范圍.答案：答案：解：依題意，曲線M 是以點(diǎn) P 為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M 的方程為y2 4x.i由題意得，直線 AB 的方程為lyy 3(x1)消y 3(x1)由2y 4xy得13x210 x 3 0,解得x1,x2 3.31 2 3所以 A 點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，B 點(diǎn)坐標(biāo)為3，33y24x2 33A(3,1233)2 3，|AB|x1 x22 16.3-1OP(1,0)x假設(shè)存在點(diǎn) C1，y，使ABC 為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即16(31)2(y 2 3)2()2,31(1)2(y 2)2(16)23332 3B(3,2 3)14 3由得42(y 2 3)2(4)2(y 2 3)2,解得y .933但y 14 3不符合，所以由，組成的方程組無解.9因此，直線l上不存在點(diǎn) C，使得ABC 是正三角形.y ii解法一：設(shè) C1，y使ABC 成鈍角三角形，由x 13(x 1)得y 2 3，即當(dāng)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為1，2 3時(shí)，A，B，C 三點(diǎn)共線，故y 2 3.又|AC|2(11)2(y 2333)2284 3y y2，93|BC|2(31)2(y 2 3)2 28 4 3y y2，|AB|2(16)2256.39當(dāng)|BC|2|AC|2|AB|2，即28 4 3y y2284 3y y2256，939即y 23時(shí),CAB為鈍角.9939當(dāng)|AC|2|BC|2|AB|2，即284 3y y2 28 4 3y y2256，即y 103時(shí)CBA為鈍角.3又|AB|2|AC|2|BC|2，即256284 3y y2 28 4 3y y2，993即y243y 4 0,(y 2)2 0.該不等式無解，所以ACB 不可能為鈍角.333因此，當(dāng)ABC 為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C 的縱坐標(biāo) y 的取值范圍是y 10 32 3或y(y 2 3).39解法二：以 AB 為直徑的圓的方程為(x5)2(y 23)2(8)2.333圓心(5,23)到直線l:x 1的距離為，333所以，以 AB 為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn) G(1,2 3).38當(dāng)直線l上的 C 點(diǎn)與 G 重合時(shí)，ACB 為直角，當(dāng) C 與 G點(diǎn)不重合，且 A，B，C 三點(diǎn)不共線時(shí)，ACB 為銳角，即ABC 中ACB 不可能是鈍角.因此，要使ABC 為鈍角三角形，只可能是CAB 或CBA 為鈍角.過點(diǎn) A 且與 AB 垂直的直線方程為y 2 33(x 1).令x 1得y 2 3.333910過點(diǎn) B 且與 AB 垂直的直線方程為y 2 3 3(x 3).令x 1得y 3.33y 3(x 1)又由解得y 2 3，所以，當(dāng)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為1，2 3時(shí)，A，B，C 三x 1點(diǎn)共 線，不構(gòu)成三角形.因此，當(dāng)ABC 為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C 的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y 10 32 3或y(y 2 3).39來源：03 北京市春題型：解答題，難度：較難已知拋物線 y=2px(p0)的焦點(diǎn)為 F,A 是拋物線上4、且位于x 軸上方的點(diǎn),A 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,垂直于 y 軸,垂足為 B,OB 的中點(diǎn)為 M.(1)求拋物線方程;(2)過 M 作 MNFA,垂足為 N,求點(diǎn) N 的坐標(biāo);(3)以 M 為圓心,MB 為半徑作圓 M.當(dāng) K(m,0)是 x 軸時(shí),丫討論直線 AK 與圓 M 的位置關(guān)系.2橫坐標(biāo)為過 A 作 AB上一動(dòng)點(diǎn)答案：答案：(1)拋物線 y=2px 的準(zhǔn)線為 x=-22pp,于是 4+=5,p=2.22拋物線方程為 y=4x.(2)點(diǎn) A 是坐標(biāo)是(4,4),由題意得 B(0,4),M(0,2),又F(1,0),kFA=則 FA 的方程為 y=N 的坐標(biāo)(43;MNFA,kMN=-,344384(x-1),MN 的方程為 y-2=-x,解方程組得 x=,y=,345584,).55(1)由題意得,圓 M.的圓心是點(diǎn)(0,2),半徑為 2,當(dāng) m=4 時(shí),直線 AK 的方程為 x=4,此時(shí),直線 AK 與圓 M 相離.當(dāng) m4 時(shí),直線 AK 的方程為 y=4(x-m),即為 4x-(4-m)y-4m=0,4m2m 816(m 4)2圓心 M(0,2)到直線 AK 的距離 d=當(dāng) m1 時(shí),AK 與圓 M 相離;當(dāng) m=1 時(shí),AK 與圓 M 相切;,令 d2,解得 m1當(dāng) m0,對于一切 t 成立，過點(diǎn) M 的任意一條直線 li與 C 恒有公共點(diǎn)。(3)設(shè)AiMi,又設(shè)Ai(ai2,ai),Bi(bi2,bi)，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：MBiai2ibi22 22iai2ibi21i，消去 bi得1iaiibi1aiibi1i(1iai)22ii2(ai22iai)i(1ai)0222iaii 1,(舍去)i(1ai)2(i 1,2,3,4)a1,a2,a3,a4成公差不為零的等差數(shù)列1-a1,1-a2,1-a3,1-a4亦成公差不為零的等差數(shù)列不妨設(shè)1-a1,1-a2,1-a3,1-a4分別為a3d,ad,ad,a3d則有A1MA4MA2MA3M(14)(23)MB1MB4MB2MB3(1a1)2(1a4)2(1a2)2(1a3)2(a3d)2(a3d)2(ad)2(ad)2AMA MA MA M16d21423MB1MB4MB2MB3來源：06 年湖南省三月大聯(lián)考題型：解答題，難度：較難2設(shè) a0，曲線 C 的方程為y x ax(xR R .點(diǎn) P 是曲線 C 上橫坐標(biāo)為x0(x0 0)的點(diǎn)，點(diǎn) Q 是曲線 C 的頂點(diǎn).I當(dāng)x01，且直線 PQ 的斜率是 2 時(shí)，求實(shí)數(shù) a 的值；II設(shè)直線 l 經(jīng)過點(diǎn) P 且與曲線 C 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，記直線l 交 x 軸于點(diǎn)(x1,0).答案：答案：1解：當(dāng)x01時(shí)，P1，1+a，Q(a,a).242依題意得，1 a kPQa24 2.解得a 2.4 分a122證明：當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，其方程為x x0，直線 l 與曲線 C 有且只有2一個(gè)公共點(diǎn)(x0,x0 ax0),適合題意，此時(shí)x1 x0.6 分當(dāng)直 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y (x02 ax0)k(x x0),代入y x2 ax,整理為x2(a k)x x0(k a x0)0.依題意，得 (a k)2 4x0(k a x0)0.2即(a k)2 4x0(a k)4x0(a k 2x0)2 0,k 2x0 a.9 分2直線 l 方程為：y (x0 ax0)2(x0 a)(x x0).2令 y=0，得x(x0 ax0)x 102x0.11 分2x0 a2x0 aa 0,x0 0,0 x 1綜上，0 x122x0 x0 x0，當(dāng)且僅當(dāng) a=0 時(shí)，x12x0 a2x02x0.2x0或x1 x0.14 分2來源：題型：解答題，難度：中檔拋物線 C 的方程為y ax(a 0)，過拋物線 C 上一點(diǎn) P(x0,y0)(x00)作斜率為 k1,k2的兩條直線分別交拋物線C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B 三點(diǎn)互不相同)，且滿足2k2k1 0(0且 1).求拋物線 C 的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；設(shè)直線 AB 上一點(diǎn) M，滿足BM MA，證明線段 PM 的中點(diǎn)在 y 軸上；當(dāng)=1 時(shí)，假設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為1，-1，求PAB 為鈍角時(shí)點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)y1的取值范圍.答案：答案：解：由拋物 C 的方程y ax2(a 0)得,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y 1.4a4a證明：設(shè)直線 PA 的方程y y0 k1,(x x0)，直線 PB 的方程為y y0 k2(x x0).點(diǎn)P(x0,y0)和點(diǎn)A(x1,y1)的坐標(biāo)是方程組y y0 k1(x x0)2y ax的解、將式代入式得ax3k1x k1x0 y0 0,于是x1 x0k1k,故x11 x0.aay y0 k2(x x0)又點(diǎn)P(x0,y0)和點(diǎn)B(x2,y2)的坐標(biāo)是方程組2y ax的解、將式代入式得ax3k2x k2x0 y0 0,于是x2 x0k2k,故x12 x0.aa由已知得,k2 k1,則x2 ak1 x0.x2x1.1設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM),由BM,MA,則xM x0 x0 x0.1將式和式代入上式得xM即xM x0 0.所以,線段PM的中點(diǎn)在y軸上.解：因?yàn)辄c(diǎn) P1，1在拋物線y ax上，所以a 1,拋物線方程y x.由式知x1 k11,代入y x 得y1(k21).2222將1代入式得x2 k11,代入y x2得y2(k11)2.因此，直線 PA、PB 分別與拋物線 C 的交點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)為A(k11,k1 2k11),B(k11,k1 2k11).于是AP (k12,k12k1),AB (2k1,4k1),222AP AB 2k1(k1 2)4k1(k1 2k1)2k1(k1 2)(2k11).因PAB 為鈍角且 P、A、B 三點(diǎn)互不相同，故必有AP AB 0,即2k1(k1 2)(2k 1)0.求得 k1的取值范圍為k1 2或又點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)y1滿足y1(k11),故21 k1 0.2當(dāng)k1 2時(shí),y1 1;當(dāng)11 k1 0時(shí),1 y1.24所以，PAB 為鈍角時(shí)點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)y1的取值范圍為(,1)(1,).14來源：05 天津高考題型：解答題，難度：較難在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B分別為直線x y 2與x、y軸的交點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn).假設(shè)拋物線y 2px(p 0)過點(diǎn)C，求焦點(diǎn)F到直線AB的距離.2答案：答案：由已知可得A(2,0),2B(0,2),C(1,1)，3 分解得拋物線方程為y x.6 分于是焦點(diǎn)F 1,0.9 分41027 24點(diǎn)F到直線AB的距離為.12 分82來源：08 年春季高考上海卷題型：解答題，難度：容易在拋物線y2=16x開口內(nèi)有一點(diǎn)G(4，4)，拋物線的焦點(diǎn)為F，假設(shè)以F、G為焦點(diǎn)作一個(gè)與拋物線相交且長軸最短的橢圓，求此橢圓的方程答案：答案：解：如圖，過G作x軸的平行線交拋物線于P，交準(zhǔn)線于Q，設(shè)P為拋物線上異于P的任一點(diǎn)，過P作x軸的平行線交準(zhǔn)線于Q，顯然有PG+PF=PG+PQGQ點(diǎn)P為所求橢圓與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，且使所求橢圓長軸最短此時(shí)，PF+PG=PQ+PG=GQ=8又由FG=4可知a=4，c=22b=12，又橢圓的中心為GF的中點(diǎn)(4，2)故所求橢圓方程為x42y 2212161來源：題型：解答題，難度：較難過拋物線y 2px(p為不等于2的素?cái)?shù))的焦點(diǎn)F,作與x軸不垂直的直線l交拋物線于M,N 兩點(diǎn),線段 MN 的垂直平分線交 MN 于 P 點(diǎn),交x軸于 Q 點(diǎn).(1),求 PQ 中點(diǎn) R 的軌跡 L 的方程;(2),證明:L 上有無窮多個(gè)整點(diǎn),但 L 上任意整點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均不是整數(shù).2答案：答案：(1)拋物線y 2px的焦點(diǎn)為(2pp,0),設(shè)l的直線方程為y k(x)(k 0).22y2 2px122222由得k x(pk 2p)xp k 0,設(shè) M,N 的橫坐標(biāo)分別為