8-8曲線與方程(理)基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.若點(diǎn)P到直線y2的距離比它到點(diǎn)A(0,1)的距離大1，則點(diǎn)P的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線 D拋物線答案D解析由條件知，點(diǎn)P到直線y1的距離與它到點(diǎn)A(0,1)的距離相等，P點(diǎn)軌跡是以A為焦點(diǎn)，直線y1為準(zhǔn)線的拋物線2已知平面上兩定點(diǎn)A、B的距離是2，動(dòng)點(diǎn)M滿足條件·1，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()A直線 B圓C橢圓 D雙曲線答案B解析以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(1,0)，設(shè)M(x，y)，·1，(1x，y)·(1x，y)1，x2y22，故選B.3(2012·浙江金華十校模擬)如果橢圓1(a>b>0)的離心率為，那么雙曲線1的離心率為()A. B.C. D2答案A解析設(shè)橢圓、雙曲線的半焦距分別為c、c，由條件知橢圓1的離心率e，則雙曲線1中：e21.所以e.4設(shè)x1、x2R，常數(shù)a>0，定義運(yùn)算“*”，x1x*a)的軌跡是()A圓 B橢圓的一部分C雙曲線的一部分 D拋物線的一部分答案D解析x1x*a)2，則P(x,2)設(shè)P(x1，y1)，即，消去x得，y4ax1(x10，y10)，故點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分故選D.5(2012·長(zhǎng)沙一中月考)方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()A兩條直線 B兩條射線C兩條線段 D一條直線和一條射線答案D解析原方程化為或10，2x3y10(x3)或x4，故選D.6(2011·天津市寶坻區(qū)質(zhì)量檢測(cè))若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓y21短軸端點(diǎn)，且該雙曲線的離心率與此橢圓的離心率之積為1，則該雙曲線的方程為()Ax2y21 By2x21C.y21 D.x21答案B解析橢圓y21的短軸端點(diǎn)為(0，±1)，離心率e1.雙曲線的頂點(diǎn)(0，±1)，即焦點(diǎn)在y軸上，且a1，離心率e2，c，b1，所求雙曲線方程為y2x21.故選B.7設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是_答案x24y21解析設(shè)M(x，y)，則P(2x,2y)，代入雙曲線方程得x24y21，即為所求8(2011·聊城月考)過點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1與l2分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為_答案xy10解析設(shè)l1：y1k(x1)，k0，則l2：y1(x1)，l1與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，l2與y軸交于點(diǎn)B(0,1)，AB的中點(diǎn)M(，)，設(shè)M(x，y)，則xy1.即AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為xy10.9(2011·北京理，14)曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點(diǎn)P的軌跡給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_答案解析設(shè)P(x，y)，由|PF1|·|PF2|a2得，·a2(a>1)，將原點(diǎn)O(0,0)代入等式不成立，故錯(cuò)；將(x，y)代入方程中，方程不變，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；設(shè)F1PF2，則SF1PF2|PF1|PF2|·sina2sina2，故正確10已知雙曲線1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P是雙曲線上任一點(diǎn)，Q是P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡E的方程解析由條件知A1(3,0)，A2(3,0)，設(shè)M(x，y)，P(x1，y1)，則Q(x1，y1)，|x1|>3，直線A1P：y·(x3)，A2Q：y·(x3)，兩式相乘得，點(diǎn)P在雙曲線上，1，整理得1(xy0).能力拓展提升11.長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，2，則點(diǎn)C的軌跡是()A線段 B圓C橢圓 D雙曲線答案C解析設(shè)C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，則a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，則把代入式整理可得：x2y21.故選C.12(2012·天津模擬)設(shè)圓(x1)2y225的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|MQ|.|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，(5>|AC|)a，c1，則b2a2c2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選D.13已知A、B分別是直線yx和yx上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，P是AB的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為_答案y21解析設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)P是線段AB的中點(diǎn)，A、B分別是直線yx和yx上的點(diǎn)，y1x1和y2x2.代入中得，又|2，(x1x2)2(y1y2)212.12y2x212，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y21.14(2012·福州質(zhì)檢)已知F1、F2為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，若M為橢圓上一點(diǎn)，且MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為_答案2解析由題意知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3，MF1F2的內(nèi)切圓的半徑r.又SMF2F1(|MF1|MF2|2c)·rc|yM|，yM±4.滿足條件的點(diǎn)M只有兩個(gè)，在短軸頂點(diǎn)處15.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓A：(x1)2y216上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0)，點(diǎn)M是BN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AN上，且·0.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)試判斷以PB為直徑的圓與圓x2y24的位置關(guān)系，并說明理由解析(1)點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，又·0，PM垂直平分BN，|PN|PB|，又|PA|PN|AN|，|PA|PB|4，由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓設(shè)橢圓方程為1，由2a4,2c2可得，a24，b23.可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為1.(2)設(shè)PB中點(diǎn)為C，則|OC|AP|(|AN|PN|)(4|PB|)2|PB|.兩圓內(nèi)切16(2012·廣東揭陽市模擬)在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(2,0)，A2(2,0)，再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0，m)，N2(0，n)，且mn3.(1)求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程；(2)已知點(diǎn)G(1,0)和G(1,0)，點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)以P為圓心，PG為半徑作圓P，試探究是否存在一個(gè)以點(diǎn)G(1,0)為圓心的定圓，總與圓P內(nèi)切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解析(1)依題意知直線A1N1的方程為：y(x2)，直線A2N2的方程為：y(x2)，設(shè)Q(x，y)是直線A1N1與A2N2交點(diǎn)，×得y2(x24)將mn3代入，整理得1.N1、N2不與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A1(2,0)，A2(2,0)不在軌跡M上，軌跡M的方程為1(x±2)(2)由(1)知，點(diǎn)G(1,0)和G(1,0)為橢圓1的兩焦點(diǎn)，由橢圓的定義得|PG|PG|4，即|PG|4|PG|，以G為圓心，以4為半徑的圓與圓P內(nèi)切，即存在定圓G，該定圓與圓P恒內(nèi)切，其方程為：(x1)2y216.1已知點(diǎn)A(2,0)，B、C在y軸上，且|BC|4，ABC外心的軌跡S的方程為()Ay22x Bx2y24Cy24x Dx24y答案C解析設(shè)ABC外心為G(x，y)，B(0，a)，C(0，a4)，由G點(diǎn)在BC的垂直平分線上知ya2，|GA|2|GB|2，(x2)2y2x2(ya)2，整理得y24x，即點(diǎn)G的軌跡S方程為y24x.2平面的斜線AB交于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂直，且交于點(diǎn)C，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A一條直線 B一個(gè)圓C一個(gè)橢圓 D雙曲線的一支答案A解析過定點(diǎn)A且與AB垂直的直線l都在過定點(diǎn)A且與AB垂直的平面內(nèi)，直線l與的交點(diǎn)C也是平面、的公共點(diǎn)點(diǎn)C的軌跡是平面、的交線3已知log2x、log2y、2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x，y)的軌跡為()答案A解析由log2x，log2y,2成等差數(shù)列得2log2ylog2x2y24x(x>0，y>0)，故選A.4P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_答案1解析設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，Q(x，y)，P(x1，y1)，(cx1，y1)，(cx1，y1)，(x，y)，由得，代入橢圓方程1中得，1.5(2012·石家莊質(zhì)檢)點(diǎn)P為圓O：x2y24上一動(dòng)點(diǎn)，PDx軸于D點(diǎn)，記線段PD的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線l經(jīng)過定點(diǎn)(0,2)，且與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求OAB面積的最大值解析(1)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)，則D(x0,0)由題意可得得(*)將(*)式代入x2y24中，得y21，故曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且方程為y21.(2)依題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為ykx2，由消去y整理得(4k21)x216kx120，(16k)24(4k21)×1216(4k23)，由>0，得4k23>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|AB|.原點(diǎn)O到直線l的距離d.由三角形的面積公式及得SOAB×|AB|d44441，當(dāng)且僅當(dāng)4k23，即4k234時(shí)，等號(hào)成立此時(shí)SOAB的最大值為1.