考點(diǎn)44 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、選擇題1.（2012·山東高考理科·10）已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（ ）（A） （B） （C） （D）【解題指南】本題關(guān)鍵利用橢圓的對(duì)稱性及雙曲線的漸近線為，找出雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，然后加上條件離心率為，即可求得橢圓的方程.【解析】選D.由于雙曲線的漸近線為，以及橢圓的對(duì)稱性可知漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，因?yàn)樗倪呅蚊娣e為16，所以邊長(zhǎng)為4，所以橢圓過(guò)點(diǎn)（2,2）.所以，解得，所以橢圓的方程為.二、解答題2.（2012·湖北高考理科·21）與（2012·湖北高考文科·21）相同設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線上，且滿足當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）過(guò)原點(diǎn)斜率為K的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，且它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m,使得對(duì)任意的K>0，都有PQPH？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】本題考查求軌跡的方法和直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是把點(diǎn)M的坐標(biāo)設(shè)出，代入法求軌跡，再結(jié)合一定的運(yùn)算能力求解。【解析】（1）如圖1.設(shè)，則由得.又A是單位圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),則.把代入得曲線C的方程為:.當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓; 當(dāng) 曲線C為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓. (2)如圖2,3, 對(duì)任意的K>0 ,設(shè),直線QN的方程為: 將其帶入橢圓方程并整理得:.依題意設(shè)此方程的兩根為: ,則.又點(diǎn)H在直線QN上,所以,于是.又PQPH,則,即,也就是.故存在m=,使得對(duì)任意的K>0，都有PQPH. 3.（2012·遼寧高考文科·T20）如圖，動(dòng)圓,1<t<3,與橢圓：相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn). ()當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；()求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.【解題指南】（1）由于A,B,C,D四點(diǎn)的對(duì)稱性，可設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)的某個(gè)變量來(lái)表示矩形面積，建立函數(shù)，求最值；（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，求交點(diǎn)坐標(biāo)，用交軌法求軌跡方程.【解析】（1）由于A,B,C,D四點(diǎn)的對(duì)稱性，設(shè)則矩形ABCD的面積為，由點(diǎn)在橢圓上，所以從而，故時(shí)，取得最大值。從而取得最大值6.此時(shí).（2）由可得直線的方程：-直線的方程：-設(shè)直線與直線的交點(diǎn)由得-由（1）知-代入整理得因此點(diǎn)M的軌跡方程為.4.（2012·遼寧高考理科·T20）如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓，。點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn).()求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程; ()設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn)，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值.【解題指南】（1）由于A,B點(diǎn)的對(duì)稱性，可設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，求交點(diǎn)坐標(biāo)，用參數(shù)法求軌跡方程（2）利用坐標(biāo)的變量來(lái)表示矩形面積，建立等量關(guān)系.【解析】()設(shè)，直線的方程：- 直線的方程：- 設(shè)直線與直線的交點(diǎn)由得-由在橢圓上，故從而，代入整理得（）證明：設(shè)，由矩形ABCD和矩形面積相等得，即，- 因?yàn)辄c(diǎn)，均在橢圓上，所以，代入得，進(jìn)一步得到，由于，所以從而，故 為定值.