（江蘇專用）2013年高考數(shù)學總復習 第二章第8課時 函數(shù)模型及應用 隨堂檢測（含解析）1(2011·高考湖北卷)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v是車流密度x的函數(shù)當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)當0x200時，求函數(shù)v的表達式；當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)fx·v可以達到最大？并求出最大值.解：由題意，當0x20時，v60；當20x200時，設vaxb，再由已知得解得故函數(shù)v的表達式為v依題意并由可得f當0x20時，f為增函數(shù)，故當x20時，其最大值為60×201200；當20<x200時，fx2，當且僅當x200x，即x100時，等號成立所以當x100時，f在區(qū)間上取得最大值.綜上，當x100時，f在區(qū)間上取得最大值3333，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/時2(2010·高考湖北卷)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最??？并求最小值解：(1)設隔熱層厚度為x cm，由題設，每年能源消耗費用為C(x)(0x10)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)(0x10)而建造費用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)20×6x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5或x(舍去)當0x<5時，f(x)<0；當5<x10時f(x)>0.故x5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)6×570.當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元A級雙基鞏固一、填空題1今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是_vlog2t；vlogt；v； v2t2.解析：由表中數(shù)據(jù)可知，當t越大時，v遞增的速度越快，而vlog2t遞增速度較慢，vlogt遞減，v2t2勻速，只有v符合這一特征答案：2某學校要裝備一個實驗室，需要購置實驗設備若干套，與廠家協(xié)商，同意按出廠價結(jié)算，若超過50套就可以以每套比出廠價低30元給予優(yōu)惠，如果按出廠價購買應付a元，但再多買11套就可以按優(yōu)惠價結(jié)算恰好也付a元(價格為整數(shù))，則a的值為_解析：設按出廠價y元購買x套(x50)應付a元，則axy，又a(y30)(x11)，又x1150，即x39，39x50，xy(y30)(x11)，xy30，又x、yN*且39x50，x44，y150，a44×1506600元答案：6600元3某地2002年底人口為500萬，人均住房面積為6 m2，如果該城市人口平均每年增長率為1%.問為使2012年底該城市人均住房面積增加到7 m2，平均每年新增住房面積至少為_萬 m2.(精確到1萬 m2,1.01101.1046)解析：到2012年底該城市人口有500×(11%)10552.3萬人，則87(萬 m2)答案：874某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40QQ2，則總利潤L(Q)的最大值是_萬元答案：25005(2010·高考山東卷改編)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為_解析：yx281，令y0得x9，且經(jīng)討論知x9是函數(shù)的極大值點，所以廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量是9萬件答案：9萬件6某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x 萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x_噸解析：每年購買次數(shù)為，總費用·44x2160.當且僅當4x，即x20時等號成立故x20.答案：207在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1，a2，an共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值a”是這樣一個量：與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1，a2，an，推出的a_.解析：設近似值為x，則f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2取最小值時的x即為a，由f(x)nx22(a1a2an)x(aaa)知當x時，f(x)最小答案：(a1a2an)8某超市為了吸引顧客，采取“滿一百送二十，連環(huán)送”的酬賓促銷方式，即顧客在店內(nèi)花錢滿100元(可以是現(xiàn)金，也可以是現(xiàn)金與獎勵券合計)就送20元獎勵券，滿200元就送40元獎勵券，滿300元就送60元獎勵券.當日一位顧客共花現(xiàn)金7020元，如果按照酬賓促銷方式，他實際最多能購買_元的商品解析：7000元應給獎勵券1400元，1400元應給獎勵券280元，280元加上7020元余下20元滿300元應給獎勵券60元故最多能購買7000140028060208760元的商品答案：8760二、解答題9某公司是一家專做產(chǎn)品A的國內(nèi)外銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖中、所示，其中圖中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關系；圖中的拋物線表示國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關系；圖中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關系(國內(nèi)外市場相同)(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)、國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關系式；(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元？解：(1)f(t)，g(t)t26t(0t40)(2)每件產(chǎn)品A的銷售利潤h(t)與上市時間t的關系為h(t)設這家公司的日銷售利潤為F(t)，則F(t).當0t20時，F(xiàn)(t)t248tt(48t)0，故F(t)在0,20上單調(diào)遞增，此時F(t)的最大值是F(20)60006300；當20t30時，令60(t28t)6300，解得t30；當30<t40時，F(xiàn)(t)60(t2240)60(×302240)6300.故第一批產(chǎn)品A上市后第24天到第30天前，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元10某隧道長2150 m，通過隧道的車速不能超過20 m/s.一列有55輛車身長都為10 m的同一車型的車隊(這種型號的車能行駛的最高速為40 m/s)，勻速通過該隧道，設車隊的速度為x m/s，根據(jù)安全和車流的需要，當0x10時，相鄰兩車之間保持20 m的距離；當10x20時，相鄰兩車之間保持(x2x)m的距離自第1輛車車頭進入隧道至第55輛車尾離開隧道所用的時間為y(s)(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)求車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度(1.73)解：(1)當0x10時，y，當10x20時，y9x18，所以，y.(2)當x(0,10時，在x10時，ymin378(s)當x(10,20時，y9x18182× 18180329.4(s)，當且僅當9x，即x17.3(m/s)時取等號因為17.3(10,20，所以當x17.3(m/s)時，ymin329.4(s)，因為378329.4，所以，當車隊的速度為17.3(m/s)時，車隊通過隧道時間y有最小值329.4(s)B級能力提升一、填空題1某工程由A，B，C，D四道工序組成，完成它們需用時間依次為2,5，x,4天四道工序的先后順序及相互關系是：A，B可以同時開工；A完成后，C可以開工；B、C完成后，D可以開工若該工程總時間為9天，則完成工序C需要的天數(shù)x最大是_解析：分析題意可知，B、D工序不能同時進行，B、D工序共需549天，而完成總工序的時間為9天，表明A、B同時開工，A完成后C開工且52x，x3，故x最大值為3.答案：32.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為y()ta(a為常數(shù))，如圖所示根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關系式為_；(2)據(jù)測定：當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過_小時，學生才能回到教室解析：(1)由圖可設ykt(0t)，把點(0.1,1)分別代入ykt和y()ta，得k10，a0.1，y.(2)由()t0.10.25，得t0.6.答案：(1)y(2)0.63江蘇舜天足球俱樂部準備為救助失學兒童在江蘇省體育中心體育場舉行一場足球義賽，預計賣出門票2.4萬張，票價有3元、5元和8元三種，且票價3元和5元的張數(shù)的積為0.6萬張設x是門票的總收入，經(jīng)預算，扣除其他各項開支后，該俱樂部的純收入為函數(shù)ylg2x，則這三種門票分別為_萬張時可以為失學兒童募捐的純收入最大解析：該函數(shù)模型ylg2x已給定，因而只需要將條件信息提取出來，按實際情況代入，應用于函數(shù)即可解決問題設3元、5元、8元門票的張數(shù)分別為 a、b、c，則代入有x19.2(5a3b)19.2213.2(萬元)，當且僅當時等號成立，解得a0.6，b1，所以c0.8.由于ylg2x為增函數(shù)，即此時y也恰有最大值故三種門票分別為0.6、1、0.8萬張時可以為失學兒童募捐的純收入最大答案：0.6、1、0.84(2010·高考江蘇卷)將邊長為1 m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s，則s的最小值是_解析：設剪成的小正三角形的邊長為x.則s·(0x1)，s··，令s0，得x或x3(舍去)即x是s的極小值點且是最小值點smin·.答案：二、解答題5某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0x30)的平方成正比已知商品單價降低2元時，一星期賣出24件(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解：(1)設商品降價x元，則多賣的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的獲利為f(x)，則依題意有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)又由已知條件可知，24k·22，于是有k6，所以f(x)6x3126x2432x9072，x0,30(2)根據(jù)(1)，可得f(x)18x2252x43218(x2)(x12).x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)極小極大故x12時，f(x)取極大值，因為f(0)9072，f(12)11664，所以定價為301218(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大6(2011·高考湖南卷)如圖，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(cR)E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：(1)P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設其值與|vc|×S成正比，比例系數(shù)為；(2)其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量當移動距離d100，面積S時，(1)寫出y的表達式；(2)設0<v10,0<c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少解：(1)由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為|vc|，故y(3|vc|10)(2)由(1)知：當0<vc時，y(3c3v10)15；當c<v10時，y(3v3c10)15.故y當0<c時，y是關于v的減函數(shù)，故當v10時，ymin20.當<c5時，在(0，c上，y是關于v的減函數(shù)；在(c,10上，y是關于v的增函數(shù)，故當vc時，ymin.