(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時 立體幾何中的向量方法隨堂檢測(含解析)
(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時 立體幾何中的向量方法隨堂檢測(含解析)1(2012·福州質(zhì)檢)如圖,在直角梯形ABCD中,ADC90°,CDAB,AB4,ADCD2,將ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到幾何體DABC,如圖所示(1)求證:BC平面ACD;(2)求BC與平面ABD所成角的正弦值解:(1)證明:由已知有ACBC2,從而AC2BC2AB2,故ACBC.取AC中點O,連結(jié)DO,則DOAC,又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,DO平面ACD,從而DO平面ABC,DOBC.又ACBC,ACDOO,BC平面ACD.(2)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示,則A(,0,0),B(,2,0),C(,0,0),D(0,0,),(2,2,0),(,0,),(0,2,0)設(shè)平面ABD的法向量為n(x,y,z)則由得令x1,則n(1,1,1),sin.2如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,AA1面ABC,BCAC,BCAC2,D為AC的中點(1)求證:AB1面BDC1;(2)若AA13,求二面角C1BDC的余弦值;(3)若在線段AB1上存在點P,使得CP面BDC1,試求AA1的長及點P的位置解:(1)證明:連結(jié)B1C,交BC1于點O,連結(jié)OD,則O為B1C的中點,D為AC的中點,ODAB1,又AB1平面BDC1,OD平面BDC1,AB1平面BDC1.(2)AA1平面ABC,BCAC,AA1CC1,CC1平面ABC,則BC平面AA1C1C,CC1AC.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則C1(3,0,0),B(0,0,2),D(0,1,0),C(0,0,0)(3,1,0),(3,0,2)設(shè)平面C1DB的法向量為n(x,y,z),則即令x2,則n(2,6,3)又平面BDC的法向量為(3,0,0),二面角C1BDC的余弦值為cos,n.(3)設(shè)AA1a,則(a,2,2),(a,22,2)又(a,1,0),(0,1,2),CP平面BDC1,解得a2(2舍去),.所以AA12,點P在線段AB1上且APAB1.