第4課時(shí)萬有引力與航天考綱解讀1.掌握萬有引力定律的內(nèi)容、公式及其應(yīng)用.2.理解環(huán)繞速度的含義并會(huì)求解.3.了解第二和第三宇宙速度1對萬有引力定律的理解關(guān)于萬有引力公式FG，以下說法中正確的是()A公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體B當(dāng)兩物體間的距離趨近于0時(shí)，萬有引力趨近于無窮大C兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律D公式中引力常量G的值是牛頓規(guī)定的答案C解析萬有引力公式FG，雖然是牛頓由天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得出的，但牛頓又將它推廣到了宇宙中的任何物體，適用于計(jì)算任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力當(dāng)兩個(gè)物體間的距離趨近于0時(shí)，兩個(gè)物體就不能視為質(zhì)點(diǎn)了，萬有引力公式不再適用兩物體間的萬有引力也符合牛頓第三定律公式中引力常量G的值是卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室里用實(shí)驗(yàn)測定的，而不是人為規(guī)定的故正確答案為C.2萬有引力引力場與電場的類比由于萬有引力定律和庫侖定律都滿足平方反比定律，因此引力場和電場之間有許多相似的性質(zhì)，在處理有關(guān)問題時(shí)可以將它們進(jìn)行類比，例如電場中反映各點(diǎn)電場強(qiáng)弱的物理量是電場強(qiáng)度，其定義式為E，在引力場中可以用一個(gè)類似的物理量來反映各點(diǎn)引力場的強(qiáng)弱設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G，如果一個(gè)質(zhì)量為m的物體位于距離地心2R處的某點(diǎn)，則下列表達(dá)式中能反映該點(diǎn)引力場強(qiáng)弱的是()AG BGCG D.答案AD解析由萬有引力定律知FG，引力場的強(qiáng)弱，A對；在地球表面附近有Gmg，所以，D對3第一宇宙速度的求解一宇航員在某星球上以速度v0豎直上拋一物體，經(jīng)t秒落回原處，已知該星球半徑為R，那么該星球的第一宇宙速度是()A. B. C. D. 答案B解析設(shè)該星球表面重力加速度為g，由豎直上拋知識知，t，所以g；由牛頓第二定律得：mgm，所以v .4應(yīng)用萬有引力定律分析衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題天宮一號是中國第一個(gè)目標(biāo)飛行器，已于2011年9月29日21時(shí)16分3秒在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射成功，它的發(fā)射標(biāo)志著中國邁入中國航天“三步走”戰(zhàn)略的第二步第二階段.21時(shí)25分，天宮一號進(jìn)入近地點(diǎn)約200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)約346.9公里，軌道傾角為42.75度，周期為5 382秒的運(yùn)行軌道由此可知()A天宮一號在該軌道上的運(yùn)行周期比同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期短B天宮一號在該軌道上任意一點(diǎn)的運(yùn)行速率比同步衛(wèi)星的運(yùn)行速率小C天宮一號在該軌道上任意一點(diǎn)的運(yùn)行加速度比同步衛(wèi)星的運(yùn)行加速度小D天宮一號在該軌道上遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面的高度比同步衛(wèi)星軌道距地面的高度小答案AD解析由題意知天宮一號的軌道半徑比同步衛(wèi)星要小，由知v ，即v天>v同由mr知T ，知T天<T同由ma知a，從而a天>a同故選項(xiàng)A、D正確考點(diǎn)梳理一、萬有引力定律及其應(yīng)用1內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比2表達(dá)式：F，G為引力常量：G6.67×1011 N·m2/kg2.3適用條件(1)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)(2)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離二、環(huán)繞速度1第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度推導(dǎo)過程為：由mg得：v1 7.9 km/s.2第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度3第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度特別提醒1.兩種周期自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的不同2兩種速度環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同，最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度3兩個(gè)半徑天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的不同三、第二宇宙速度和第三宇宙速度1第二宇宙速度(脫離速度)：v211.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度2第三宇宙速度(逃逸速度)：v316.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度5衛(wèi)星變軌問題的分析方法“天宮一號”被長征二號火箭發(fā)射后，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，如圖1所示，“天宮一號”在軌道1上運(yùn)行4周后，在Q點(diǎn)開啟發(fā)動(dòng)機(jī)短時(shí)間加速，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，“天宮一號”沿橢圓軌道2運(yùn)行到達(dá)P點(diǎn)，開啟發(fā)動(dòng)機(jī)再次加速，進(jìn)入軌道3繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，“天宮一號”在圖示軌道1、2、3上 圖1正常運(yùn)行時(shí)，下列說法正確的是()A“天宮一號”在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率B“天宮一號”在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度C“天宮一號”在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)的加速度D“天宮一號”在軌道2上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度答案D解析根據(jù)v ，可知v3<v1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；據(jù) 可知3<1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；加速度與萬有引力大小有關(guān)，r相同，則a相同，與軌道無關(guān)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確【規(guī)律總結(jié)】衛(wèi)星變軌問題的判斷：(1)衛(wèi)星的速度變大時(shí)，做離心運(yùn)動(dòng)，重新穩(wěn)定時(shí)，軌道半徑變大(2)衛(wèi)星的速度變小時(shí)，做近心運(yùn)動(dòng)，重新穩(wěn)定時(shí)，軌道半徑變小(3)圓軌道與橢圓軌道相切時(shí)，切點(diǎn)處外面的軌道上的速度大，向心加速度相同.考點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1解決天體(衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)問題的基本思路(1)天體運(yùn)動(dòng)的向心力來源于天體之間的萬有引力，即Gma向mm2rm(2)在中心天體表面或附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力近似等于重力，即Gmg(g表示天體表面的重力加速度)深化拓展(1)在研究衛(wèi)星的問題中，若已知中心天體表面的重力加速度g時(shí)，常運(yùn)用GMgR2作為橋梁，可以把“地上”和“天上”聯(lián)系起來由于這種代換的作用很大，此式通常稱為黃金代換公式(2)利用此關(guān)系可求行星表面重力加速度、軌道處重力加速度：在行星表面重力加速度：Gmg，所以g.在離地面高為h的軌道處重力加速度：Gmgh，所以gh.2天體質(zhì)量和密度的計(jì)算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Gmg，故天體質(zhì)量M，天體密度.(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r.由萬有引力等于向心力，即Gmr，得出中心天體質(zhì)量M；若已知天體半徑R，則天體的平均密度；若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度.可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度例1(2012·福建理綜·16)一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計(jì)測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測力計(jì)的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A. B.C. D.解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m由萬有引力提供向心力，得Gmmmg由已知條件：m的重力為N得Nmg由得g，代入得：R代入得M，故B項(xiàng)正確答案B突破訓(xùn)練1(2011·江蘇·7)一行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)由天文觀測可得，其運(yùn)行周期為T，速度為v，引力常量為G，則()A恒星的質(zhì)量為B行星的質(zhì)量為C行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為D行星運(yùn)動(dòng)的加速度為答案ACD解析由mr得M，A對；無法計(jì)算行星的質(zhì)量，B錯(cuò)；r，C對；a2rvv，D對考點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與運(yùn)算1衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)規(guī)律由萬有引力提供向心力，Gma向mm2rm.2衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律3極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9 km/s.(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心深化拓展(1)衛(wèi)星的a、v、T是相互聯(lián)系的，如果一個(gè)量發(fā)生變化，其它量也隨之發(fā)生變化；這些量與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，它們由軌道半徑和中心天體的質(zhì)量共同決定(2)衛(wèi)星的能量與軌道半徑的關(guān)系：同一顆衛(wèi)星，軌道半徑越大，動(dòng)能越小，勢能越大，機(jī)械能越大例2(2011·天津·8)質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的()A線速度v B角速度C運(yùn)行周期T2 D向心加速度a解析由mm2RmRmgma得v ，A對；，B錯(cuò)；T2 ，C對；a，D錯(cuò)答案AC人造天體運(yùn)行參量的分析與計(jì)算方法分析與計(jì)算思路是將人造天體的運(yùn)動(dòng)看做繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它受到的萬有引力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律建立動(dòng)力學(xué)方程，Gmamm2rm，以及利用人造天體在中心天體表面運(yùn)行時(shí)，忽略中心天體的自轉(zhuǎn)的黃金代換公式GMgR2.突破訓(xùn)練2如果把水星和金星繞太陽的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從水星與金星在一條直線上開始計(jì)時(shí)，如圖2所示若天文學(xué)家測得在相同時(shí)間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過的角度為1；金星轉(zhuǎn)過的角度為2(1、2均為銳角)，則由此條件可求得()A水星和金星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期之比B水星和金星的密度之比 圖2C水星和金星到太陽的距離之比D水星和金星繞太陽運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小之比答案ACD解析由知，又因?yàn)?，所以，A對；由mr知r3，既然周期之比能求，則r之比同樣可求，C對；由ar2知，向心加速度之比同樣可求，D對；由于水星和金星的質(zhì)量未知，故密度不可求，B錯(cuò)例3(2011·廣東·20)已知地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m，引力常量為G.有關(guān)同步衛(wèi)星，下列表述正確的是()A衛(wèi)星距地面的高度為 B衛(wèi)星的運(yùn)行速度小于第一宇宙速度C衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)受到的向心力大小為GD衛(wèi)星運(yùn)行的向心加速度小于地球表面的重力加速度解析天體運(yùn)動(dòng)的基本原理為萬有引力提供向心力，地球的引力使衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即F引F向m.當(dāng)衛(wèi)星在地表運(yùn)行時(shí)，F(xiàn)引mg(此時(shí)R為地球半徑)，設(shè)同步衛(wèi)星離地面高度為h，則F引F向ma向<mg，所以C錯(cuò)誤，D正確由得，v < ，B正確由，得Rh ，即h R，A錯(cuò)誤答案BD同步衛(wèi)星的六個(gè)“一定”突破訓(xùn)練3北斗導(dǎo)航系統(tǒng)又被稱為“雙星定位系統(tǒng)”，具有導(dǎo)航、定位等功能“北斗” 系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星1和2均繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑均為r，某時(shí)刻兩顆工作衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置，如圖3所示若衛(wèi)星均順時(shí)針運(yùn)行，地球表面處的重力加速度為g，圖3地球半徑為R，不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力以下判斷正確的是()A兩顆衛(wèi)星的向心加速度大小相等，均為B兩顆衛(wèi)星所受的向心力大小一定相等C衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需的時(shí)間可能為 D如果要使衛(wèi)星1追上衛(wèi)星2，一定要使衛(wèi)星1加速答案AC考點(diǎn)三衛(wèi)星變軌問題的分析當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度突然改變時(shí)(開啟或關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)或空氣阻力作用)，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將變軌運(yùn)行：(1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時(shí)，G<m，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v 可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)減小(2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí)，G>m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v 可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)增大衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理例4北京航天飛行控制中心對“嫦娥二號”衛(wèi)星實(shí)施多次變軌控制并獲得成功首次變軌是在衛(wèi)星運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)實(shí)施的，緊隨其后進(jìn)行的3次變軌均在近地點(diǎn)實(shí)施“嫦娥二號”衛(wèi)星的首次變軌之所以選擇在遠(yuǎn)地點(diǎn)實(shí)施，是為了抬高衛(wèi)星近圖4地點(diǎn)的軌道高度同樣的道理，要抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)的高度就需要在近地點(diǎn)實(shí)施變軌圖4為“嫦娥二號”某次在近地點(diǎn)A由軌道1變軌為軌道2的示意圖，下列說法中正確的是()A“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處應(yīng)點(diǎn)火加速B“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處的速度比在軌道2的A點(diǎn)處的速度大C“嫦娥二號”在軌道1的A點(diǎn)處的加速度比在軌道2的A點(diǎn)處的加速度大D“嫦娥二號”在軌道1的B點(diǎn)處的機(jī)械能比在軌道2的C點(diǎn)處的機(jī)械能大解析衛(wèi)星要由軌道1變軌為軌道2需在A處做離心運(yùn)動(dòng)，應(yīng)加速使其做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力m大于地球所能提供的萬有引力G，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由Gma可知，衛(wèi)星在不同軌道同一點(diǎn)處的加速度大小相等，C項(xiàng)錯(cuò)誤；衛(wèi)星由軌道1變軌到軌道2，反沖發(fā)動(dòng)機(jī)的推力對衛(wèi)星做正功，衛(wèi)星的機(jī)械能增加，所以衛(wèi)星在軌道1的B點(diǎn)處的機(jī)械能比在軌道2的C點(diǎn)處的機(jī)械能小，D項(xiàng)錯(cuò)誤答案A處理衛(wèi)星變軌問題的思路和方法1要增大衛(wèi)星的軌道半徑，必須加速；2當(dāng)軌道半徑增大時(shí)，衛(wèi)星的機(jī)械能隨之增大突破訓(xùn)練42011年9月29日，中國首個(gè)空間實(shí)驗(yàn)室“天宮一號”在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，由長征運(yùn)載火箭將飛船送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，B點(diǎn)距離地面高度為h，地球的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上“天宮一號”飛行幾周后進(jìn)行變軌，進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖5所示已知“天宮一號” 圖5在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，萬有引力常量為G，地球半徑為R.則下列說法正確的是()A“天宮一號”在橢圓軌道的B點(diǎn)的向心加速度大于在預(yù)定圓軌道的B點(diǎn)的向心加速度B“天宮一號”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B點(diǎn)運(yùn)行的過程中，機(jī)械能守恒C“天宮一號”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B點(diǎn)運(yùn)行的過程中，動(dòng)能先減小后增大D由題中給出的信息可以計(jì)算出地球的質(zhì)量M答案BD解析在B點(diǎn)，由ma知，無論在哪個(gè)軌道上的B點(diǎn)，其向心加速度相同，A項(xiàng)錯(cuò)；“天宮一號”在橢圓軌道上運(yùn)行時(shí)，其機(jī)械能守恒，B項(xiàng)對；“天宮一號”從A點(diǎn)開始沿橢圓軌道向B運(yùn)行中，動(dòng)能一直減小，C項(xiàng)錯(cuò)；對“天宮一號”在預(yù)定圓軌道上運(yùn)行，有Gm(Rh)，而T，故M，D項(xiàng)對考點(diǎn)四宇宙速度的理解與計(jì)算1第一宇宙速度v17.9 km/s，既是發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的最大環(huán)繞速度2第一宇宙速度的求法：(1)m，所以v1 .(2)mg，所以v1.3第二、第三宇宙速度也都是指發(fā)射速度例52012年6月16日，“神舟九號”宇宙飛船搭載3名航天員飛天，并于6月18日1400與“天宮一號”成功對接在發(fā)射時(shí)，“神舟九號”宇宙飛船首先要發(fā)射到離地面很近的圓軌道，然后經(jīng)過多次變軌后，最終與在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球飛行的“天宮一號”完成對接，之后，整體保持在距地面高度仍為h的圓形軌道上繞地球繼續(xù)運(yùn)行已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g.求：(1)地球的第一宇宙速度；(2)“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運(yùn)行的速度與對接后整體的運(yùn)行速度之比解析(1)設(shè)地球的第一宇宙速度為v，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：Gm在地面附近Gmg聯(lián)立解得v.(2)根據(jù)題意可知，設(shè)“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運(yùn)行的速度為v1v1v對接后，整體的運(yùn)行速度為v2，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得Gm，解得v2 ，所以v1v2 .答案(1)(2) 突破訓(xùn)練5宇航員在月球上做自由落體實(shí)驗(yàn)，將某物體由距月球表面高h(yuǎn)處釋放，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面(設(shè)月球半徑為R)據(jù)上述信息推斷，飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的速率為()A. B. C. D.答案B解析設(shè)在月球表面處的重力加速度為g則hgt2，所以g飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有mgm所以v ，選項(xiàng)B正確.22雙星系統(tǒng)模型問題的分析與計(jì)算 1雙星系統(tǒng)模型的特點(diǎn)：(1)兩星都繞它們連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故兩星的角速度、周期相等(2)兩星之間的萬有引力提供各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以它們的向心力大小相等；(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，即r1r2L.2雙星系統(tǒng)模型的三大規(guī)律：(1)雙星系統(tǒng)的周期、角速度相同(2)軌道半徑之比與質(zhì)量成反比(3)雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān)，而與雙星個(gè)體的質(zhì)量無關(guān)例6如圖6所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)引力常量為G.(1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期； 圖6(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1.但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2與T1兩者平方之比(結(jié)果保留3位小數(shù))解析(1)設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，相互作用的萬有引力大小為F，運(yùn)行周期為T.根據(jù)萬有引力定律有：FG由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得Fm()2rFM()2R由題意有LRr聯(lián)立式得T2 (2)在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心O不在地心，由題意知，月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可由式得出T12 式中，M和m分別是地球與月球的質(zhì)量，L是地心與月心之間的距離若認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則Gm()2L式中，T2為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期由式得T22 由式得()21代入題給數(shù)據(jù)得()21.012答案(1)2 (2)1.012突破訓(xùn)練6(2012·重慶·18)冥王星與其附近的另一星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)，質(zhì)量比約為71，同時(shí)繞它們連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由此可知，冥王星繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的()A軌道半徑約為卡戎的B角速度大小約為卡戎的C線速度大小約為卡戎的7倍D向心力大小約為卡戎的7倍答案A解析本題是雙星問題，設(shè)冥王星的質(zhì)量、軌道半徑、線速度分別為m1、r1、v1，卡戎的質(zhì)量、軌道半徑、線速度分別為m2、r2、v2，由雙星問題的規(guī)律可得，兩星間的萬有引力分別給兩星提供做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，且兩星的角速度相等，故B、D均錯(cuò)；由Gm12r1m22r2(L為兩星間的距離)，因此，故A對，C錯(cuò).高考題組1(2012·廣東理綜·21)如圖7所示，飛船從軌道1變軌至軌道2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，不考慮質(zhì)量變化，相對于在軌道1上，飛船在軌道2上的 ()A動(dòng)能大B向心加速度大 圖7C運(yùn)行周期長D角速度小答案CD解析飛船繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其萬有引力提供向心力，即F引F向，所以ma向mr2，即a向，Ekmv2，T ， (或用公式T求解)因?yàn)閞1<r2所以Ek1>Ek2，a向1>a向2，T1<T2，1>2，選項(xiàng)C、D正確2(2012·北京·18)關(guān)于環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，下列說法正確的是()A分別沿圓軌道和橢圓軌道運(yùn)行的兩顆衛(wèi)星，不可能具有相同的周期B沿橢圓軌道運(yùn)行的一顆衛(wèi)星，在軌道不同位置可能具有相同的速率C在赤道上空運(yùn)行的兩顆地球同步衛(wèi)星，它們的軌道半徑有可能不同D沿不同軌道經(jīng)過北京上空的兩顆衛(wèi)星，它們的軌道平面一定會(huì)重合答案B解析根據(jù)開普勒第三定律，恒量知，當(dāng)圓軌道的半徑R與橢圓軌道的半長軸a相等時(shí)，兩衛(wèi)星的周期相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行且從近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行時(shí)，萬有引力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理知，動(dòng)能減小，速率減?。粡倪h(yuǎn)地點(diǎn)向近地點(diǎn)移動(dòng)時(shí)動(dòng)能增加，速率增大，且兩者具有對稱性，故選項(xiàng)B正確；所有同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期相等，根據(jù)Gm()2r知，同步衛(wèi)星軌道的半徑r一定，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，可知衛(wèi)星運(yùn)行的軌道平面過某一地點(diǎn)時(shí)，軌道平面必過地心，但軌道平面不一定重合，故北京上空的兩顆衛(wèi)星的軌道平面可以不重合，選項(xiàng)D錯(cuò)誤3(2012·山東理綜·15)2011年11月3日，“神舟八號”飛船與“天宮一號”目標(biāo)飛行器成功實(shí)施了首次交會(huì)對接任務(wù)完成后“天宮一號”經(jīng)變軌升到更高的軌道，等待與“神舟九號”交會(huì)對接變軌前和變軌完成后“天宮一號”的運(yùn)行軌道均可視為圓軌道，對應(yīng)的軌道半徑分別為R1、R2，線速度大小分別為v1、v2.則等于()A. B. C. D.答案B解析“天宮一號”運(yùn)行時(shí)所需的向心力由萬有引力提供，根據(jù)G得線速度v ，所以 ，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤4(2011·北京理綜·15)由于通信和廣播等方面的需要，許多國家發(fā)射了地球同步軌道衛(wèi)星，這些衛(wèi)星的()A質(zhì)量可以不同 B軌道半徑可以不同C軌道平面可以不同 D速率可以不同答案A解析同步衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)，萬有引力提供向心力，mrm，故有，v ，由于同步衛(wèi)星運(yùn)行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，故同步衛(wèi)星的軌道半徑大小是確定的，速度v也是確定的，同步衛(wèi)星的質(zhì)量可以不同要想使衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)同步，軌道平面一定是赤道平面故只有選項(xiàng)A正確模擬題組5如圖8所示，某顆天文衛(wèi)星飛往距離地球約160萬千米的第二拉格朗日點(diǎn)(圖中L2)，L2點(diǎn)處在太陽與地球連線的外側(cè)，在太陽和地球引力的共同作用下，衛(wèi)星在該點(diǎn)能與地球同步繞太陽運(yùn)動(dòng)(視為圓周運(yùn)動(dòng))，且時(shí)刻保持背對太陽和地球的姿勢，不受太陽的干擾而進(jìn)行天文觀測不考慮圖8其他星球影響，下列關(guān)于工作在L2點(diǎn)的天文衛(wèi)星的說法中正確的是()A將它從地球上發(fā)射到L2點(diǎn)的發(fā)射速度大于7.9 km/sB它繞太陽運(yùn)行的周期比地球繞太陽運(yùn)行的周期長C它繞太陽運(yùn)行的線速度比地球繞太陽運(yùn)行的線速度大D它繞太陽運(yùn)行的向心加速度比地球繞太陽運(yùn)行的向心加速度大答案ACD解析衛(wèi)星的發(fā)射速度一定大于7.9 km/s，選項(xiàng)A對由于衛(wèi)星和地球同步，因此它們的周期相同，角速度相同，由vr知，v衛(wèi)>v地，選項(xiàng)C對，B錯(cuò)由ar2知選項(xiàng)D對6國防科技工業(yè)局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三號”將于2013年下半年擇機(jī)發(fā)射我國已成功發(fā)射了“嫦娥二號”探月衛(wèi)星，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t；月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0.(1)請推導(dǎo)出“嫦娥二號”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；(2)地球和月球的半徑之比為4，表面重力加速度之比為6，試求地球和月球的密度之比答案(1) R0(2)解析(1)由題意知，“嫦娥二號”衛(wèi)星的周期為T設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬有引力提供向心力得：Gm(R0h)()2又：Gmg0聯(lián)立解得：h R0(2)設(shè)星球的密度為，由Gmg得GMgR2聯(lián)立解得：設(shè)地球、月球的密度分別為0、1，則：將4，6代入上式，解得： (限時(shí)：45分鐘)題組1天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1(2012·福建理綜·13)“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導(dǎo)星若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運(yùn)行的周期為T，已知引力常量為G，半徑為R的球體體積公式VR3，則可估算月球的()A密度 B質(zhì)量 C半徑 D自轉(zhuǎn)周期答案A解析對“嫦娥二號”由萬有引力提供向心力可得：mR，故月球的質(zhì)量M，因“嫦娥二號”為近月衛(wèi)星，故其軌道半徑為月球的半徑R，但由于月球半徑未知，故月球質(zhì)量無法求出，月球質(zhì)量未知，則月球的半徑R也無法求出，故B、C項(xiàng)均錯(cuò)；月球的密度，故A正確2銀河系的恒星中大約四分之一是雙星某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng). 由天文觀測得其周期為T，S1到C點(diǎn)的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知萬有引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為()A.B.C. D.答案D解析設(shè)S1、S2兩星體的質(zhì)量分別為m1、m2，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得對S1有Gm1()2r1解得m2所以正確選項(xiàng)是D.題組2衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析與計(jì)算3(2012·江蘇·8)2011年8月“嫦娥二號”成功進(jìn)入了環(huán)繞“日地拉格朗日點(diǎn)”的軌道，我國成為世界上第三個(gè)造訪該點(diǎn)的國家如圖1所示，該拉格朗日點(diǎn)位于太陽和地球連線的延長線上，一飛行器處于該點(diǎn)，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，則此飛行器的() 圖1A線速度大于地球的線速度B向心加速度大于地球的向心加速度C向心力僅由太陽的引力提供D向心力僅由地球的引力提供答案AB解析飛行器與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，所以飛地，由圓周運(yùn)動(dòng)線速度和角速度的關(guān)系vr得v飛>v地，選項(xiàng)A正確；由公式ar2知，a飛>a地，選項(xiàng)B正確；飛行器受到太陽和地球的萬有引力，方向均指向圓心，其合力提供向心力，故C、D選項(xiàng)錯(cuò)4(2012·四川·15)今年4月30日，西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射的中圓軌道衛(wèi)星，其軌道半徑為2.8×107 m它與另一顆同質(zhì)量的同步軌道衛(wèi)星(軌道半徑為4.2×107 m)相比()A向心力較小B動(dòng)能較大C發(fā)射速度都是第一宇宙速度D角速度較小答案B解析由題知，中圓軌道衛(wèi)星的軌道半徑r1小于同步衛(wèi)星的軌道半徑r2，衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)的向心力由萬有引力提供，根據(jù)F向G知，兩衛(wèi)星的向心力F1>F2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)Gm2r，得環(huán)繞速度v1>v2，角速度1>2，兩衛(wèi)星質(zhì)量相等，則動(dòng)能Ek1>Ek2，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星發(fā)射得越高，發(fā)射所需速度越大，第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，因此兩衛(wèi)星的發(fā)射速度都大于第一宇宙速度，且v01<v02，選項(xiàng)C錯(cuò)誤5(2012·天津理綜·3)一人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，假如該衛(wèi)星變軌后仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能減小為原來的，不考慮衛(wèi)星質(zhì)量的變化，則變軌前、后衛(wèi)星的()A向心加速度大小之比為41B角速度大小之比為21C周期之比為18D軌道半徑之比為12答案C解析根據(jù)Ekmv2得v ，所以衛(wèi)星變軌前、后的速度之比為.根據(jù)Gm，得衛(wèi)星變軌前、后的軌道半徑之比為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；根據(jù)Gma，得衛(wèi)星變軌前、后的向心加速度大小之比為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)Gm2r，得衛(wèi)星變軌前、后的角速度大小之比為 ，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)T，得衛(wèi)星變軌前、后的周期之比為，選項(xiàng)C正確6(2010·北京理綜·16)一物體靜置在平均密度為的球形天體表面的赤道上已知萬有引力常量為G，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面的壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為()A. B.C. D.答案D解析物體隨天體一起自轉(zhuǎn)，當(dāng)萬有引力全部提供向心力時(shí)，物體對天體的壓力恰好為零，則GmR，又，所以T，D正確題組3宇宙速度和重力加速度的求解7假設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，則()A同步衛(wèi)星運(yùn)行速度是第一宇宙速度的倍B同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是第一宇宙速度的 倍C同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍D同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)速度的n倍答案BD解析對衛(wèi)星都有：m，v ，所以 ，B對，A錯(cuò)；因?yàn)閙a向，所以a向，而mg，g，故，C錯(cuò)；由vr知，n，故D對82011年9月29日，“天宮一號”順利升空，在離地面高度343 km的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng).2012年2月25日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號丙運(yùn)載火箭，成功將第十一顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入太空預(yù)定軌道這是一顆地球靜止軌道衛(wèi)星，是我國當(dāng)年發(fā)射的首顆北斗導(dǎo)航系統(tǒng)組網(wǎng)衛(wèi)星下列關(guān)于這兩顆衛(wèi)星的說法正確的是()A“天宮一號”的運(yùn)行周期大于北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的運(yùn)行周期B“天宮一號”和北斗導(dǎo)航衛(wèi)星上攜帶的物體都處于完全失重狀態(tài)C“天宮一號”的環(huán)繞速度大于第一宇宙速度D北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的向心加速度比地球赤道表面的重力加速度小答案BD解析“天宮一號”的軌道半徑要小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，因此T天<T北斗，A錯(cuò)；由于衛(wèi)星所受的萬有引力全部用來提供向心力，因此衛(wèi)星及其內(nèi)的所有物體都處于完全失重狀態(tài)，B對；“天宮一號”的軌道半徑大于地球半徑，因此它的環(huán)繞速度要小于第一宇宙速度，C錯(cuò)；由a知D對題組4衛(wèi)星變軌問題的分析9如圖2所示，將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后再次點(diǎn)火，將 衛(wèi)星送入同步軌道3.軌道1、2相切于Q,2、3相切于P點(diǎn)，則當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說法正確的是()A衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度小于它在軌道2上經(jīng)過 圖2P點(diǎn)時(shí)的速度B衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道2上經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的加速度C衛(wèi)星在軌道1上的向心加速度小于它在軌道3上的向心加速度D衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度答案BD解析本題考查人造衛(wèi)星的知識由開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在橢圓軌道的近地點(diǎn)速度大，A錯(cuò)；衛(wèi)星在同一點(diǎn)受到的萬有引力相同，加速度也相同，B對；由aG，r越小，a越大，C錯(cuò)；由Gm2r，衛(wèi)星在軌道3上的半徑大，故角速度小，D對10我國未來將建立月球基地，并在繞月軌道上建造空間站 如圖3所示，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)的航天飛機(jī)A在月球引力作用下沿橢圓軌道向月球靠近，并將在橢圓的近月點(diǎn)B處與空間站對接已知空間站繞月軌道半徑為r，周期為T，引力常量為G，月球的半徑為R.下列判斷正確的是()A航天飛機(jī)到達(dá)B處由橢圓軌道進(jìn)入空間站軌道時(shí)必須減速圖3B圖中的航天飛機(jī)正在加速飛向B處C月球的質(zhì)量MD月球的第一宇宙速度v答案ABC解析航天飛機(jī)到達(dá)B處時(shí)速度比較大，如果不減速此時(shí)萬有引力不足以提供向心力，這時(shí)航天飛機(jī)將做離心運(yùn)動(dòng)，故A正確；因?yàn)楹教祜w機(jī)越接近月球，受到的萬有引力越大，加速度越大，所以正在加速飛向B處，故B正確；由萬有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則Gm，整理得M，故C正確；速度v是空間站在軌道r上的線速度，而不是圍繞月球表面運(yùn)動(dòng)的第一宇宙速度，故D錯(cuò)誤題組5萬有引力定律的綜合應(yīng)用11(2011·浙江·19)為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T1，總質(zhì)量為m1.隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m2，則()AX星球的質(zhì)量為MBX星球表面的重力加速度為gXC登陸艙在r1與r2軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為D登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2T1 答案AD解析飛船繞X星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律知Gm，則X星球質(zhì)量M，選項(xiàng)A正確由Gmma1，知r1軌道處的向心加速度a1，而對繞X星球表面飛行的飛船有GmgX(R為X星球的半徑)，則gXG>a1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤由Gm知v ，故 ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤根據(jù)Gm得T ，故 ，即T2T1 ，選項(xiàng)D正確12已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響(1)求衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的第一宇宙速度v1；(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且運(yùn)行周期為T，求衛(wèi)星運(yùn)行半徑r；(3)由題目所給條件，請?zhí)岢鲆环N估算地球平均密度的方法，并推導(dǎo)出平均密度表達(dá)式答案(1)(2) (3)解析(1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)滿足Gmg第一宇宙速度是指衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力Gm式代入式，得v1(2)衛(wèi)星受到的萬有引力為Gm()2r由式解得r (3)設(shè)質(zhì)量為m0的小物體在地球表面附近所受重力為m0g，則Gm0g將地球看成是半徑為R的球體，其體積為VR3地球的平均密度為13發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射到距地面高度為h1的近地圓 軌道上，在衛(wèi)星經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火實(shí)施變軌進(jìn)入橢圓軌道，最后 在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)再次點(diǎn)火將衛(wèi)星送入同步軌道，如圖4所示已知同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響求：圖4(1)衛(wèi)星在近地點(diǎn)A的加速度大?。?2)遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度答案(1)(2) R解析(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，萬有引力常量為G，衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有Gma設(shè)質(zhì)量為m的物體在地球赤道表面上受到的萬有引力等于重力，有Gmg由以上兩式得a(2)設(shè)遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面的高度為h2，衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：Gm(Rh2)解得：h2 R.