函數(shù)綜合題分類復習題型一：關于函數(shù)的單調區(qū)間（若單調區(qū)間有多個用“和”字連接或用“逗號”隔開），極值，最值；不等式恒成立；此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立問題的實質是函數(shù)的最值問題，常見處理方法有四種：第一種：變更主元（即關于某字母的一次函數(shù)）-題型特征（已知誰的范圍就把誰作為主元）；第二種：分離變量求最值（請同學們參考例5）；第三種：關于二次函數(shù)的不等式恒成立；第四種：構造函數(shù)求最值-題型特征恒成立恒成立；參考例4；例1.已知函數(shù)，是的一個極值點（）求的單調遞增區(qū)間；（）若當時，恒成立，求的取值范圍 例2.已知函數(shù)的圖象過點.（）若函數(shù)在處的切線斜率為，求函數(shù)的解析式；（）若，求函數(shù)的單調區(qū)間.例3.設。（1）求在上的值域；（2）若對于任意，總存在,使得成立,求的取值范圍。例4.已知函數(shù)圖象上一點的切線斜率為，（）求的值；（）當時，求的值域；（）當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。例5.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數(shù)的解析式；（）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例6.已知函數(shù)，在時有極值0，則 。例7.已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)（1） 若函數(shù)在處有極值，求的解析式；（2） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實數(shù)的取值范圍答案：1、解：（）. 是的一個極值點，是方程的一個根，解得. 令，則，解得或. 函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，. （）當時，時，在（1，2）上單調遞減，在（2，3）上單調遞增. 是在區(qū)間1，3上的最小值，且 . 若當時，要使恒成立，只需， 即，解得 . 2、解：（） 由題意知，得 （） ， 由解得或，由解得 10 的單調增區(qū)間為：和；的單調減區(qū)間為： 12分3、解：(1)法一:(導數(shù)法) 在上恒成立. 在0,1上增，值域0,1。 法二:, 復合函數(shù)求值域. 法三:用雙勾函數(shù)求值域. (2)值域0,1，在上的值域. 由條件,只須，.特別說明：要深刻理解本題的題意及子區(qū)間的解題思路，聯(lián)想2008年全國一卷第21題，那是單調區(qū)間的子區(qū)間問題；4、解：（）， 解得（）由（）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減又 的值域是（）令要使恒成立，只需，即（1）當時 解得；（2）當時 ；（3）當時解得；綜上所述所求t的范圍是特別說明：分類與整合，千萬別忘了整合即最后要寫“綜上可知”，分類一定要序號化；5、解：（） 令=0,得 因為，所以可得下表：0+0-極大 因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是0，1. 6、11 （ 特別說明：通過此題旨在提醒同學們“導數(shù)等于零”的根不一定都是極值點，但極值點一定是“導數(shù)等于零”方程的根；）7、解：，由有，即切點坐標為，切線方程為，或2分整理得或，解得，（1），在處有極值，即，解得，8分（2）函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上恒成立，即，在上恒成立，的取值范圍是 題型二：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性求參數(shù)的范圍及函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題；（1）已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性求參數(shù)的范圍的常用方法有三種：第一種：轉化為恒成立問題即在給定區(qū)間上恒成立，然后轉為不等式恒成立問題；用分離變量時要特別注意是否需分類討論（看是否在0的同側），如果是同側則不必分類討論；若在0的兩側，則必須分類討論，要注意兩邊同處以一個負數(shù)時不等號的方向要改變呀！有時分離變量解不出來，則必須用另外的方法；第二種：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；參考08年高考題；第三種方法：利用二次方程根的分布，著重考慮端點函數(shù)值與0的關系和對稱軸相對區(qū)間的位置；可參考第二次市統(tǒng)考試卷；特別說明：做題時一定要看清楚“在（a,b）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別；請參考資料高考教練83頁第3題和清明節(jié)假期作業(yè)上的第20題（金考卷第5套）；（2）函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式（組）即可；例8已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 求實數(shù)的取值范圍；（2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍例9.已知函數(shù) （I）討論函數(shù)的單調性。 （II）若函數(shù)在A、B兩點處取得極值，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍。例10已知函數(shù)f(x)x3ax24x4a，其中a為實數(shù)()求導數(shù)(x)；()若(1)0，求f(x)在2，2上的最大值和最小值；()若f(x)在(，2和2，)上都是遞增的，求a的取值范圍例11.已知：函數(shù)（I）若函數(shù)的圖像上存在點，使點處的切線與軸平行，求實數(shù) 的關系式；（II）若函數(shù)在和時取得極值且圖像與軸有且只有3個交點，求實數(shù)的取值范圍.例12設為三次函數(shù)，且圖像關于原點對稱，當時， 的極小值為（）求的解析式；（）證明：當時，函數(shù)圖像上任意兩點的連線的斜率恒大于0例13在函數(shù)圖像在點（1，f（1）處的切線與直線平行，導函數(shù)的最小值為12。 （1）求a、b的值； （2）討論方程解的情況（相同根算一根）。例14已知定義在R上的函數(shù)，當時，取得極大值3，. （）求的解析式； （）已知實數(shù)能使函數(shù)上既能取到極大值，又能取到極小值，記所有的實數(shù)組成的集合為M.請判斷函數(shù)的零點個數(shù).例15.已知函數(shù)的單調減區(qū)間為（0，4） （I）求的值； （II）若對任意的總有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。例16.已知函數(shù)是常數(shù)，且當和時，函數(shù)取得極值.（）求函數(shù)的解析式；（）若曲線與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.例17.已知函數(shù)正項數(shù)列滿足：，點在圓上， （）求證：；（）若，求證：是等比數(shù)列；（）求和：例18.函數(shù)（、為常數(shù)）是奇函數(shù)。（）求實數(shù)的值和函數(shù)的圖像與軸交點坐標；（）設，求的最大值.例19.已知f (x)x3bx2cx2若f(x)在x1時有極值1，求b、c的值；若函數(shù)yx2x5的圖象與函數(shù)y的圖象恰有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍例20. 設函數(shù)，當時，取得極值.（1）求的值，并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值；（2）當時，函數(shù)與的圖象有兩個公共點，求的取值范圍.例21.已知在R上單調遞增，記的三內角A、B、C的對應邊分別為a、b、c，若時，不等式恒成立（）求實數(shù)的取值范圍；（）求角的取值范圍；（）求實數(shù)的取值范圍。答案：8解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立即恒成立，又，故的取值范圍為 （2）設，令得或由（1）知，當時，在R上遞增，顯然不合題意當時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ，解得綜上，所求的取值范圍為9、解：（1）當a>0時，遞增；當a<時，遞減5分（2）當a>0時0+00+增極大值減極小值增此時，極大值為7分當a<0時00+0減極小值增極大值減此時，極大值為因為線段AB與x軸有公共點所以解得 10、解：（） （）由，由得或x=又在-2，2上最大值，最小值.8分（）， 由題意知11、解：（I）設切點, ,因為存在極值點，所以，即-（4分）（II）因為，是方程的根，所以，.-(6分),；在處取得極大值，在處取得極小值. 函數(shù)圖像與軸有3個交點，12解：（）設 其圖像關于原點對稱，即 得 ， 則有 由 ， 依題意得 由得 故所求的解析式為：. -8分（）由解得：或 -10分 時，函數(shù)單調遞增； -12分設是時，函數(shù)圖像上任意兩點，且，則有過這兩點的直線的斜率. 13、解：（1）又直線（2）由（1）知，列表如下：xf+00+f（x）極大值極小值 所以，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是和 14、解：（1）由得c=1，得（2）得，時取得極值.由， 得.，當時， 在上遞減. 又函數(shù)的零點有且僅有1個15、解：（I） 又4分 （II）且12分16、解：（）， 依題意，即解得（）由（）知，曲線與有兩個不同的交點，即在上有兩個不同的實數(shù)解5分設，則， 由0的或當時，于是在上遞增；當時，于是在上遞減. 依題意有實數(shù)的取值范圍是. 17、解：（）由題意： 4分（）由（）知：數(shù)列滿足：，故8分（）令 相減得： 12分 18、解：（），與軸交點為， 4分（）6分當時，由，得或（舍）在上單調遞增，在上單調遞減。當時，由得在上單調遞增。如圖所示，為在上的圖像。10分當時，當時，由故的最大值的情形如下：當時， 當時，當時， 19、解：f '(x)3x22bxc，由題知f '(1)032bc0，f(1)11bc21b1，c5，f(x)x3x25x2，f'(x)3x22x5f(x)在，1為減函數(shù)，f (x)在(1，)為增函數(shù)b1，c5符合題意即方程：恰有三個不同的實解：x3x25x2k(x0)即當x0時，f (x)的圖象與直線yk恰有三個不同的交點，由知f (x)在為增函數(shù)，f (x)在為減函數(shù)，f (x)在(1，)為增函數(shù)，又，f (1)1，f (2)2且k220、解：（1）由題意 當時，取得極值， 所以 即 此時當時，當時，是函數(shù)的最小值。 （2）設，則 ，8分 設， ，令解得或列表如下：_0+函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。當時，有極大值；當時,有極小值 函數(shù)與的圖象有兩個公共點，函數(shù)與的圖象有兩個公共點 或 21、解：(1)由知，在R上單調遞增，恒成立，且，即且， （2），由余弦定理：， （3） 在R上單調遞增，且，所以 ，故，即，即，即 題型三：函數(shù)的切線問題；問題1：在點處的切線，易求；問題2：過點作曲線的切線需四個步驟；第一步：設切點，求斜率；第二步：寫切線（一般用點斜式）；第三步：根據(jù)切點既在曲線上又在切線上得到一個三次方程；第四步：判斷三次方程根的個數(shù)；例22.已知函數(shù)在點處取得極小值4，使其導數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍例23. 已知（為常數(shù)）在時取得一個極值， （1）確定實數(shù)的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)； （2）若經過點A（2，c）（）可作曲線的三條切線，求的取值范圍答案：22、解：（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：， （2）設切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數(shù)的范圍為： 23、解：（1）函數(shù)在時取得一個極值，且，或時，或時，時，在上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù) 使在區(qū)間上是單調函數(shù)的的取值范圍是（2）由（1）知設切點為，則切線的斜率，所以切線方程為：將點代人上述方程，整理得： 經過點可作曲線的三條切線，方程有三個不同的實根 設，則，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增， 故得：題型四：函數(shù)導數(shù)不等式線性規(guī)劃精彩交匯；例24.設函數(shù)，在其圖象上一點處的切線的斜率記為 (1)若方程有兩個實根分別為-2和4，求的表達式；(2)若在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)，求的最小值。例25.已知函數(shù)（1）若圖象上的是處的切線的斜率為的極大值。（2）在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)，求的最小值。例26. 已知函數(shù)（，且）的圖象在處的切線與軸平行.(I) 試確定、的符號；n023(II) 若函數(shù)在區(qū)間上有最大值為，試求的值.答案：24、解：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義知由已知-2，4是方程的兩個實根由韋達定理， ，（2）在區(qū)間上是單調遞減函數(shù)，所以在區(qū)間上恒有，即在區(qū)間上恒成立這只需滿足即可，也即而可視為平面區(qū)域內的點到原點距離的平方由圖知當時，有最小值13；25、解：（1） 由題意得 令由此可知13+00+極大值極小值9時取極大值（2）上是減函數(shù)上恒成立作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖當直線經過點時 取最小值26、解：(I)由圖象在處的切線與軸平行，知， 3分又，故，. 4分 (II)令,得或 6分 易證是的極大值點，是極小值點（如圖）. 7分 令，得或. 8分 分類：(I)當時， . 由，解得，符合前提 . (II)當時，,. 由，得 . 記,在上是增函數(shù)，又，,在上無實數(shù)根.綜上，的值為. 題型五：函數(shù)導數(shù)不等式數(shù)列的精彩交匯例2 7.已知函數(shù)滿足且有唯一解。（1） 求的表達式； （2）記，且，求數(shù)列的通項公式。（）記 ，數(shù)列的前項和為，求證例28.已知函數(shù)，其中.（）若曲線在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；（）討論函數(shù)的單調性；（）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.例29.在數(shù)列中，且已知函（）在時取得極值.高考學習網）求數(shù)列的通項；高考學習網）設，且對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍學例30.已知函數(shù)，為實數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行. （1）求實數(shù)a的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；例31.已知函數(shù)（a、c、dR）滿足且在R上恒成立。（1）求a、c、d的值；（2）若，解不等式；（3）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)在區(qū)間m，m+2上有最小值5？若存在，請求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由。例32.設函數(shù)（），其中（1）當時，求曲線在點（2，）處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的極大值和極小值；（3）當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立。例33. 已知函數(shù)為常數(shù)） （）若 （）若在和處取得極值，且在時，函數(shù)的圖象在直線的下方，求的取值范圍？答案：27、解：(1)由 即 有唯一解又 (2)由 又 數(shù)列是以首項為，公差為 (3)由 = 28、解：（），由導數(shù)的幾何意義得，于是由切點在直線上可得，解得所以函數(shù)的解析式為（）解：當時，顯然（）這時在，上內是增函數(shù)當時，令，解得當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在，內是增函數(shù)，在，內是減函數(shù)（）解：由（）知，在上的最大值為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立從而得，所以滿足條件的的取值范圍是科網29、解： () (1)0(an2an1)(3a n14an)0即an22an12(an12an) 又a22a14數(shù)列an12an是以2為公比，以4為首項的等比數(shù)列。an12an4×2n12 n1 且數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，(n1)×1n （）由， 令Sn|b1|b2|bn|2()23()3n()n Sn()22()3(n1)()nn()n1得Sn()2()3()nn()n+1n()n+121()nn()n+1 Sn61()n3n()n+1 要使得|b1|b2|bn|m對于nN恒成立,只須，所以實數(shù)的取值范圍是.30、解：（1）由題意 由、可得，故（2）存在由（1）可知，+00+單調增極大值單調減極小值單調增，.的極小值為1.31、解：（1），即，從而。在R上恒成立，即，解得。（2）由（1）知，不等式化為，即，（a）若，則不等式解為；（b）若，則不等式解為空集；（c）若，則不等式解為。（3）。該拋物線開口向上，對稱軸為。若，即時，在m，m+2上為增函數(shù)。當時，由已知得，解得。若，即時，當時，。由已知得，無解。若，即時，在m，m+2上為減函數(shù)。當時，。由已知得，解得。綜上所述，存在實數(shù)或，使函數(shù)在區(qū)間m，m+2上有最小值5。32、解：（）當時，得，且，所以，曲線在點處的切線方程是，整理得（）解：令，解得或由于，以下分兩種情況討論（1）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且（2）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且（）證明：由，得，當時，由（）知，在上是減函數(shù)，要使，只要即設，則函數(shù)在上的最大值為要使式恒成立，必須，即或所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立33、解：（1）又x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個極值點，則x1，x2是的兩根，（2）由題意，