考點專練(三十五)一、選擇題1對于數(shù)列an，“an1>|an|(n1,2，)”是“an為遞增數(shù)列”的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：若an單調(diào)遞增，不一定能夠說明an1>|an|一定成立，如an：n，(n1)，2，1顯然不滿足an1>|an|一定成立，但是該數(shù)列遞增；如果an1>|an|>0.那么無論an的值取正，取負(fù)，一定能夠得到an單調(diào)遞增，所以an1>|an|是an單調(diào)遞增的充分不必要條件選B.答案：B2(2012年河南焦作4月模擬)已知數(shù)列an滿足an1，且a1，則該數(shù)列的前2 012項的和等于()A. B3 015 C1 509 D2 010解析：因為a1，又an1，所以a21，從而a3，a41，即得an故數(shù)列的前2 012項的和等于S2 0121 006×1 509.答案：C3(2012年四川)設(shè)函數(shù)f(x)(x3)3x1，an是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)f(a2)f(a7)14，則a1a2a7()A0 B7 C14 D21解析：f(x)(x3)3x1(x3)3(x3)2，而yx3x是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，f(x)(x3)3(x3)2是關(guān)于點(3,2)成中心對稱的增函數(shù)又an是等差數(shù)列，f(a1)f(a2)f(a7)147×2，f(a4)2，即(a43)3(a43)22，a43，a1a2a77a421.答案：D4已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21S4 000，O為坐標(biāo)原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則·()A2 011 B2 011 C0 D1解析：設(shè)SnAn2Bn，由S21S4 000和二次函數(shù)的對稱性有S2 010S2 011，所以a2 0110，·2 011an×a2 0112 011，故選A.答案：A5(2013屆山東濰坊市四縣一校高三11月期中)已知ann，把數(shù)列an的各項排列成如下的三角形狀，a1a2a3a4a5a6a7a8a9記A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)，則A(10,12)()A.93 B.92 C.94 D.112解析：前9行共有1351781項，所以A(10,12)為數(shù)列中的第811293項，所以a9393，選A.答案：A6(2012年北京西城二模)對數(shù)列an，如果kN*及1，2，kR，使ank1ank12ank2kan成立，其中nN*，則稱an為k階遞歸數(shù)列給出下列三個結(jié)論：若an是等比數(shù)列，則an為1階遞歸數(shù)列；若an是等差數(shù)列，則an為2階遞歸數(shù)列；若數(shù)列an的通項公式為ann2，則an為3階遞歸數(shù)列其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析：對于，由an為等比數(shù)列，知q，則an1q·an，即1q，所以正確；對于，由an為等差數(shù)列，知an2an1an1an，則an22an1an，即12，21，所以正確；對于，令(n3)23n22(n1)21(n2)2，則解得13，23，31，所以正確，故選D.答案：D二、填空題7(2011年福建)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b>a)以及實數(shù)x(0<x<1)確定實際銷售價格cax(ba)這里，x被稱為樂觀系數(shù)經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中項據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于_解析：根據(jù)題目條件可知，cax(ba)，bcba(ca)(1x)(ba)，最佳樂觀系數(shù)滿足：ca是bc和ba的等比中項，所以有x(ba)2(1x)(ba)(ba)，又因為(ba)>0，所以x21x，即x2x10，解得x，又0<x<1，所以x.答案：8在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an前n項的和，若Sn取得最大值，則n_.解析：設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，則n9，當(dāng)n9時，an>0，同理可得n10時，an<0.故當(dāng)n9時，Sn取得最大值答案：99(2012年江西盟校二聯(lián))下面給出一個“直角三角形數(shù)陣”，滿足每一列成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，記第i行第j列的數(shù)為aij(ij，i，jN*)，則a83等于_解析：設(shè)第一列為數(shù)列an1，則an1(n1)×.設(shè)第n行第m列為anm×m1，a83×31.答案：三、解答題10(2012年廣東)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列Sn的前n項和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)當(dāng)n1時，T1S12S11a1S11.(2)Tn2Snn2，Tn12Sn1(n1)2(n2)，則得TnTn12(SnSn1)2n1(n2)Sn2an2n1(n2)當(dāng)n1時，S12a121成立，Sn2an2n1(n1)，則Sn12an12(n1)1(n2)由得SnSn12an2an12an2an2an12an2an12an22(an12)(n2)，an2是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，an23·2n1，an3·2n12.11(2012年濟(jì)南調(diào)研)為保護(hù)我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計劃從2012年開始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%.(1)以2012年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達(dá)式；(2)因稀土資源不能再生，國家計劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2012年最多出口多少噸？(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：0.9100.35.)解：(1)由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項a1a，公比q110%0.9，ana·0.9n1.(2)10年出口總量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2012年最多出口12.3噸12(2012年廣西欽州二模)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，滿足Sn(1an)(a>0且a1，nN*)，數(shù)列bn滿足bnanlg an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn中的每一項總小于它后面的項，求a的取值范圍解：(1)Sn(1an)(a>0且a1，nN*)，Sn1(1an1)，由Sn1Snan1，得an1(anan1)，an1a·an，即a(a0，nN*)；當(dāng)n1時，a1(1a1)，即a1a.于是，數(shù)列an是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列，其通項公式為anan(nN*)(2)依題意，得bnnanlg a，令bk1>bk(kN*)，則(k1)·ak1lg a>kaklg a.a>0且a1，ak>0，即(k1)alg a>klg a.當(dāng)a>1時，lg a>0，則(k1)a>k，即a>.0<<1，a>1時，bk1>bk(kN*)恒成立當(dāng)0<a<1時，lg a<0，則(k1)a<k，即a<.為了使不等式對任意的正整數(shù)k都成立，只需a<min.，0<a<.綜上可知，a的取值范圍是a|a>1或0<a<熱點預(yù)測13(2013年寧夏銀川月考)已知數(shù)列an滿足a11，an12an1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：<<(nN*)解：(1)an12an1(nN*)，an112(an1)，an1是以a112為首項，2為公比的等比數(shù)列an12n.即an2n1(nN*)(2)證明：<，k1,2，n，<.·，k1,2，n，>，<<(nN*)