高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇（定點(diǎn)定線定值）1.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，(最好是用向量點(diǎn)乘來)，解得，且滿足.當(dāng)時，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。解：（）離心率，即（1）；又橢圓過點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，即（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。3.過拋物線（0）上一定點(diǎn)0），作兩條直線分別交拋物線于，求證：與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，直線的斜率為非零常數(shù)【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為由 相減得，故 同理可得， 由傾斜角互補(bǔ)知： 由 相減得， 直線的斜率為非零常數(shù)題型：動弦過定點(diǎn)的問題例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，并且橢圓的右頂點(diǎn)和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點(diǎn)，就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（II）設(shè)，由得，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且，解得，且滿足當(dāng)時，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)1.直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計算判別式后，可以得到，解出k、m的等式，就可以了。解：設(shè)，由得，（這里消x得到的）則（1）由韋達(dá)定理，得：，則，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，即，可得，則，即，又，則，且使（1）成立，此時，直線恒過點(diǎn)。名師指點(diǎn)：這個題是課本上的很經(jīng)典的題，例題5、（07山東理）就是在這個題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取140多分，應(yīng)該不成問題。 本題解決過程中，有一個消元技巧，就是直線和拋物線聯(lián)立時，要消去一次項，計算量小一些，也運(yùn)用了同類坐標(biāo)變換韋達(dá)定理，同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)變換-直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實解析幾何就這么點(diǎn)知識，你發(fā)現(xiàn)了嗎？例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。解：(I) ，且BC過橢圓的中心O又點(diǎn)C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點(diǎn)，則橢圓方程為：將點(diǎn)C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個根，即同理可得：則直線PQ的斜率為定值。方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程的根，易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)：，再將其中的k用-k換下來，就得到了點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)：，這樣計算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時間。接下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標(biāo)變換法將點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計算量會增加許多。直接計算、，就降低了計算量?？傊绢}有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計算量，達(dá)到節(jié)省時間的目的。練習(xí)1、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點(diǎn)。方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)2是方程的一個根，結(jié)合韋達(dá)定理得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)：，利用直線A1M的方程通過坐標(biāo)變換，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)：；再將中的換下來，前的系數(shù)2用2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時，能看到這一點(diǎn)，計算量將減少許多，并且也不易出錯，在這里減少計算量是本題的重點(diǎn)。否則，大家很容易陷入繁雜的運(yùn)算中，并且算錯，費(fèi)時耗精力，希望同學(xué)們認(rèn)真體會其中的精髓。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，離心率為 （）求橢圓的方程； （）過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個定點(diǎn)，為定值？若存在，求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得：。2分橢圓E的方程為。3分（）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則：。5分當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，則由得7分所以9分對于任意的值，為定值，所以，得，所以；11分當(dāng)直線的斜率不存在時，直線由得綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為13分法二：假設(shè)存在點(diǎn)，又設(shè)則：=.5分當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，由得7分9分設(shè)則11分當(dāng)直線的斜率為0時，直線，由得：綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為。13分定點(diǎn)定值過定點(diǎn)問題直線與曲線相交與兩點(diǎn)，求證變式：xAyOBM如圖，拋物線上有兩點(diǎn)A（）、B（），且·0，又（0，2），（1）求證：1.（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，解得，且滿足.當(dāng)時，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2. 已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根， 則，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點(diǎn)為，即 故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點(diǎn)。3.（2010江蘇）18.（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)，其中.設(shè)動點(diǎn)P滿足PF2PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡設(shè)x1=2,x2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo)設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))圓過定點(diǎn)4.（08江蘇）18設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為C（）求實數(shù)b 的取值范圍；（）求圓C 的方程；（）問圓C 是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論解：（）令0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）；令，由題意b0 且0，解得b1 且b0（）設(shè)所求圓的一般方程為令0 得這與0 是同一個方程，故D2，F(xiàn)令0 得0，此方程有一個根為b，代入得出Eb1所以圓C 的方程為.（）圓C 必過定點(diǎn)（0，1）和（2，1）證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊012×0（b1）b0，右邊0，所以圓C 必過定點(diǎn)（0，1）同理可證圓C 必過定點(diǎn)（2，1）5.已知橢圓,點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的切線,交軸與點(diǎn)直線過點(diǎn)且垂直與,交軸與點(diǎn)試判斷以為直徑的圓能否經(jīng)過定點(diǎn)？若能,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不能,請說明理由.解:設(shè)點(diǎn),直線的方程為代入,整理得.是方程的兩個相等實根,解得或根據(jù)求導(dǎo)解得直線的方程為令,得點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)的坐標(biāo)為又直線的方程為令,得點(diǎn)的坐標(biāo)為以為直徑的圓方程為整理得由得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)和6.如圖，點(diǎn)A，B，C是橢圓的三個頂點(diǎn)，D是OA的中點(diǎn)，P、Q是直線上的兩個動點(diǎn)。 （）當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1時，求證：直線CD與BP的交點(diǎn)在橢圓上； （）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，試判斷以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，請說明理由。解：（）由題意，時，直線CD方程為，直線BP方程為, -2分由方程組 解得， -3分+=+=1， 在橢圓上，直線 CD 與BP的交點(diǎn)在橢圓上 -5分（），焦點(diǎn)， -6分設(shè)， -8分， ，線段PQ為直徑的圓圓心是的中點(diǎn)（4，），半徑為，圓的方程為 -10分 -12分令，得 或 ，以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn) -13分定值7.已知定點(diǎn)C(1,0)及橢圓x23y25，過點(diǎn)C的動直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解析假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使·為常數(shù)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，將yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.則所以·(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.整理得·m2m2m22m.注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m140，m，此時·.當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(1，)、B(1，)，當(dāng)m時，亦有·.綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(，0)，使·為常數(shù)8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時，即又因為兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當(dāng)與軸垂直時，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時故在軸上存在定點(diǎn)，使為.9.已知橢圓:點(diǎn)的坐標(biāo)為,過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),對于任意的是否為定值？若是求出這個定值;若不是,請說明理由.解析:由已知得直線的方程為由消去得設(shè)則由此可知,為定值.10.（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點(diǎn)。（）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則.=令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.