2013年高考數(shù)學(xué) 易錯點點睛與高考突破 專題15 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【難點突破】難點 1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義1已知拋物線y=-x2+2,過其上一點P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的面積最小，求l的方程。把x0=代入得l的方程為：2x+3y-8=0.2由原點O向三次曲線y=x3-3ax2（a0）引切線，切于點P1（x1,y1）(O,P1兩點不重合)，再由P1引此曲線的切線，切于點P2（x2,y2）(P1，P2不重合)。如此繼續(xù)下去，得到點列Pn(xn,yn)求x1;求xn與xn+1滿足的關(guān)系式；若a>0，試判斷xn與a的大小關(guān)系并說明理由 (3)由（2）得xn+1=-難點 2利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性1已知mR,研究函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間f(x)在（-1，-）上是減函數(shù)。當(dāng)0<m<3時，x1<x2.在區(qū)間（-，-）（-1，+）上g(x)<0,即f(x)<0.3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖像交x軸于A、B、C三點，若點B的坐標(biāo)為（2，0），且f(x)在-1，0和4，5上有相同的單調(diào)性，在0，2和4，5上有相反的單調(diào)性。（1）求C的值；（2）在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在一點M（x0,y0）使得f(x)在點M處的切線斜率為3b？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。4已知函數(shù)f(x)=+（b-1）x2+cx(b,c為常數(shù))（1）若f(x)在x(-,x1)及x（x2+）上單調(diào)遞增，且在x（x1,x2）上單調(diào)遞減，又滿足0<x2-x1<1.求證b2<2(b+2c).(2)在（1）的條件下，若t>x1,試比較t2+bt+c與x1的大小，并加以證明。難點 3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上奇函數(shù)，當(dāng)x=-1時，f(x)取得極值2。（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于x1、x2-1，1，不等式|f(x1)-f(x2)|m，求m的最小值。2.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在-1，0 0，1上奇函數(shù)，當(dāng)x-1，0時，f(x)=2ax+(a為實數(shù))（1）當(dāng)x（0，1）時，求f(x)的解析式；（2）若a>-1，試判斷f(x)在0，1上的單調(diào)性；（3）是否存在a，使得當(dāng)x（0，1）時，f(x)有最大值-6。4x+2+1>0,x=.又x(0, )時，h(x)<0, x(,1)時，h(x)>0.x=時，h(x)有最小值h()=-a<.【易錯點點睛】易錯點 1導(dǎo)數(shù)的概念與運算1設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,則f2005(x) ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx2已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，f（x）的解析式可能為 （ ）Af（x）=(x-1)3+32(x-1) Bf(x)=2x+1 Cf()=2(x-1)2 Df(x)-x+3= 【特別提醒】1理解導(dǎo)數(shù)的概念時應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則 的運用。2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進(jìn)行，注意不要遺漏3求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo)是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù)；對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式；多項式的積的求導(dǎo)，先展開再求導(dǎo)等等。【變式訓(xùn)練】1 函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3時取得極值，則a= ( )A.2 B.3 C.4 D.55已知函數(shù)f(x)=ln(x-2)-(1)求導(dǎo)數(shù)f(x) 答案： f(x)=易錯點 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_.三條直線所圍成的面積為S=×4×（2-）=。2設(shè)t0,點P（t,0）是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數(shù)y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。【錯誤解答】 （1）函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).解得 t-9或t3.3.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處有極值。（1）討論f(1)和f(-1)是函數(shù)的極大值還是極小值。（2）過點A（0，16）作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。【特別提醒】設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)為f(x0)，則過此點的切線的斜率為f(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).利用導(dǎo)數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。【變式訓(xùn)練】1 曲線y=2x-x3在點（1，1）處的切線方程為_.（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖像C1與函數(shù)g(x)圖像C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行。 4 已知函數(shù)f(x)=|1-|,(x>0)(1)證明：0<a<b,且f(a)=f(b)時，ab>1;易錯點 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若f(x)在區(qū)間-2，2上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值?！惧e解分析】在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應(yīng)把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進(jìn)行比較大小才能產(chǎn)生最大（?。┲迭c，而上面解答題直接用極大（?。┲堤娲畲螅ㄐ。?已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。4設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。（1）當(dāng)m為何值時，f(x)0;(2)定理：若g(x)在a、b上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>1時，方程f(x)=0，在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個實根?！惧e誤解答】 令f(x)0,xln(x+m).5用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖，）問該容器高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？【特別提醒】1證函數(shù)f(x)在（a,b）上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要注意若f(x)在（a、b）內(nèi)個別點上滿足f(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點滿足f(x)>0(或f(x)<0)函數(shù)f(x)仍然在（a、b）內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減），即導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。2函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，f(x)=0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)（不一定處處可導(dǎo)）時可以是不必要條件。3函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對函數(shù)值的比較，連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a、b上必有一個最大值和一最小值，最多各有一個，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。4實際應(yīng)用問題利用導(dǎo)數(shù)求f(x)在（a、b）的最大值時,f(x)=0在（a,b）的解只有一個，由題意最值確實存在，就是f(x)=0的解是最值點?！咀兪接?xùn)練】1 已知mR,設(shè)P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個實根，不等式|m2-5m-3|x1-x2|對任意實數(shù)a-1，1恒成立。Q：函數(shù)f(x)=x3+(m+)x+6在（-,+ ）上有極值。求使P正確且Q正確的m的取值范圍。因此，函數(shù)f'(x)在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)A>0時，函數(shù)f(x)在(-，+)上有極值5 某企業(yè)有一條價值a萬元的流水生產(chǎn)線，要提高該流水生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，就要對充水生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)改造，假設(shè)增加值y萬元與技改把風(fēng)入x萬元之間的關(guān)系滿足y與（a-x）x2成正比例；當(dāng)x=時，y=;0t,其中t為常數(shù)且t0,2.(1)設(shè)y=f(x),求出f(x)的表達(dá)式，并求其定義域；答案： f(x)=8a2x212x3=(0x，t2)（2）求出增加值y的最大值，并求出此時的技改投入x值。解析：y=sinx+cosx-sinx=xcosx,x(-,-)時，y>0.3 已知函數(shù)f(x)=在（1，+）上為減函數(shù)，則a的取值范圍為 （ ）A0<a< B0<ae Cae Dae答案： C 解析：f(x)=)上恒成立，故時，lnx>1ln恒成立，x>4 函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值、最小值分別是 （ ）6 函數(shù)f(x)=x3-2x+3的圖像在x=1處的切線與圓x2+y2=8的位置關(guān)系是 （ ）A相切 B相交且過圓心 C相交但不過圓心 D相離7設(shè)集合A0,1)，B1,2，函數(shù)f(x)若x0A，且ff(x0)A，則x0的取值范圍是()A. B(log32,1)C. D.8 函數(shù)f(x)lg(x0，xR)，有下列命題：f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；f(x)的最小值是2；f(x)在(，0)上是減函數(shù)，在(0，)上是增函數(shù)；f(x)沒有最大值其中正確命題的序號是_(請?zhí)钌纤姓_命題的序號)方法二：當(dāng)n0時，f(x)1，x0,1)，則log2x1x0,1)；10已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；11已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，它們在同一坐標(biāo)系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，則()Ah(1)<h(0)<h(1) Bh(1)<h(1)<h(0)Ch(0)<h(1)<h(1) Dh(0)<h(1)<h(1)答案：D解析：取特殊值，令f(x)x2，g(x)x3，則h(0)<h(1)<h(1)12下列四個命題中，正確的是()A對于命題p：xR，使得x2x1<0，則綈p：xR，均有x2x10B函數(shù)f(x)exex切線斜率的最大值是2C已知函數(shù)f(a)sinxdx，則f1cos1D函數(shù)y3·2x1的圖象可以由函數(shù)y2x的圖象僅通過平移變換得到13設(shè)函數(shù)yf(x)是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g(x)f(x)2x在區(qū)間2,3上的值域為2,6，則函數(shù)g(x)在12,12上的值域為()A2,6 B20,34C22,32 D24,2814由直線x，x，y0與曲線ycosx所圍成的封閉圖形的面積為()A. B.C. D1答案：C解析：直線x，x，y0與曲線ycosx所圍成的封閉圖形的面積為cosxdx.15已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(1,0)，(2,0)，如圖所示，則下列說法中不正確的是_當(dāng)x時，函數(shù)f(x)取得極小值；f(x)有兩個極值點；當(dāng)x2時，函數(shù)f(x)取得極小值；當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)取得極大值16. 函數(shù)f(x)=xlnx,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.答案：(0,) 解析：令f(x)=lnx+1<0,得x(0, ).17.曲線y=2-x2與y=x3-2在交點處的切線夾角是_.答案： 解析：聯(lián)立又（）=-x,( )=.兩函數(shù)在x=2處導(dǎo)數(shù)分別為-2、3.k1=-2,k2=3.tan=|=可求得=.18. 已知函數(shù)f(x)=mx3+mx2+3x在R上的增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。19.求函數(shù)f(x)=在，3上的最大值和最小值。f(3)=f()=-ln2-ln=-ln2-(ln3-ln2)（2）當(dāng)a取最大值時，存在tR，使x1，m（m>1）時，f(t-x) 恒成立，試求m的最大值。21.已知函數(shù)f(x)=-x3-bx2-5cx-2d在-，0上單調(diào)遞減，在0，6上單調(diào)遞增，且方程f(x)=0有3個實根：m、n、1。（1）求f(4)的取值范圍。AB=9，AC=3，BC=由A到C所需要時間為t，23. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（0，+）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)f(x)是減函數(shù)，且f(x)>0，設(shè)x0（0，+），y=kx+m是y=f(x)在點x0,f(x0)得的切線方程，并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m;（1）用x0、f(x0)、f(x0)表示m;（3）若關(guān)于x的不等式a2+1ax+b在0，+上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求x的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。答案：0b01 a>0是不等式成立的必要條件肥下討論設(shè)此條件成立.X2+1ax+b,即x2-ax+1(1-b)。令（x）=ax+b-,于是ax+b對任意x0，+成立的充要條件是（x）0,