考點(diǎn)51 幾何證明選講一、選擇題1.（2012·北京高考理科·5）如圖. ACB=90º，CDAB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E.則( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD²D.CE·EB=CD²ADBEC【解題指南】利用切割線定理及直角三角形中的射影定理.【解析】選A.CD，以BD為直徑的圓與CD相切，。在中，CD為斜邊AB上的高，有，因此，CE·CB=AD·DB.二、填空題2.（2012·湖北高考理科·15）如圖，點(diǎn)D在O的弦AB上移動(dòng)，AB=4，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_(kāi).【解題指南】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系，取AB的中點(diǎn)，連OC，把CD表示出來(lái).【解析】取AB的中點(diǎn)為E，連接CD，OE，則，要求CD的最大值，則點(diǎn)D與E重合.可知結(jié)果為：2.【答案】2.3.（2012·陜西高考理科·15）如圖，在圓中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，垂足為F，若，則 .【解題指南】圍繞RtBDE和圓的有關(guān)性質(zhì)列出成比例線段.【解析】連接AD,因?yàn)椋?所以BE=5, 在RtABD中，,在RtBDE中,由射影定理得.【答案】5.4. （2012·廣東高考文科·15）如圖所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B,D是弦AC上的點(diǎn)，.若AD=m,AC=n,則AB= .【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。判斷出,從而證出是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.【解析】由題意知，所以,所以所以.【答案】.5.（2012·廣東高考理科·15）如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，滿足，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA=_.【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。連接OA，AC從而可得, 為等邊三角形，, 為等腰三角形，并且AC=CP=1,到此問(wèn)題基本得以解決.【解析】連接AO、AC，因?yàn)?所以,為等邊三角形，則為等腰三角形，且.【答案】.6.（2012·天津高考文科·13）與（2012·天津高考理科·13）相同如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi).【解題指南】利用相交線及切線的比例關(guān)系求解。【解析】設(shè)CD=x,則AD=4x,因?yàn)锳F·FB=CF·FE,所以CF=2,又,又.【答案】.三、解答題7. （2012·遼寧高考文科·T22）與（2012·遼寧高考理科·T22）相同如圖，O和相交于兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E.證明 ()； () .【解題指南】據(jù)弦切角等于圓周角，證明三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，證明等式.【解析】(1)由AC與圓相切于點(diǎn)A，得;同理，從而，所以（2）由AD與圓相切于點(diǎn)A，得;又,從而，所以又由（1）知，所以.8.（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·22）與（2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·22）相同如圖，D，E分別為ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF/AB，證明：()CD=BC；()BCDGBD【解題指南】（1）連接AF，作為中間量過(guò)渡，證，證明時(shí)充分利用圖形中出現(xiàn)的平行四邊形；（2）利用圖形中的平行四邊形及等腰三角形關(guān)系，設(shè)法尋找BCD與GBD中的兩組對(duì)應(yīng)角相等，從而可得BCDGBD.【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，又已知，故四邊形是平行四邊形，所以.而，連結(jié)，所以ADCF是平行四邊形，故CDAF.因?yàn)椋?，?（2）因?yàn)楣?由（1）可知，所以.而，故.AEBDCO9. （2012·江蘇高考·21）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD = DC，連接AC，AE，DE求證：【解題指南】要證，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角，相等；另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線，從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到，從而得證.【解析】證明：連接.是圓的直徑，（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。（垂直的定義）。又，是線段的中垂線（線段的中垂線定義）。（線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等）。（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）。又為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，（同弧所對(duì)圓周角相等）。（等量代換）.【一題多解】可連接，利用三角形中位線來(lái)求證。證明：連接OD，因?yàn)锽DDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D/AC,于是因?yàn)镺BOD，所以于是因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D，都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以和為同弧所對(duì)的圓周角，故，所以.