(廣東專用)2013高考數學總復習第七章第七節(jié) 課時跟蹤訓練 理
課時知能訓練一、選擇題1已知向量m,n分別是直線l和平面的方向向量和法向量,若cosm,n,則l與所成的角為()A30°B60°C120°D150°【解析】cosm,n,m,n120°.故直線l與所成的角120°90°30°.【答案】A2(2012·青島模擬)已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),且BP平面ABC,則實數x,y,z分別為()A.,4 B.,4C.,2,4 D4,15【解析】,·0,即352z0,得z4,又BP平面ABC,則解得【答案】B圖77133如圖7713所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90°,點E、F分別是棱AB、BB1的中點,則直線EF和BC1所成的角是()A45° B60°C90° D120°【解析】以BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標系設ABBCAA12,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1),則(0,1,1),(2,0,2)·2.cos,.EF和BC1所成的角為60°.【答案】B圖77144如圖7714,在長方體ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為()A. B.C. D.【解析】以D點為坐標原點,以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系(圖略),則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1)(2,0,1),(2,2,0),且為平面BB1D1D的一個法向量cos,.BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為.【答案】D5二面角的棱上有A、B兩點,直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內,且都垂直于AB.已知AB4,AC6,BD8,CD2,則該二面角的大小為()A150° B45° C60° D120°【解析】如圖所示,二面角的大小就是,22222(···)2222··(2)262428224.因此·24,cos,60°,故二面角為60°.【答案】C二、填空題圖77156如圖7715所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB2,E為PB的中點,cos,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則點E的坐標為_【解析】設PDa,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E(1,1,)(0,0,a),(1,1,)由cos,a ·,a2.E的坐標為(1,1,1)【答案】(1,1,1)7在正方體ABCDA1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_【解析】以A為原點建系,設棱長為1,則A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0)(0,1,1),(1,0,),設平面A1ED的法向量為n1(1,y,z),則n1(1,2,2),平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1),cosn1,n2.所成的銳二面角的余弦值為.【答案】圖77168如圖7716所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1MAN,則MN與平面BB1C1C的位置關系是_【解析】分別以C1B1、C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A1MANa,M(a,a,),N(a,a,a),(,0,a)又C1(0,0,0),D1(0,a,0),(0,a,0)·0,.是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.【答案】平行三、解答題圖77179如圖7717,平面ABCD平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AFADa,G是EF的中點(1)求證:平面AGC平面BGC;(2)求GB與平面AGC所成角的正弦值【解】證明如圖建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),F(xiàn)(a,0,0),G(a,a,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),D(0,0,2a)(1)(a,a,0),(0,2a,2a),設平面AGC的法向量為n(x,y,z),則n,n,·n0,·n0,故,n(y,y,y);設平面BGC的法向量m(x1,y1,z1),則·m0,·m0,又(a,a,0),(0,0,2a),m(x1,x1,0)n·mx1yx1y00,nm,即平面AGC平面BGC.(2)由(1)知(a,a,0),平面AGC的法向量為n(y,y,y),設與n的夾角為,則|cos |,即GB與平面AGC所成角的正弦值為.圖771810如圖7718,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形,ADDE2AB,F(xiàn)為CD的中點(1)求證:AF平面BCE;(2)求證:平面BCE平面CDE;(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值【解】(1)證明設ADDE2AB2a,建立如圖所示的坐標系,則A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a)F為CD的中點,F(xiàn)(a,a,0)(a,a,0),(a,a,a),(2a,0,a),(),又AF平面BCE,AF平面BCE.(2)證明(a,a,0),(a,a,0),(0,0,2a),又·0,·0,.CDEDD,平面CDE,又AF平面BCE,平面BCE平面CDE.(3)設平面BCE的法向量為n(x,y,z),由n·0,n·0.可得取n(1,2)又(a,a,a),設BF和平面BCE所成的角為,則sin .直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.圖771911(2012·廣州模擬)如圖7719所示,已知等腰直角三角形RBC,其中RBC90°,RBBC2.點A、D分別是RB、RC的中點,現(xiàn)將RAD沿著邊AD折起到PAD位置,使PAAB,連結PB、PC.(1)求證:BCPB;(2)求二面角ACDP的平面角的余弦值【解】(1)證明點A、D分別是RB、RC的中點,ADBC,ADBC,PADRADRBC90°,PAAD,PABC,BCAB,PAABA,BC平面PAB.PB平面PAB,BCPB.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.則D(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,1)(1,1,0),(1,0,1),設平面PCD的法向量為n(x,y,z),令x1,得y1,z1.n(1,1,1)顯然,是平面ACD的一個法向量,(0,0,1)cosn,.二面角ACDP的平面角的余弦值是.