課時知能訓練一、選擇題1已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為()A30°B60°C120°D150°【解析】cosm，n，m，n120°.故直線l與所成的角120°90°30°.【答案】A2(2012·青島模擬)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實數x，y，z分別為()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15【解析】，·0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，則解得【答案】B圖77133如圖7713所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是()A45° B60°C90° D120°【解析】以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系設ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)·2.cos，.EF和BC1所成的角為60°.【答案】B圖77144如圖7714，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為()A. B.C. D.【解析】以D點為坐標原點，以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)(2,0,1)，(2,2,0)，且為平面BB1D1D的一個法向量cos，.BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為.【答案】D5二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150° B45° C60° D120°【解析】如圖所示，二面角的大小就是，22222(···)2222··(2)262428224.因此·24，cos，60°，故二面角為60°.【答案】C二、填空題圖77156如圖7715所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則點E的坐標為_【解析】設PDa，則D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)(0,0，a)，(1,1，)由cos，a ·，a2.E的坐標為(1,1,1)【答案】(1,1,1)7在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_【解析】以A為原點建系，設棱長為1，則A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1，0)(0,1，1)，(1,0，)，設平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，則n1(1,2,2)，平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.所成的銳二面角的余弦值為.【答案】圖77168如圖7716所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關系是_【解析】分別以C1B1、C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A1MANa，M(a，a，)，N(a，a，a)，(，0，a)又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)·0，.是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.【答案】平行三、解答題圖77179如圖7717，平面ABCD平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中點(1)求證：平面AGC平面BGC；(2)求GB與平面AGC所成角的正弦值【解】證明如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，F(xiàn)(a,0,0)，G(a，a,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，D(0,0,2a)(1)(a，a,0)，(0,2a,2a)，設平面AGC的法向量為n(x，y，z)，則n，n，·n0，·n0，故，n(y，y，y)；設平面BGC的法向量m(x1，y1，z1)，則·m0，·m0，又(a，a,0)，(0,0,2a)，m(x1，x1,0)n·mx1yx1y00，nm，即平面AGC平面BGC.(2)由(1)知(a，a,0)，平面AGC的法向量為n(y，y，y)，設與n的夾角為，則|cos |，即GB與平面AGC所成角的正弦值為.圖771810如圖7718，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值【解】(1)證明設ADDE2AB2a，建立如圖所示的坐標系，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F為CD的中點，F(xiàn)(a，a,0)(a，a,0)，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，又AF平面BCE，AF平面BCE.(2)證明(a，a,0)，(a，a,0)，(0,0，2a)，又·0，·0，.CDEDD，平面CDE，又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)設平面BCE的法向量為n(x，y，z)，由n·0，n·0.可得取n(1，2)又(a，a，a)，設BF和平面BCE所成的角為，則sin .直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.圖771911(2012·廣州模擬)如圖7719所示，已知等腰直角三角形RBC，其中RBC90°，RBBC2.點A、D分別是RB、RC的中點，現(xiàn)將RAD沿著邊AD折起到PAD位置，使PAAB，連結PB、PC.(1)求證：BCPB；(2)求二面角ACDP的平面角的余弦值【解】(1)證明點A、D分別是RB、RC的中點，ADBC，ADBC，PADRADRBC90°，PAAD，PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB.PB平面PAB，BCPB.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.則D(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,1)(1,1,0)，(1,0,1)，設平面PCD的法向量為n(x，y，z)，令x1，得y1，z1.n(1,1，1)顯然，是平面ACD的一個法向量，(0,0，1)cosn，.二面角ACDP的平面角的余弦值是.