第70課 圓錐曲線綜合問(wèn)題 1（2012廣州調(diào)研）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線：與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓：的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值本資料由七彩教育網(wǎng) 提供！【解析】（1）由題設(shè)知， ，解得 橢圓的方程為（2）設(shè)圓：的圓心為，則 從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值 是橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)， ，即 點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，取得最大值的最大值為 2（2012東城二模）已知橢圓的左焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)作兩直線，交橢圓于，四點(diǎn)，若，求證：為定值【解析】（1）由已知得，解得 故所求橢圓方程為 證明：（2）由（1）知，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 ：由 ，得 由于，設(shè)，則有 ， 同理 綜上，為定值 3（2012汕頭一模）如圖，已知橢圓（）的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓：相切（1）求橢圓的方程；（2）若不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】（1）圓：圓，圓的圓心為，半徑為 ，直線的方程為，即， 直線與圓相切， 橢圓的方程為（2）由，知，直線與坐標(biāo)軸不垂直，由，可設(shè)直線的方程為， 則直線的方程為，由，整理得：，解得或，的坐標(biāo)為，即 將上式中的換成，得直線的方程為， 化簡(jiǎn)得直線的方程為， 因此直線過(guò)定點(diǎn) 4（2012廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)使得直線：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】（1），設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，不合題意，橢圓的方程為（2）在中， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值， 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為， ，即，點(diǎn)在橢圓上， 由解得，此時(shí)點(diǎn)5（2012韶關(guān)質(zhì)檢）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)（1）求該橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，問(wèn)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為， 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合， ， 橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為， 拋物線的準(zhǔn)線與橢圓的交點(diǎn)為， ， 由、解得或（舍去），從而橢圓的方程為 （2） 傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)， 直線的方程為， 由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)與關(guān)于直線對(duì)稱， 則得 ， 解得，即又滿足，故點(diǎn)在拋物線上 拋物線上存在一點(diǎn)，使得與關(guān)于直線對(duì)稱6（2012廣州二模）已知對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與拋物線：有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，直線：與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) (1)求直線的方程；(2)若橢圓經(jīng)過(guò)直線上的點(diǎn)，當(dāng)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值時(shí)，求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】(1)由，得 直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，解得 直線的方程為 (2)拋物線的焦點(diǎn)為，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則 解得 點(diǎn) 直線與直線：的交點(diǎn)為 由橢圓的定義及平面幾何知識(shí)得：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)， 其中當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，上面不等式取等號(hào)當(dāng)時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最小值，其值為4此時(shí)橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為