壓軸大題搶分練(二)(建議用時：60分鐘)1已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，拋物線C上存在一點E(2，t)到焦點F的距離等于3.(1)求拋物線C的方程；(2)過點K(1,0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(A，B兩點在x軸上方)，點A關(guān)于x軸的對稱點為D，且FAFB，求ABD的外接圓的方程解(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為x，所以點E(2，t)到焦點F的距離為23，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)法一：設(shè)直線l的方程為xmy1(m0)將xmy1代入y24x并整理得y24my40.由(4m)2160，解得m1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(x1，y1)，y1y24m，y1y24，所以·(x11)(x21)y1y2(1m2)y1y22m(y1y2)484m2，因為FAFB，所以·0，即84m20，結(jié)合m0，解得m.所以直線l的方程為xy10.設(shè)AB的中點坐標(biāo)為(x0，y0)，則y02m2，x0my013，所以線段AB的垂直平分線方程為y2(x3)因為線段AD的垂直平分線方程為y0，所以ABD的外接圓圓心坐標(biāo)為(5,0)因為圓心(5,0)到直線l的距離d2，且|AB|4，所以圓的半徑r2.所以ABD的外接圓的方程為(x5)2y224.法二：依題意可設(shè)直線l：yk(x1)(k0)將直線l與拋物線C的方程聯(lián)立并整理得k2x2(2k24)xk20.由(2k24)24k40，結(jié)合k0，得0k1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，x1x21.所以y1y2k2(x1x2x1x21)4.所以·x1x2(x1x2)1y1y28，因為FAFB，所以·0，所以80，又k0，解得k.以下同法一2已知動點M(x，y)滿足：2.(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)設(shè)A，B是軌跡E上的兩個動點，線段AB的中點N在直線l：x上，線段AB的中垂線與E交于P，Q兩點，是否存在點N，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(1,0)，若存在，求出N點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由解(1)由2知，動點M到定點(1,0)和(1,0)的距離之和等于2，根據(jù)橢圓的定義知，動點M的軌跡是以定點(1,0)和(1,0)為焦點的橢圓，且a，c1，故b1，因此橢圓方程為y21.(2)當(dāng)直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x，此時P(，0)，Q(，0)，·1，不合題意；當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)存在點N(m0)點，直線AB的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：(x1x2)2(y1y2)·0，則14mk0，故k，此時，直線PQ斜率為k14m，PQ的直線方程為ym4m，即y4mxm，聯(lián)立消去y，整理得：(32m21)x216m2x2m220，所以x1x2，x1·x2，由題意·0，于是·(x11)(x21)y1y2x1·x2(x1x2)1(4mx1m)(4mx2m)(116m2)x1·x2(4m21)(x1x2)1m21m20，m±，因為N在橢圓內(nèi)，m2，m±符合條件，綜上所述，存在兩點N符合條件，坐標(biāo)為N，±.3設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng)x(1，)時，1x；(3)設(shè)c1，證明當(dāng)x(0,1)時，1(c1)xcx.解(1)由題設(shè)，f(x)的定義域為(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.當(dāng)0x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減(2)由(1)知f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0.所以當(dāng)x1時，ln xx1.故當(dāng)x(1，)時，ln xx1，ln1，即1x.(3)由題設(shè)c1，設(shè)g(x)1(c1)xcx，則g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.當(dāng)xx0時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xx0時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故當(dāng)0x1時，g(x)0.所以當(dāng)x(0,1)時，1(c1)xcx.4已知函數(shù)f(x)x(ln xax)(aR)(1)若a1，求函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1x2，求證：f(x2).解(1)由已知條件，f(x)x(ln xx)，當(dāng)x1時，f(x)1，f(x)ln x12x，當(dāng)x1時，f(x)1，所以所求切線方程為xy0.(2)由已知條件可得f(x)ln x12ax有兩個相異實根x1，x2，令f(x)h(x)，則h(x)2a(x0)，若a0，則h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，f(x)不可能有兩根；若a0，令h(x)0得x，可知h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令f0解得0a，由有f0，由有f2ln a10，從而0a時函數(shù)f(x)有兩個極值點，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)f(x1)f(x2)因為f(1)12a0，所以x11x2，f(x)在區(qū)間1，x2上單調(diào)遞增，f(x2)f(1)a.