考點(diǎn)51 坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、選擇題1（2011·安徽高考理科·5）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到圓 的圓心的距離為（A）2 (B) (C) （D) 【思路點(diǎn)撥】將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)到圓心的距離.【精講精析】選D.由及得，則所以，即圓心坐標(biāo)為（1,0），而點(diǎn)（2，）在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（1，），所以兩點(diǎn)間的距離為2（2011·北京高考理科·T3）在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是（ ）（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心后，再轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo).【精講精析】選B.圓的方程可化為由得，即，圓心，化為極坐標(biāo)為.二、填空題3（2011·湖南高考理科·T9）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_【思路點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程.【精講精析】答案：2.由得到圓的方程，由得到直線方程x-y+1=0，因?yàn)閳A心在直線上，所以直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn). 4（2011·湖南高考文科T9）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_【思路點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)方程.【精講精析】答案：2.由得到圓的方程，由得到直線方程x-y+1=0，因?yàn)閳A心在直線上，所以直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn).5.（2011·江西高考理科·15）（1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為=，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 .【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)求出，再將=，代入即得.【精講精析】【答案】6（2011·陜西高考理科·T15C）直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 【思路點(diǎn)撥】利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程【精講精析】答案：3曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為7（2011·陜西高考文科·T15C）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線：（為參數(shù)）和曲線：上，則的最小值為 【思路點(diǎn)撥】利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程【精講精析】答案：1曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為8.（2011.天津高考理科.T11）.已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切，則=_.【思路點(diǎn)撥】化拋物線為普通方程，求出焦點(diǎn)，寫出直線方程，求圓心到直線的距離即可。【精講精析】答案：9.（2011·廣東高考理科·14）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .【思路點(diǎn)撥】將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后通過解方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo).【精講精析】答案：分別將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程得與，聯(lián)立得，解得（舍去），得.三、解答題10（2011·福建高考理科·21）（2）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為.（I）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，），判斷點(diǎn)P與直線l位置關(guān)系；（II）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值.【思路點(diǎn)撥】（I）將點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，然后代入直線的方程看是否滿足，從而判斷點(diǎn)P與直線的位置關(guān)系；（II）將點(diǎn)Q到直線的距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)式，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求最小值.【精講精析】（I）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo)得點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)滿足直線的方程，所以點(diǎn)在直線上.（II）因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)Q到直線的距離為由此得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為11.（2011·江蘇高考·21C）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系中，求過橢圓（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線（為參數(shù)）平行的直線的普通方程?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題考察的是參數(shù)方程與普通方程的互化、橢圓的基本性質(zhì)、直線方程、兩條直線的位置關(guān)系，中檔題。解決本題的關(guān)鍵是掌握參數(shù)方程與普通方程的互化原則與技巧?！揪v精析】橢圓的普通方程為右焦點(diǎn)為（4，0），直線（為參數(shù)）的普通方程為，斜率為：；所求直線方程為：12.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·23）在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2()求C2的方程()在以O(shè)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求.【思路點(diǎn)撥】第（）問，意味著為的中點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，可由點(diǎn)的參數(shù)方程（曲線的方程）求得點(diǎn)的參數(shù)方程；第（2）問，先求曲線和的極坐標(biāo)方程，然后通過極坐標(biāo)方程，求得射線與的交點(diǎn)的極徑，求得射線與的交點(diǎn)的極徑，最后只需求即可.【精講精析】（I）設(shè)P(x,y),則由條件知M().由于M點(diǎn)在C1上，所以 即 從而的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.射線與的交點(diǎn)的極徑為，射線與的交點(diǎn)的極徑為.所以.13.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·23）在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2()求C2的方程()在以O(shè)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求.【思路點(diǎn)撥】第（）問，意味著為的中點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，可由點(diǎn)的參數(shù)方程（曲線的方程）求得點(diǎn)的參數(shù)方程；第（2）問，先求曲線和的極坐標(biāo)方程，然后通過極坐標(biāo)方程，求得射線與的交點(diǎn)的極徑，求得射線與的交點(diǎn)的極徑，最后只需求即可.【精講精析】（I）設(shè)P(x,y),則由條件知M().由于M點(diǎn)在C1上，所以 即 從而的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.射線與的交點(diǎn)的極徑為，射線與的交點(diǎn)的極徑為.所以14.（2011·遼寧高考理科·23）（本小題滿分10分）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，曲線C2的參數(shù)方程為.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：=a與C1，C2各有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)a=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)a=時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合（I）分別說明C1，C2是什么曲線，并求出a與b的值；（II）設(shè)當(dāng)=時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A1，B1，當(dāng)a=-時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積【思路點(diǎn)撥】()先求坐標(biāo)，利用條件求與的值；(II)先寫出，的普通方程，再依次求出A1、A2、B2、B1的橫坐標(biāo)，最后求等腰梯形A1A2B2B1的面積【精講精析】()是圓，是橢圓.當(dāng)時(shí)，射線與，交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，且,所以.當(dāng)時(shí)，射線與，交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以. （），的普通方程分別為和. 當(dāng)時(shí)，射線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. 當(dāng)時(shí)，射線與，的兩個(gè)交點(diǎn)分別與，關(guān)于軸對(duì)稱，因此四邊形為等腰梯形.故四邊形的面積為.