數(shù)列不等式三個考察點：通項公式求和證不等式一、 通項公式學校的訓練較多這里不詳細介紹。要熟練掌握：1、 待定系數(shù)法、不動點法、特征根法（連續(xù)兩年中有考差）2、 熟悉變形。包括：兩邊同時除以如、平方、變倒數(shù)、因式分解、取對數(shù)、換元若不熟悉可以找講義，或者高妙上有介紹3、累加累乘法但是高考一般不會直白地給出關系，或者給出常見的通項公式。高考題大多這樣出題：1、 與函數(shù)、解析幾何結合這個范圍太泛了不好歸納，難度一般不會太大，見招拆招即可2、 給出不常規(guī)的通項公式，但有提示比如：=1，8-16+2+5=0（0），=,求通項公式現(xiàn)在不可能把通項公式求出再求，那么顯然需先求出，故變形為=，代入遞推關系即可得，再乘以即可。還有一種情況便是先讓考生得出、后猜想用數(shù)學歸納證明，有時不會提示考生要猜想，但別的常規(guī)方法得不出通項公式時要果斷大膽猜想總之，這種題一定要順著提示做通項公式中一定要重視的是累加累乘法看上去似乎很簡單：但是這卻是解決不等式證明最原始也是最重要的方法。原因很簡單：高考考的是靈活，除了通項公式的變形，不動點法等方法靈活度不大，所以大多所謂的很難想的題目大多歸根到底是遞推。比如：1、 奇偶項不同的數(shù)列。奇項間或者偶項間的遞推（后會介紹）2、 數(shù)歸。證明的核心便是3、 通過通過與間的關系得出或或，這是解決（為常數(shù)）。這種對的運用是解決大多數(shù)絕對值不等式的核心。對也能靈活運用具體后面會介紹。二、 求和要求等差、等比數(shù)列求和公式、掌握裂項、錯位相減一模的裂項需要引起重視，湖南2010文科題考查到這一點：三、 不等式證明大多數(shù)考生認為不等式無從下手，其實熟悉每種證明方法的使用情況、學會用逆向思維，絕大多數(shù)不等式可以迎刃而解基本方法有：1、 二項式定理2、 構造函數(shù)3、 數(shù)學歸納法（加強命題）4、 不等式5、 遞推6、 上下聯(lián)系7、 放縮現(xiàn)具體介紹：一、 二項式定理雖然以前習題有出現(xiàn)，但廣東高考應該不會出現(xiàn)公式的考查側重點是二項式定理：，運用如下：1、 證明:2、 證明:若出現(xiàn)求（k為常數(shù)），萬不得已才可考慮用洛必達法則，因為取對數(shù)后求導比較難（可考慮用貝努力不等式證明單調性）一般可以用放縮代勞二、 構造函數(shù)1、經(jīng)常運用在上下聯(lián)系的題目中。這種情況下題目會提示如何構造函數(shù)，難度不大2、構造函數(shù)在探究存在性問題中可以用于討論單調性從而得出結論3、含指數(shù)、對數(shù)的不等式可以通過貝努力不等式變換與函數(shù)構造結合使用。Eg：證明：時，4、含的不等式可能用到函數(shù)構造。Eg：證明：（）三、數(shù)學歸納法證明：能用數(shù)學歸納法的關鍵是：、易于推得且或 證明時要充分利用已知條件，比如：除已知條件外假設成立時的不等式是可用的條件；更多時候直接證明：或 在數(shù)學歸納法證明：時經(jīng)常碰到這個問題：若則，這就有不動點的感覺了。有一種加強命題就是用這種方法確定出的上下確界的。Eg：，證明：對于一切自然數(shù)n都有令，則（不要糾結的話是多少），故加強命題為： 一方面，另一方面 給出一題較為特殊的考查數(shù)學歸納法的題目：十年P160 22題，特殊值法與數(shù)歸的結合。后有另一種解法（充分利用已知條件）Ex：加強命題如果有明確的通項公式，那么加強命題可以解決大部分題目，很不幸的是這種提醒其實在高考中很少見。因為放縮的最后一步大多為，所以大多情況可用直接加強命題解決問題。遇到問題首選應是放縮后裂項或者轉化為等比數(shù)列如果通項公式中含有，則加強命題為，首先必須保證，通過分離變量得出a取值范圍后再去考慮數(shù)學歸納法第一步對a取值的要求，因為若要時加強命題就成立，對a的取值范圍要求比較高，不一定有合適的數(shù)值，因此可以從、開始加強命題。但是加強命題需要較強的計算能力，建議在平時熟悉這種方法加快破題速度下面給出三道習題（答案見后）：1、 證明：2、 證明：3、 證明：4、 試做四校聯(lián)考（華附省實深中廣雅）壓軸題（想辦法用加強命題去掉）最后強調下數(shù)學歸納法的格式：和假設前要加序號證明成功后要寫由可知不等式（ ）成立。四、不等式注意：數(shù)學歸納法解是證明不了重要不等式的，因此必須基本不等式解決的題不能用數(shù)歸代勞。11年廣東數(shù)列題就是例子不等式真正廣東大題會考查的就是基本不等式與各種變形（柯西不等式的考查在弱化，雖然一些高考題可以運用柯西不等式巧解但技巧性較高，較難想到）：（時取等）它取自均值不等式，均值不等式是：基本不等式的運用于收尾項的放縮，需要注意的是：證明：時，若用基本不等式首尾并項則需要討論項數(shù)奇偶性，若直接運用均值不等式就快多了。Ex: 不等式首尾相加遇到奇偶性問題時可以考慮用倒敘相加還有就是絕對值不等式了，后面會介紹五、遞推我們證明不等式時有個誤區(qū)，總覺得必須得到通項公式拉開架勢去證明心理才有底，其實有時即使能得到復雜的通項公式，對與證明不等式反而會加大難度。而我們看到與是不等關系或者通項公式求不出時就會特別緊張，其實這種題方向極好把握Eg：已知0，記：=，=求證：當時，（1）（2）（3）3第一問作商法、作差法、數(shù)學歸納法都可以得出，數(shù)歸最容易想到。對于證明（2）（3）問，顯然前面介紹的四種方法在這里都失靈了。這就回到證明時應首先考慮的問題：（1）放縮后裂項或者（2）轉化為等比數(shù)列第二問有兩種解法，都是運用了前一種思想。第一種方法較為靈活：欲證，只需證：，而由（1）知，故，所以得證第二種解法較容易想到：=，因而從遞推關系得到，就得出，通過（1）的結論得證第三問也有兩種方法，都運用了第二種思想：若化為等比數(shù)列（），則，即為題中的3的3.所以確定與就是要確定的。而通過與的遞推關系得出：想辦法從通項公式中湊出或者：，這時就聯(lián)想，想到用重要不等式降次：，接下來通過與3之間的推敲接順利得出，著就知道需要保留第一項后化為等比數(shù)列： 第二種方法非常巧妙：，則只需證3即可。雖然這兩小問都是同一題，但是以較高的難度體現(xiàn)出解決相鄰項數(shù)間有不等關系的題的精髓：逆向思維。想辦法用遞推關系得出與，把這一點解決了一切都好辦了。第二問的方法二、第三問的方法一看似復雜，其實是循規(guī)蹈矩得出的。大致思路為：確認用哪種遞推；確定通過已知條件逐漸迫近如果把這兩小題都吃透了，那么就可以看回以前所謂的許多壓軸題了：套卷17壓軸（只需小于1即可）套卷14壓軸（運用已知條件中的得出）試做：若，（），證：（已知：對任意成立的充要條件是）六、上下聯(lián)系 上面題目有提示時優(yōu)先考慮這個。高考題與奧賽題的區(qū)別就是高考題可以拾級而上。不等式證明如果不順著出題人的思維走往往容易繞彎子（這不是函數(shù)的特殊值法）。例子：套卷12壓軸題七、放縮這個課堂上講的最多，補充幾個少見的不等式即可1、2、3、4、5、6、，證明：令介紹兩種熱門題型：一、絕對值不等式可以和不等式證明、反證法、函數(shù)（拉格朗日中值定理）相結合解題誤區(qū)就是老是看絕對值不順眼想將改為，其實是自找苦吃。絕對值不等式本來挺多的：1、2、3、高考題其實都基本考的是第三個兩種變形：題目分析：湖南09年壓軸題是需要用第一種遞推思想而且它隱藏了一個條件：就是是有限的廣東11年一模題最后一問計算量思維量都比較大，膽子大的人才能完全做出來，當長見識吧。第二問還是可以很輕松做出來的。試做：是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對任意的，都有；存在常數(shù)，使得對任意的，都有.(I)設 ，證明：(II)設，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；(III) 設，任取，令，證明：給定正整數(shù)，對任意的正整數(shù)，成立不等式二、 奇偶項問題最經(jīng)典最難的便是天津2010（十年P160 17題）、2011的兩題這兩題可以吸取的經(jīng)驗有：1、凡是求通項公式中存在就分奇偶項（可能不用求通項公式，直接并項）2、遞推是解決奇偶項數(shù)列通項公式的關鍵方法3、奇偶項數(shù)列求和證明不等式要分類討論4、11年那題更為復雜，從第二小問的代換可以看出奇偶項數(shù)列僅憑一對相鄰項不能完全解決問題，通過3項間的代換才能徹底解決問題5、看似=增加了討論范圍，將變?yōu)?，其實有降次的方法?？稍囎觯菏關160 27題再給出一道經(jīng)典的題：，求證：時，先看答案：通過逆向思維得：當n為奇數(shù)時有：則當n為偶數(shù)時當n為奇數(shù)時啟示：1、 證明奇偶項求和不等式也可以化為等比數(shù)列（通過并項）2、 證明部分奇偶項求和不等式可先證明n為奇數(shù)（或偶數(shù)）時成立，再利用證明n為偶數(shù)（或奇數(shù)）時成立?？偨Y（不一定齊全，自己可繼續(xù)積累經(jīng)驗）：1、 第一原則是上下聯(lián)系2、 盡量化簡原不等式至方便分析、解決的形態(tài)3、 存在考慮取對數(shù)后求導或者二項式4、 存在可考慮求導或者去指數(shù)或者直接運算5、 存在可以求導或者通過值域定義域的關系去掉6、 證明或者可考慮：或者；證明：時可考慮并項7、 如果對于證明一個不等式不確定用哪個方法，多試幾次遇到這種情況總結出適合自己的方法試用順序例子：一、2012年一模題壓軸題：證明：思路：因為兩邊求和或者裂項都不太容易，所以果斷試證：即證：若構造函數(shù)因為的存在很難求導；若用不等式也因為的存在很難運用二項式定理證明得出，重要不等式就更難運用了；顯然這個不等式?jīng)]什么好上下聯(lián)系的；放縮其實自己沒底，于是試試數(shù)歸先直接在草稿紙上算第二步：要證：，現(xiàn)在顯然二項式定理就適用了所以思路就出來了：要證，只需證，再通過數(shù)歸和二項式定理的結合即可證出二、，（），已知，求證：（上題證得：）題目都有提示了，于是取對數(shù)，即證：顯然容易遞推后裂項求和，而就變得礙事了，為了遞推求和怎么辦呢？由于上題有，于是將遞推關系改為：，接下來通過遞推后求和問題便迎刃而解了。總之，證不等式一定要運用好逆向思維，學會預判。這種思維通過熟悉各種方法使用范圍后，做幾題陌生題，按這種思維應該能提供比較明確的思路。答案：數(shù)學歸納法（全國題）：先特殊值法：若要則然后巧妙利用已知條件證明單調性：（數(shù)歸第二步）：接下來就是要證明：，而，分離變量得再次運用數(shù)歸證明即為所求即可加強放縮：1、右邊增加后數(shù)歸2、右邊增加，從n2起開始數(shù)歸3、右邊增加，其中常數(shù)可在,2間，從n2起開始數(shù)歸遞推：顯然為，接下來的就是遞推，變形通項公式：由已知條件得絕對值不等式：第一問：運用拉格朗日中值定理，注意對應的性質證明，明確寫出二三問直接上答案：（2）設存在兩個使得,則由，得，所以，矛盾，故結論成立。（3），所以+最后祝大家高考順利，考到理想的大學