不等式中恒成立問(wèn)題的解法研究在不等式的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到當(dāng)一個(gè)結(jié)論對(duì)于某一個(gè)字母的某一個(gè)取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問(wèn)題。恒成立問(wèn)題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問(wèn)題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問(wèn)題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一次函數(shù)有：例1：若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋?，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數(shù)的判別式 對(duì)于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時(shí)，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對(duì)任意x都成立；（2）對(duì)任意x都成立。簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問(wèn)題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對(duì)比上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來(lái)解。利用函數(shù)圖象解題時(shí)，思路是從邊界處（從相等處）開(kāi)始形成的。例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。 其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問(wèn)題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問(wèn)題。其實(shí)，對(duì)于恒成立問(wèn)題，有時(shí)關(guān)鍵是能否看得出來(lái)題就是關(guān)于恒成立問(wèn)題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設(shè)上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是_。4、已知不等式： 對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略“含參不等式恒成立問(wèn)題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問(wèn)題的過(guò)程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問(wèn)題的一般求解策略。一、判別式法若所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立; 2）對(duì)恒成立 例1已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，即有解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問(wèn)題。例2設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，恒成立Oxyx-1當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。二、最值法 將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對(duì)任意恒成立令，得而即實(shí)數(shù)的取值范圍為。例4函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立實(shí)際上，上題就可利用此法解決。略解：在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 例5已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解： 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問(wèn)題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化。例6對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問(wèn)題。解：令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。 當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7設(shè) , ,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 解得（舍去)由上可見(jiàn)，含參不等式恒成立問(wèn)題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。含參不等式恒成立問(wèn)題中，求參數(shù)取值范圍一般方法恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)問(wèn)題，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。大多是在不等式中，已知一個(gè)變量的取值范圍，求另一個(gè)變量的取值范圍的形式出現(xiàn)。下面介紹幾種常用的處理方法。一、 分離參數(shù)在給出的不等式中，如果能通過(guò)恒等變形分離出參數(shù)，即：若恒成立，只須求出，則；若恒成立，只須求出，則，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例1、已知函數(shù)，若對(duì)任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，則當(dāng)時(shí)， 所以 在給出的不等式中，如果通過(guò)恒等變形不能直接解出參數(shù)，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即：若恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍；若恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍，問(wèn)題還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例2、已知時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 二、 分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過(guò)恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來(lái)解決。例3、若時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時(shí)， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時(shí)， 又 （3） 當(dāng) 即：時(shí)， 又綜上所得：三、 確定主元在給出的含有兩個(gè)變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元（未知數(shù)），而把另一個(gè)變量看成參數(shù)，在有些問(wèn)題中這樣的解題過(guò)程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。例4、若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設(shè)，對(duì)滿足的，恒成立， 解得：四、 利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來(lái)求解，即：，則且，不等式的解即為實(shí)數(shù)的取值范圍。例5、當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1） 當(dāng)時(shí)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 （2） 當(dāng)時(shí)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或五、 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個(gè)函數(shù)，且正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后通過(guò)觀察兩圖象（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式。例6、若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；當(dāng)時(shí)，由圖可知，的圖象必須過(guò)點(diǎn)或在這個(gè)點(diǎn)的上方，則， 綜上得：上面介紹了含參不等式中恒成立問(wèn)題幾種解法，在解題過(guò)程中，要靈活運(yùn)用題設(shè)條件綜合分析，選擇適當(dāng)方法準(zhǔn)確而快速地解題。含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的解題策略（專題探究）一、教學(xué)目標(biāo)：理解含參不等式恒成立問(wèn)題特征；能充分利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想解決含參不等式恒成立問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生分析解決綜合問(wèn)題的能力。二、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)、探究三、教學(xué)過(guò)程：通過(guò)含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的求解，通過(guò)變式、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生探究解題策略，培養(yǎng)學(xué)生利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題的意識(shí)。例題1：已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式：已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例題2：已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式1：已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式2：已知不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例題3：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)1：已知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。練習(xí)2：對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)，求使不等式恒成立的的取值范圍。思考：1、若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2、設(shè)，若滿足不等式的一切實(shí)數(shù)，能使不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍。常見(jiàn)不等式恒成立問(wèn)題的幾種求解策略不等式恒成立問(wèn)題是近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，本文結(jié)合解題教學(xué)實(shí)踐舉例說(shuō)明幾種常見(jiàn)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，以拋磚引玉。 1 變量轉(zhuǎn)換策略例1 已知對(duì)于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時(shí)f(x)是一次函數(shù)，a0時(shí)是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a(bǔ)看成常參數(shù)，我們可以通過(guò)變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ)看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時(shí)，g(a)>0恒成立，則，得.點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過(guò)變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。2 零點(diǎn)分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無(wú)零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問(wèn)題,可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,要求對(duì)應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.3 函數(shù)最值策略 例3 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,只要對(duì)于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問(wèn)題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點(diǎn)分布策略求解.4 變量分離策略 例4 已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 本題等價(jià)于一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題,即對(duì)于恒成立,式子中有兩個(gè)變量,可以通過(guò)變量分離化歸為求函數(shù)的最值問(wèn)題. 對(duì)于恒成立對(duì)于恒成立,令,設(shè),則,即x=1時(shí), k的取值范圍是k>2.變式 若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對(duì)于恒成立對(duì)于恒成立,令,設(shè),則，, k的取值范圍是k>. 點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)變量分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，本題構(gòu)造的函數(shù)求最值對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有些難度，但通過(guò)換元后巧妙地轉(zhuǎn)化為“對(duì)勾函數(shù)”，從而求得最值. 變式題中構(gòu)造的函數(shù)通過(guò)換元后轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)型”，從而求得最值.本題也可以用零點(diǎn)分布策略和函數(shù)最值策略求解.5 數(shù)形結(jié)合策略例5 設(shè)函數(shù),若恒有成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析 由題意得,令,.可化為，它表示以(2,0)為圓心，2 為半徑的上半圓；表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,0)，以a為斜率的直線，要使恒成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如圖所示)當(dāng)直線與半圓相切時(shí)就有，即，由圖可知，要使恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是xyO點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)對(duì)已知不等式變形處理后，挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)求參數(shù)的取值范圍，不僅能使問(wèn)題變得直觀，同時(shí)也起到了化繁為簡(jiǎn)的效果.6 消元轉(zhuǎn)化策略 例6 已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù),且f(1)=1,若，若對(duì)于所有的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解析 本題不等式中有三個(gè)變量，因此可以通過(guò)消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個(gè)變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),故 f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則對(duì)于所有的恒成立對(duì)于所有的恒成立，即對(duì)于所有的恒成立，令，只要， 點(diǎn)評(píng) 對(duì)于含有兩個(gè)以上變量的不等式恒成立問(wèn)題,可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問(wèn)題,使問(wèn)題得到解決.以上介紹的幾種常見(jiàn)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，只是分別從某個(gè)側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問(wèn)題得以順利解決。淺談不等式恒成立問(wèn)題中心摘要近幾年在數(shù)學(xué)高考試題中經(jīng)常遇到不等式恒成立問(wèn)題。在05年高考遼寧、湖北及天津等省均出現(xiàn)此類題型。本文根據(jù)高考題及高考模擬題總結(jié)了四種常見(jiàn)的解決不等式恒成立問(wèn)題的方法。法一：轉(zhuǎn)換主元法。適用于一次型函數(shù)。法二：化歸二次函數(shù)法。適用于二次型函數(shù)。法三：分離參數(shù)法。適用于一般初等函數(shù)。法四：數(shù)型結(jié)合法。中文關(guān)鍵詞“不等式”, “恒成立”在近些年的數(shù)學(xué)高考題及高考模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)恒成立問(wèn)題，這樣的題目一般綜合性強(qiáng)，可考查函數(shù)、數(shù)列、不等式及導(dǎo)數(shù)等諸多方面的知識(shí)。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、綜合駕馭知識(shí)的能力。下面結(jié)合例題淺談恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)解法。1 轉(zhuǎn)換主元法確定題目中的主元，化歸成初等函數(shù)求解。此方法通?；癁橐淮魏瘮?shù)。 例1：若不等式 2x1>m(x2-1)對(duì)滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：原不等式化為 (x21)m(2x1)<0 記f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根據(jù)題意有： 即：解之：得x的取值范圍為2 化歸二次函數(shù)法根據(jù)題目要求，構(gòu)造二次函數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)實(shí)根分布等相關(guān)知識(shí)，求出參數(shù)取值范圍。例2：在R上定義運(yùn)算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則 ( )(A)1<a<1 (B)0<a<2 (C) (D) 解：由題意可知 (x-a)1-(x+a) <1對(duì)任意x成立即x2-x-a2+a+1>0對(duì)xR恒成立記f(x)=x2-x-a2+a+1則應(yīng)滿足(-1)2-4(-a2+a+1)<0化簡(jiǎn)得 4a2-4a-3<0解得 ,故選擇C。例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0對(duì)滿足0x1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解：設(shè)f(x)=x2-2mx+2m+1本題等價(jià)于函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范圍。(1)當(dāng)m<0時(shí)，f(x)在0,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解 得 <m<0(2)當(dāng)0m1時(shí)，f(x)在x=m時(shí)取得最小值解 得 0m1(3)當(dāng)m>1時(shí)，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值解 得 m>1綜合(1)(2)(3) 得 注：當(dāng)化歸為二次函數(shù)后，自變量是實(shí)數(shù)集的子集時(shí)，應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決有時(shí)較繁瑣。此型題目有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為后面的法3求解。3 分離參數(shù)法在題目中分離出參數(shù)，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立問(wèn)題，再利用a>fmax(x) （a<fmin(x)）求出參數(shù)范圍。例4：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函數(shù)f(x)·在區(qū)間(1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍。解：依題意，f(x)x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t則f(x)=-3x2+2x+tf(x)在(1，1)上是增函數(shù)，則在(1，1)上有f(x)0即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立 設(shè)g(x)=3x2-2xtg(-1) 即 t5例5：設(shè)a0為常數(shù)，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n+(-1)n-1·2n+(-1)n·2n·a0(nN* )若對(duì)任意n1，nN*，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范圍。解：依題意：3n+(-1)n-1·2n+(-1)n·2n·a0>3n-1+(-1)n-2·2n-1+(-1)n-1·2n-1·a0化簡(jiǎn)，得 (-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1 (1)當(dāng)n=2k-1 kN*時(shí) a0<·()n-1+ 設(shè)g1(n)= ·()n-1+ g1(n)在nN* 時(shí)且n=2k-1,kN*時(shí)是增函數(shù) g1(n)的最小值為g1(1) a0< (2) 當(dāng)n=2k kN*時(shí) a0>-·()n-1+ 設(shè)g2(n)=- ·()n-1+ g2(n)在nN*且n=2k,kN*時(shí)是減函數(shù) g2(n)的最大值為g2(2)0 a0>0綜上可知0<a0<例6：函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0, )內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)(x)是減函數(shù)，且(x)>0。設(shè)x0(0, )，y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）證明：當(dāng)x(0, )時(shí)，g(x)f(x)（）若關(guān)于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)。求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。 本題（）應(yīng)用了此方法。（）解：0b1，a>0是不等式成立的必要條件。以下討論設(shè)此條件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0對(duì)任意x0, )成立的充要條件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b對(duì)任意x0, )成立的充要條件是(x)0由(x)=a-=0得x= 當(dāng)0<x<時(shí)，(x) <0；當(dāng)x>時(shí)，(x) >0,所以，當(dāng)x時(shí)，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要條件是()0。即a 綜上，不等式x2+1ax+b對(duì)任意x0, 成立的充要條件是 a顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)a與b所滿足的關(guān)系。4.數(shù)型結(jié)合法例7：如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是解析：畫(huà)出y1=,y2=kx的圖像，由圖可看出 0k1K=1例8：已知a>0且a1,當(dāng)x(-1，1)時(shí)，不等式x2-ax<恒成立，則a的取值范圍解析：不等式x2-ax<可化為 ax> x2-畫(huà)出y1= ax,y2= x2-的圖像。由圖可看出 a<1或1<a21在解綜合性較強(qiáng)的恒成立問(wèn)題時(shí)，有時(shí)一題多法。所以以題為本，關(guān)鍵抓住恒成立的實(shí)質(zhì)，具體問(wèn)題具體分析，不拘泥于一種方法。專題研究之二（不等式中恒成立問(wèn)題的解法研究）在不等式的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到當(dāng)一個(gè)結(jié)論對(duì)于某一個(gè)字母的某一個(gè)取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問(wèn)題。恒成立問(wèn)題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問(wèn)題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問(wèn)題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一次函數(shù)有：例1：若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋?，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數(shù)的判別式 對(duì)于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時(shí)，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對(duì)任意x都成立；（2）對(duì)任意x都成立。簡(jiǎn)單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問(wèn)題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點(diǎn)，那么答案又如何呢？請(qǐng)看下題：（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對(duì)比上面兩個(gè)例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來(lái)解。利用函數(shù)圖象解題時(shí)，思路是從邊界處（從相等處）開(kāi)始形成的。例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點(diǎn)P(m,n)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(m,n)在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。 其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問(wèn)題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問(wèn)題。其實(shí)，對(duì)于恒成立問(wèn)題，有時(shí)關(guān)鍵是能否看得出來(lái)題就是關(guān)于恒成立問(wèn)題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設(shè)上有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是_。4、已知不等式： 對(duì)一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。函數(shù)中恒成立問(wèn)題解題策略函數(shù)的內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).函數(shù)類問(wèn)題的解決最終歸結(jié)為對(duì)函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)思想的應(yīng)用.恒成立問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)中較為常見(jiàn).這類問(wèn)題的解決涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中有以下幾種策略：賦值型；一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；數(shù)形結(jié)合型.現(xiàn)在我們一起來(lái)探討其中一些典型的問(wèn)題.策略一、賦值型利用特殊值求解等式中的恒成立問(wèn)題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D例2如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.策略二、一次函數(shù)型利用單調(diào)性求解給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（線段）（如下圖） 可得上述結(jié)論等價(jià)于），或 ） 可合并定成nmoxynmoxy同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)<0，則有例3對(duì)于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時(shí)恒成立,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.策略三、二次函數(shù)型利用判別式,韋達(dá)定理及根的分布求解對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在實(shí)數(shù)集R上恒成立問(wèn)題可利用判別式直接求解，即 f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解.例4 若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開(kāi)方數(shù)在R上恒成立問(wèn)題，并且注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論.解：依題意，當(dāng)恒成立，所以，當(dāng)此時(shí)當(dāng)有綜上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，例5.已知函數(shù)，在R上恒成立，求的取值范圍.分析：的函數(shù)圖像都在X軸及其上方，如右圖所示：略解：變式1：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.分析：要使時(shí)，恒成立，只需的最小值即可.解：，令在上的最小值為.當(dāng)，即時(shí)， 又 不存在.當(dāng)，即時(shí)， 又 當(dāng)，即時(shí)， 又 綜上所述，.變式2：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時(shí)恒大于等于0的問(wèn)題.22略解：，即在上成立. 綜上所述，.解法二：（運(yùn)用根的分布） 當(dāng)，即時(shí)， 不存在.當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)， 綜上所述.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時(shí)，軸變區(qū)間定的情形，對(duì)軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反的，軸動(dòng)區(qū)間定，方法一樣.對(duì)于二次函數(shù)在R上恒成立問(wèn)題往往采用判別式法（如例4、例5），而對(duì)于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問(wèn)題策略四、變量分離型分離變量，巧妙求解運(yùn)用不等式的相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x)min;若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例6.已知三個(gè)不等式，要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2<x<3,要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足,即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以 例7. 函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，若 對(duì)所有的都成立，求的取值范圍 .解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又對(duì)所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，即關(guān)于a的一次函數(shù)在-1，1上大于或等于0恒成立，即： 利用變量分離解決恒成立問(wèn)題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.策略五、數(shù)形結(jié)合直觀求解例8. 的取值范圍.分析：設(shè)y=|x+1|-|x-2|,即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值，畫(huà)出此函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍.解：令在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使只需.故實(shí)數(shù)本題中若將改為，同樣由圖象可得a>3;,構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象，得a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問(wèn)題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.恒成立的題型和解法還有很多，只要我們充分利用所給定的函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)，具體問(wèn)題具體分析，選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，?duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，就能使問(wèn)題獲得順利解決. 只有這樣才能真正提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.淺談不等式恒成立問(wèn)題1 轉(zhuǎn)換主元法確定題目中的主元，化歸成初等函數(shù)求解。此方法通?；癁橐淮魏瘮?shù)。 例1：若不等式 2x1>m(x2-1)對(duì)滿足2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 解：原不等式化為 (x21)m(2x1)<0 記f(m)= (x21)m(2x1) (2m2) 根據(jù)題意有： 即：解之：得x的取值范圍為2 化歸二次函數(shù)法根據(jù)題目要求，構(gòu)造二次函數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)實(shí)根分布等相關(guān)知識(shí)，求出參數(shù)取值范圍。例2：在R上定義運(yùn)算：xy(1y) 若不等式(xa)(xa)<1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則 ( ) (A)1<a<1 (B)0<a<2 (C) (D) 解：由題意可知 (x-a)1-(x+a) <1對(duì)任意x成立即x2-x-a2+a+1>0對(duì)xR恒成立記f(x)=x2-x-a2+a+1則應(yīng)滿足(-1)2-4(-a2+a+1)<0化簡(jiǎn)得 4a2-4a-3<0解得 ,故選擇C。例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0對(duì)滿足0x1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解：設(shè)f(x)=x2-2mx+2m+1本題等價(jià)于函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范圍。(1)當(dāng)m<0時(shí)，f(x)在0,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解 得 <m<0(2)當(dāng)0m1時(shí)，f(x)在x=m時(shí)取得最小值解 得 0m1(3)當(dāng)m>1時(shí)，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值解 得 m>1綜合(1)(2)(3) 得 注：當(dāng)化歸為二次函數(shù)后，自變量是實(shí)數(shù)集的子集時(shí)，應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決有時(shí)較繁瑣。此型題目有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為后面的法3求解。3 分離參數(shù)法在題目中分離出參數(shù)，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立問(wèn)題，再利用a>fmax(x) （a<fmin(x)）求出參數(shù)范圍。例4：已知向量=(x2,x+1), =(1-x,t) 若函數(shù)f(x)·在區(qū)間(1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍。解：依題意，f(x)x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t則f(x)=-3x2+2x+tf(x)在(1，1)上是增函數(shù)，則在(1，1)上有f(x)0即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立 設(shè)g(x)=3x2-2xtg(-1) 即 t5例5：設(shè)a0為常數(shù)，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n+(-1)n-1·2n+(-1)n·2n·a0(nN* )若對(duì)任意n1，nN*，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范圍。解：依題意：3n+(-1)n-1·2n+(-1)n·2n·a0>3n-1+(-1)n-2·2n-1+(-1)n-1·2n-1·a0化簡(jiǎn)，得 (-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1 (1)當(dāng)n=2k-1 kN*時(shí) a0<·()n-1+ 設(shè)g1(n)= ·()n-1+ g1(n)在nN* 時(shí)且n=2k-1,kN*時(shí)是增函數(shù) g1(n)的最小值為g1(1) a0< (2) 當(dāng)n=2k kN*時(shí) a0>-·()n-1+ 設(shè)g2(n)=- ·()n-1+ g2(n)在nN*且n=2k,kN*時(shí)是減函數(shù) g2(n)的最大值為g2(2)0 a0>0綜上可知0<a0<例6：函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0, )內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)(x)是減函數(shù)，且(x)>0。設(shè)x0(0, )，y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程并設(shè)函數(shù)g(x)=kx+m（）用x0，f(x0)，(x0)表示m；（）證明：當(dāng)x(0, )時(shí)，g(x)f(x)（）若關(guān)于x的不等式x2+1ax+b在0, ）上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)。求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。 本題（）應(yīng)用了此方法。（）解：0b1，a>0是不等式成立的必要條件。以下討論設(shè)此條件成立。 x2+1ax+b 即x2-ax+(1-b)0對(duì)任意x0, )成立的充要條件是a令(x)=ax+b-，于是ax+b對(duì)任意x0, )成立的充要條件是(x)0由(x)=a-=0得x= 當(dāng)0<x<時(shí)，(x) <0；當(dāng)x>時(shí)，(x) >0,所以，當(dāng)x時(shí)，(x)取最小值。因此，(x)0成立的充要條件是()0。即a 綜上，不等式x2+1ax+b對(duì)任意x0, 成立的充要條件是 a顯然，存在a、b使式成立的充要條件是：不等式有解。解不等式得 因此，式即為b的取值范圍，式即為實(shí)數(shù)a與b所滿足的關(guān)系。4.數(shù)型結(jié)合法例7：如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是解析：畫(huà)出y1=,y2=kx的圖像，由圖可看出 0k1K=1例8：已知a>0且a1,當(dāng)x(-1，1)時(shí)，不等式x2-ax<恒成立，則a的取值范圍解析：不等式x2-ax<可化為 ax> x2-畫(huà)出y1= ax,y2= x2-的圖像。由圖可看出 a<1或1<a21在解綜合性較強(qiáng)的恒成立問(wèn)題時(shí)，有時(shí)一題多法。所以以題為本，關(guān)鍵抓住恒成立的實(shí)質(zhì)，具體問(wèn)題具體分析，不拘泥于一種方法。不等式恒成立問(wèn)題容易證明如下結(jié)論：若函數(shù)在D上存在離大值f(x)(或最小值f(x)，則對(duì)一切xD不等式f(x)A（或f(x)B）恒成立當(dāng)且僅當(dāng)f(x)A（或f(x)B）。應(yīng)用這一結(jié)論處理不等式恒成立問(wèn)題很方便，現(xiàn)舉例說(shuō)明。 例1求使不等式sinxacosx a1cosx對(duì)一切xR恒成立的負(fù)數(shù)a 的取值范圍。 解：原不等即cosx（1a）cosxa0 (*)令cosx=t，由xR知t-1，1，于是(*)對(duì)一切xR恒成立當(dāng)且僅當(dāng)f(t)=t（1a）a0 (*)對(duì)一切t-1，1恒成立，其充要條件f(t)在-1，1上的最大值f(t)0,而f(t)= f(1)或 f(-1)，因此(*)對(duì)一切t-1，1恒成立當(dāng)且a-2 故所求的a的范圍為(-,-2.例2 定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析: 利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性去掉映射符號(hào)f，將“抽象函數(shù)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的含參的二次函數(shù)在區(qū)間(0，1)上恒為正的問(wèn)題.而對(duì)于0在給定區(qū)間a，b上恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成為在a，b上的最小值問(wèn)題，若中含有參數(shù)，則要求對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。【解析】由得到：t=mtg(t)o·1圖1因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故有恒成立，又因?yàn)闉镽減函數(shù)，從而有對(duì)恒成立t=mtg(t)o·1圖2設(shè)，則對(duì)于恒成立，在設(shè)函數(shù),對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，即，又t=mtg(t)o·1圖3(如圖1)當(dāng)，即時(shí),即,又,(如圖2)當(dāng)時(shí)，恒成立.(如圖3)故由可知：.例3. 若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足-2m2的所有m都成立，求x的取值范圍。 分析：從表面上看，這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，實(shí)質(zhì)上可看作是關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為2，2，求參數(shù)x的取值范圍，這是一種“轉(zhuǎn)換主元”的思想方法。 解：原不等式化為(x2-1)m-(2x-1)<0 4函數(shù)。 解： 例5(1990年上海高考題)設(shè)A=x|x-|,B=x|x-3(a+1)x+2(3a+1)0,求使AB的a 的取值范圍。 解：易得A=2a,a1.記f(x)=x-3(a+1)x+2(3a+1),則AB當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)xA，f(x)0恒成立 ，其充要條件是f(x)在A上的最大值不大于零。而f(x)在A上的最大值為f(2a)或f(a1)。因而a=-1或1a3.故工的范圍為1,3-1.不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題分析及應(yīng)用一、不等式恒成立問(wèn)題的處理方法1、轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值：（1）若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上，的下界大于A（2）若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上,的上界小于A例1、設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。例2、已知對(duì)任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;例3、R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例4、已知函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù).（1）試確定、的值； （2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。2、主參換位法例5、若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍例6、若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍例7、已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)若不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍3、分離參數(shù)法（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2） 求在上的最大（或最?。┲?；（3） 解不等式(或) ，得的取值范圍。適用題型：（1） 參數(shù)與變量能分離；（2） 函數(shù)的最值易求出。例8、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .例9、已知函數(shù),其中（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.4、數(shù)形結(jié)合例10 、若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_例11、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式<恒成立，求a的取值范圍。二、不等式能成立問(wèn)題的處理方法若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的.例12、已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍_ 例13、若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 例14、已知函數(shù)（）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍三、不等式恰好成立問(wèn)題的處理方法例15、不等式的解集為則_例16、已知當(dāng)?shù)闹涤蚴?試求實(shí)數(shù)的值.例17、已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k為實(shí)數(shù)。（1）對(duì)任意x-3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范圍；（2）存在x-3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范圍；（3）對(duì)任意x1、x2-3，3，都有f（x1)g(x2)，求k的取值范圍。不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)1、 若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍2、已知不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍3、設(shè)函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值。4、對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式恒成立的x的取值范圍。5、已知不等式恒成立。求實(shí)數(shù)的取值范圍。6、對(duì)任意的，函數(shù)的值總是正數(shù)，求x的取值范圍7、 若不等式在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 。8、不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。9、不等式有解，求的取值范圍。10、對(duì)于不等式，存在實(shí)數(shù)，使此不等式成立的實(shí)數(shù)的集合是M；對(duì)于任意，使此不等式恒成立的實(shí)數(shù)的集合為N，求集合11、對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍。若不等式有解，求實(shí)數(shù)a的范圍。若方程有解，求實(shí)數(shù)a的范圍。12、 若x,y滿足方程，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的范圍。 若x,y滿足方程，求實(shí)數(shù)c的范圍。13、設(shè)函數(shù)，其中若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍14、設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍。15、已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題 參考答案例1、解：a的取值范圍為-3，1tg(t)o·1圖1t=m例2、解：等價(jià)于對(duì)任意恒成立,又等價(jià)于時(shí),的最小值成立.由于在上為增函數(shù),則