數(shù)學(xué)思想方法知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考情分析預(yù)測數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識最高層次的提煉與概括，數(shù)學(xué)思想方法較之數(shù)學(xué)知識具有更高的層次，具有理性的地位，它是一種數(shù)學(xué)意識，屬于思維和能力的范疇，它是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁高考中把函數(shù)與方程的思想作為數(shù)學(xué)思想方法的重點進行考查，通過選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進行深入考查；對數(shù)形結(jié)合思想的考查側(cè)重兩個方面：一方面是充分利用選擇題和填空題的題型特點(只需寫出結(jié)果而無需寫出解答過程)，突出將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題的意識，即由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化；另一方面在解答題中以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主來考查數(shù)形結(jié)合思想；對于分類與整合思想是以解答題為主進行考查的，通常是通過對含有字母參數(shù)的數(shù)學(xué)問題進行分類與整合的研究，考查考生思維的嚴謹性與周密性；轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中的重點是一些常用的變換方法，如一般與特殊的轉(zhuǎn)化，繁與簡的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，命題的等價轉(zhuǎn)化等縱觀近幾年的高考試題，都加大了對數(shù)學(xué)思想方法的考查，把數(shù)學(xué)思想方法的考查寓于各部分知識的考查之中，以知識為載體，著重考查能力與方法題目很常見預(yù)測2011年數(shù)學(xué)高考中，仍然會在選擇題、填空題、解答題中以初等數(shù)學(xué)的各個知識點為背景，考查數(shù)學(xué)思想方法，對數(shù)學(xué)思想方法的考查不會削弱，會更加鮮明，更加重視第19講函數(shù)與方程思想主干知識整合1“函數(shù)與方程”思想的地位函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應(yīng)用技巧多函數(shù)思想即將所研究的問題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；方程思想即將問題中的數(shù)量關(guān)系運用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決2“函數(shù)與方程”思想的作用運用方程思想解決問題主要從四個方面著手：一是把問題中對立的已知與未知建立相等關(guān)系統(tǒng)一在方程中，通過解方程解決；二是從分析問題的結(jié)構(gòu)入手，找出主要矛盾，抓住某一個關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)于這個主變元(常稱為主元)的方程，利用方程的特征解決；三是根據(jù)幾個變量間的關(guān)系，符合某些方程的性質(zhì)和特征(如利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等)，通過研究方程所具有的性質(zhì)和特征解決；四是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型(如函數(shù)、曲線等)，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決3“函數(shù)與方程”思想在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)(1)函數(shù)與方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0.函數(shù)問題(例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要(4)函數(shù)f(x)(axb)n(nN*)與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決要點熱點探究探究點一函數(shù)方程思想在求解最值或參數(shù)的取值范圍的應(yīng)用例1 已知函數(shù)f(x)x32x2x，g(x)x2xa，若函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍【解答】 函數(shù)f(x)與yg(x)的圖象有三個不同的交點等價于方程x32x2xx2xa有三個不同的實數(shù)根，即關(guān)于x的方程x33x2a0有三個不同的實數(shù)根，令h(x)x33x2a，則h(x)3x26x.令h(x)<0，解得0<x<2；令h(x)>0，解得x<0或x>2.所以h(x)在(，0)和(2，)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)所以h(0)為極大值，h(2)為極小值從而h(2)<0<h(0)，解得4<a<0.【點評】 本題在求解參數(shù)取值范圍時，利用函數(shù)的極值處理，迅速準確地使問題得到解決變試題如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax23x的所有解中，僅有一個正數(shù)解，那么實數(shù)a的取值范圍為()Aa|2a2 Ba|a0或a2Ca|a2或a<2 Da|a0或a2B【解析】 原問題a有且僅有一個正實數(shù)解令t(t0)，則at33t.令f(t)t33t(t0)，f(t)3t23，由f(t)0，得t1或t1.又t(1,1)且t0時，f(t)>0；t(，1)，(1，)時，f(t)<0.所以f(t)極大值f(1)2.又t，f(t)；t，f(t).結(jié)合三次函數(shù)圖象即可得到答案探究點二準確認識函數(shù)關(guān)系中的主從變量，解決有關(guān)問題例2 已知A、B、C是直線l上的三點，向量，滿足：y2f(1)ln(x1)0.(1)求函數(shù)yf(x)的表達式；(2)若x>0，證明：f(x)>；(3)若不等式x2f(x2)m22bm3時，x1,1及b1,1都恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【解答】 用三點共線的充要條件構(gòu)建目標函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，利用值域構(gòu)建不等式求解參數(shù)范圍問題(1)y2f(1)ln(x1)0，y2f(1)ln(x1)，由于A、B、C三點共線，即y2f(1)ln(x1)1，yf(x)ln(x1)12f(1)，f(x)，故f(1)，f(x)ln(x1)(2)令g(x)f(x)，由g(x)，x0，g(x)0，g(x)在(0，)上是增函數(shù)，故g(x)g(0)0，即f(x).(3)原不等式等價于x2f(x2)m22bm3，令h(x)x2f(x2)x2ln(x21)，由h(x)x，當x1,1時，h(x)max0，m22bm30.令Q(b)m22bm3，則解得m3或m3.變試題 對于滿足0p4的所有實數(shù)p，不等式x2px4xp3都成立，則實數(shù)x的取值范圍是_x>3或x<1【解析】 原不等式可化為p(x1)(x24x3)0，記f(p)p(x1)x24x3，由已知0p4，f(p)0恒成立，有解之得x3或x1.【點評】 反客為主，變換主元是解題的關(guān)鍵探究點三利用函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)問題例3 (1)設(shè)a>1，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x，都有y滿足方程logaxlogayc，這時a的取值的集合為_ (1)2【解析】 由logaxlogayc，得y(xa,2a)，則當xa,2a時，y.又對于任意的xa,2a，都有ya，a2，因此又僅有一個常數(shù)c，所以2loga23a2. (2)函數(shù)f(x)(0x2)的值域是()A. B. C. D.(2)C【解析】 由y，得y21cos2x5y24y2cosx.令tcosx(t1,1)，則等價于方程t24y2·t5y210在1,1上有實數(shù)根令g(t)t24y2·t5y21，g(1)y20，g(1)9y20，故y2，因此值域為，選C.探究點四運用函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)問題例4 若關(guān)于x的方程x22kx10的兩根x1、x2滿足1<x1<0<x2<2，則k的取值范圍是()A. B. C. D.A【解析】設(shè)函數(shù)f(x)x22kx1，關(guān)于x的方程x22kx10的兩根x1、x2滿足1<x1<0<x2<2，即<k<0，故選擇A.變試題 已知aR，若關(guān)于x的方程x2x|a|0有實根，則a的取值范圍是_【解析】方程即|a|x2x2，利用絕對值的幾何意義，得|a|，可得實數(shù)a的取值范圍為.探究點五函數(shù)方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用例5 2010·全國卷 記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，設(shè)S312，且2a1，a2，a31成等比數(shù)列，求Sn.【解答】 設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題設(shè)有即解得或因此Snn(3n1)，或Sn2n(5n)變試題 已知函數(shù)f(x)若數(shù)列an滿足anf(n)(nN*)，且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C2,3) D(1,3)【解析】A依題意，數(shù)列an滿足anf(n)(nN*)，且an是遞增數(shù)列，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)，所以解得a<3，選擇A.教師備選習(xí)題(選題理由：均為高考中的重點：1.導(dǎo)數(shù)與不等式構(gòu)造函數(shù)；2數(shù)列與不等式選擇函數(shù)中恰當?shù)闹髟?12010·安徽卷 設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln21且x>0時，ex>x22ax1.【解答】(1)f(x)ex2，所以當xln2，)時，f(x)是增函數(shù)；當x(，ln2)時，f(x)是減函數(shù)所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是ln2，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln2)所以f(x)極小值f(ln2)22ln22a.(2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，則g(x)ex2x2a，由(1)知當a>ln21時，g(x)最小值22ln22a，所以有g(shù)(x)最小值>0，即g(x)在R上是增函數(shù)，于是當a>ln21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)，所以g(x)exx22ax1>0，所以ex>x22ax1.22010·撫州卷 已知數(shù)列an，bn中，a10，b11，且當nN*時，an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)求最小自然數(shù)k，使得當nk時，對任意實數(shù)0,1，不等式(23)bn(24)an(3)恒成立【解答】 (1)依題意2bnanan1，abn·bn1.又a10，b11， bn0，an0，且2bn，2(n2)， 數(shù)列是等差數(shù)列，又b24，b39，n，n1也適合bnn2，an(n1)n.(2)將an，bn代入不等式(23)bn(24)an(3)，整理得(2n1)n24n30.令f()(2n1)n24n3，則f()是關(guān)于的一次函數(shù)，由題意可得解得n1或n3.存在最小自然數(shù)k3，使得當nk時，不等式恒成立規(guī)律技巧提煉1函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點和方法處量變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想(1)函數(shù)思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達出來，并研究這些量之間的相互制約關(guān)系，最后解決問題，這就是函數(shù)思想應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問題；根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識解決問題2)方程思想(：在某變化過程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或(方程組)，通過解方程(或方程組)求出它們，這就是方程思想2函數(shù)與方程是兩個有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法解決，很多函數(shù)的問題也需要用方程的方法來支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想第20講數(shù)形結(jié)合思想主干知識整合1數(shù)形結(jié)合思想的概念數(shù)形結(jié)合思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來考查的思想方法，即根據(jù)解決問題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究，或者把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題去研究數(shù)形結(jié)合思想，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思想方法，在高考中經(jīng)?？疾?數(shù)與形轉(zhuǎn)換的三條途徑(1)通過坐標系的建立，引入數(shù)量化靜為動，以動求解(2)轉(zhuǎn)化，通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點，把問題轉(zhuǎn)化到形的角度來考慮如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點間的距離等(3)構(gòu)造，通過對數(shù)(式)與形特點的分析，聯(lián)想相關(guān)知識構(gòu)造圖形或函數(shù)等比如構(gòu)造一個幾何圖形，構(gòu)造一個函數(shù)，構(gòu)造一個圖表等3數(shù)形結(jié)合的主要解題方式(1)數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即根據(jù)所給出的“數(shù)”的特點，構(gòu)造符合條件的幾何圖形，用幾何方法去解決(2)形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即根據(jù)題目特點，用代數(shù)方法去研究幾何問題(3)數(shù)形結(jié)合，即用數(shù)研究形，用形研究數(shù)，相互結(jié)合，使問題變得簡捷、直觀、明了華羅庚先生說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”運用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀，易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程，可起到事半功倍的效果所以華先生還一語雙關(guān)地告誡學(xué)生“不要得意忘形”要點熱點探究探究點一代數(shù)問題幾何化以形助數(shù)例1 (1)2010·湖北卷 若直線yxb與曲線y3有公共點，則b的取值范圍是()A1,12 B12，12C12，3 D1，3(1)C【解析】 曲線方程可化簡為(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圓心為(2,3)，半徑為2的半圓依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當直線yxb與此半圓相切時須滿足圓心(2,3)到直線yxb距離等于2，2，解得b12或b12.因為是下半圓，故可得b12，當直線過(0,3)時，解得b3，故12b3，所以C正確 (2)2010·全國卷 若變量x，y滿足約束條件則zx2y的最大值為()A4 B3 C2 D1(2)B【解析】 畫出可行域(如下圖)，zx2yyxz，由圖可知，當直線l經(jīng)過點A(1，1)時，z最大，且最大值為zmax12×(1)3.【點評】 本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力求解時，將代數(shù)式賦予了幾何意義，那就是直線的“在軸上的截距的2倍的相反數(shù)”，再結(jié)合圖形，從而使問題得到解決除了賦予“截距”的意義外，我們還經(jīng)常將式子賦予“斜率”“兩點間的距離”等請看下面變式題變試題(1)已知實系數(shù)方程x2(m1)xmn10的兩個實根分別為x1，x2，且0x11，x21，則的取值范圍是()A. B. C. D(2，1)(1) A【解析】 解答此題的關(guān)鍵是要由根的分布將條件轉(zhuǎn)化為m，n的關(guān)系式，令f(x)x2(m1)xmn1，則f(x)0的兩根分別滿足0<x1<1，x2>1，即有即為以上區(qū)域內(nèi)的動點(m，n)和原點連線的斜率的范圍(如圖)，從而得到2<<.(2)若直線1通過點M(cos，sin)，則()Aa2b21 Ba2b21 C.1 D.1【答案】D(3)當xR時，求函數(shù)f(x)的最小值(3)【解答】 從代數(shù)角度難以找到解題的途徑，若把f(x)稍作變形，f(x)，可以觀察到f(x)就是點P(x,0)到點A(1，1)、B(2，2)的距離之和，如圖，顯然當P點與坐標原點重合時f(x)min3.高考命題者說【考查目的】 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判定和點到直線的距離【命制過程】 根據(jù)直線方程和圓的方程判斷直線和圓的位置關(guān)系、確定點的軌跡方程是解析幾何的重要內(nèi)容本題命制過程中希望考生通過對點的坐標的觀察或曲線參數(shù)方程的認識，建立點的軌跡方程，把直線與圓有交點的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，得到問題的求解當然考生也可以利用點到直線的距離或柯西不等式求解，啟發(fā)鼓勵學(xué)有余力的考生積極拓展知識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)【解題思路】 點M(cos，sin)的軌跡是圓x2y21，從而轉(zhuǎn)化為直線和圓有交點的問題；或根據(jù)直線過單位圓上一點，得到原點到直線的距離小于或等于1，利用點到直線的距離公式求解【試題評價】 本題對考生的能力要求比較高試題把考生熟悉的直線和圓的位置關(guān)系的判斷問題巧妙設(shè)計，使問題的解答具有靈活性，考生必須深入理解數(shù)形結(jié)合的思想，從解析幾何的研究方法這個角度去認識和解決問題(引自高等教育出版社2009年大綱版的高考理科試題分析第87頁第10題)探究點二幾何問題代數(shù)化以數(shù)輔形例2 (1)2009·山東卷 函數(shù)y的圖象大致為( )圖7201A【解析】 (1)函數(shù)有意義，需使exex0，其定義域為x|x0，排除C，D.又因為y，所以當x>0時函數(shù)為減函數(shù)，故選A.(2)2010·安徽卷 設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()圖7202D【解析】 (2)根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上或向下，分a>0或a<0兩種情況分類考慮另外還要注意c值是拋物線與y軸交點的縱坐標，還要注意對稱軸的位置或定點坐標的位置等當a>0時，b、c同號，C、D兩圖中c<0，故b<0，>0，選項D符合(3)2010·重慶卷 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是()A直線 B橢圓 C拋物線 D雙曲線(3)D【解析】 (圖形略)在邊長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，DC與A1D1是兩互相垂直的異面直線，平面ABCD過直線DC且平行于A1D1，以D為原點，分別以DA，DC為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設(shè)點P(x，y)在平面ABCD內(nèi)且到A1D1與DC的距離相等，則|x|，x2y2a2.【點評】 轉(zhuǎn)換數(shù)與形的重要途徑之一就是通過坐標系的建立，引入數(shù)量，化靜為動，以動求解變試題(1)2010·湖南卷 函數(shù)yax2bx與ylogx(ab0，|a|b|)在同一直角坐標系中的圖象可能是()圖7203(1)D【解析】 函數(shù)yax2bx與x軸的兩個交點是(0,0)，.對于A、B，由拋物線的圖象知，則(0,1)，所以ylog|x不是增函數(shù)，排除；對于C，由拋物線的圖象知a<0且<1，所以>1，所以ylog|x應(yīng)是增函數(shù)排除C，故選D.(2)若動直線x與函數(shù)f(x)sinx和g(x)cosx的圖象分別交于M、N兩點，則的最大值為()A1 B. C. D2 (2)B高考命題者說【考查目的】 本題考查三角函數(shù)的最大值的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想【命制過程】 考生對f(x)sinx和g(x)cosx的圖象是比較熟悉的本題可以通過作圖直觀得到線段MN，但要從圖形的變化確定線段MN的長度的最大值是困難的，這就必須將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”實際上|MN|sincos|sin.命制本題的目的是考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和三角函數(shù)yAsin(x)的最大值的求解方法【解題思路】 |MN|sincos|.【試題評價】 試題以考生熟悉的三角函數(shù)圖象入手，巧妙設(shè)計動態(tài)的圖形變化，將“形”的問題求|MN|的最大值，轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題求函數(shù)y|sincos|的最大值，不僅突出考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也考查了考生將知識遷移到不同情境中的能力，將數(shù)形結(jié)合的思想充分展現(xiàn)出來(引自高等教育出版社2009年大綱版的高考理科試題分析第62頁第8題)探究點三“數(shù)”“形”互助相得益彰例3 (1)2010·全國卷1 已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D, 且2，則C的離心率為_(1)【解析】 (法一)如圖，|BF|a，作DD1y軸于點D1，則由2，得，所以|DD1|OF|c，即xD，由橢圓的第二定義得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2ae 解法二：設(shè)橢圓方程為第一標準形式1，設(shè)D(x2，y2)，F(xiàn)分BD所成的比為2，xCx2xCc；yCy2，代入橢圓方程得1e.(2)2010·安徽卷 橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)求F1AF2的角平分線所在直線的方程【解答】 (1)設(shè)橢圓E的方程為1.由e，即，a2c，得b2a2c23c2，所以橢圓方程1.將A(2,3)代入上式，得1，解得c2，橢圓E的方程為1. (2)由(1)知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，所以直線AF1的方程為y(x2)，即3x4y60；直線AF2的方程為x2.由橢圓E的圖形知F1AF2的角平分線所在直線的斜率為正數(shù)設(shè)P(x，y)為F1AF2的角平分線所在直線上任一點，則|x2|.若3x4y65x10，即x2y80，其斜率為負，不合題意，舍去于是3x4y65x10，即2xy10.所以F1AF2的角平分線所在直線的方程為2xy10.教師備選習(xí)題(選題理由：1,2均為數(shù)形結(jié)合，很有代表性)12010·黃岡卷 方程2sincos，0,2)的根的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4【解析】B因為方程有根，故cos>0，令sinx，(1x1)，則問題轉(zhuǎn)化為方程2x的根的個數(shù)的問題，記C1：y2x，C2：y，則問題轉(zhuǎn)化為兩曲線交點個數(shù)的問題在同一坐標系中畫出它們的圖象，如圖所示，故選B.【點評】 方程根的個數(shù)與曲線交點的個數(shù)是相同的本例先對數(shù)式換元轉(zhuǎn)化，再進行數(shù)形轉(zhuǎn)化，最后考查曲線交點的個數(shù)2如果實數(shù)x，y滿足等式(x2)2y23，則的最大值是()A. B. C. D.【解析】 D將寫成的形式，這樣就可以看成是圓(x2)2y23上任意一點到定點(0,0)連線的斜率如圖，顯然當連線與圓相切時取得最值，其中傾斜角為銳角的切線斜率最大，為.規(guī)律技巧提煉1運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：(1)等價性原則：要注意由于所作的草圖不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系帶來的負面效應(yīng)；(2)雙向性原則：即進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易失真；(3)簡單性原則：不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，而取決于是否有效、簡便和更易達到解決問題的目的2運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時要注意：(1)兩個或兩個以上的函數(shù)圖象在同一個坐標系內(nèi)時，必須要考慮它們的相對位置關(guān)系，否則極易出錯例如方程sinxlgx有多少個實數(shù)解？很多學(xué)生由圖得只有1個解，這是錯誤的(2)要熟記常見函數(shù)或曲線的形狀和位置，畫圖要比較準確第21講分類討論思想主干知識整合1分類討論是解決問題的一種邏輯方法，同時也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要的幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略2運用分類討論思想解題的基本步驟：(1)明確討論的對象：即對哪個參數(shù)進行討論；(2)對所討論的對象進行合理分類(分類時要做到不重復(fù)、不遺漏、標準要統(tǒng)一、分層不越級)；(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納3明確引起分類討論的原因，有利于掌握用分類討論的思想方法解決問題，分類討論的主要原因有：(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線與平面所成的角、直線的傾斜角、兩條直線所成的角等；(2)由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零、偶次方根為非負、對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求、不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)對不等號方向的影響等；(3)由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；(4)由圖形的不確定性引起的分類討論；(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論，某些含參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法；(6)其他根據(jù)實際問題具體分析進行分類討論，如排列、組合問題，應(yīng)用問題等要點熱點探究探究點一根據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論例1 2009·廣東卷 已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行，且yg(x)在x1處取得極小值m1(m0)設(shè)f(x).(1)若曲線yf(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2)k(kR)如何取值時，方程f(x)kx0有解，并求出該方程的解【解答】(1)依題可設(shè)g(x)a(x1)2m1(a0)，則g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的圖象與直線y2x平行，2a2，a1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)x2.設(shè)P(x0，y0)，則|PQ|2x(y02)2x22x2m22m2|m|2m，當且僅當2x時，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值.當m>0時，解得m1；當m<0時，解得m1.(2)由yf(x)kx(1k)x20(x0)，得(1k)x22xm0(*)當k1時，方程(*)有一解x；當k1時，方程(*)有兩解44m(1k)>0，當m>0，k>1或者m<0，k<1時，方程f(x)kx0有兩解x；當k1時，方程(*)有一解44m(1k)0，k1，方程f(x)kx0，有一解xm.綜上，當k1時，方程f(x)kx0有一解x；當k>1(m>0)，或k<1(m<0)時，方程f(x)kx0有兩解x；當k1時，方程f(x)kx0有一解xm.【點評】 本題有兩次運用了數(shù)學(xué)概念進行分類，一次是根據(jù)絕對值的概念，另一次是根據(jù)一元二次方程的概念，要注意的是不能見到形如(*)式這樣的方程就認定它是一元二次方程，要根據(jù)系數(shù)是否為零進行分類探究探究點二根據(jù)公式、定理、性質(zhì)的條件分類討論例2 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項和Sn>0(n1,2，) (1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bnan2an1，記bn的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小【解析】 由于涉及等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，須分q1和q1討論欲比較Sn與Tn的大小，只需求出Sn與Tn后，再用作差法比較【解答】 (1)因為an是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1S1>0，q0.當q1時，Snna1>0；當q1時，Sn>0，即>0，(n1,2，)上式等價于不等式組：(n1,2，)或(n1,2，)解式得q>1；解，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得1<q<1.綜上，q的取值范圍是(1,0)(0，)（2) 由bnan2an1，得bnan，TnSn.于是TnSnSnSn(q2)又Sn>0，且1<q<0或q>0，當1<q<或q>2時TnSn>0，即Tn>Sn；當<q<2且q0時，TnSn<0，即Tn<Sn；當q或q2時，TnSn0，即TnSn.【點評】 該題中在使用等比數(shù)列的前n項和公式Sn時，須分q1和q1討論，注意不要忽視q1的情況在第(2)問中，抓住bnaa2an1，利用等比數(shù)列的通項公式，巧妙地把bn轉(zhuǎn)化成bnan，TnSn.最后，作差比較Sn與Tn，即TnSnSnSn(q2)，最后為確定差的符號，應(yīng)對q進行分類討論一般地，在應(yīng)用帶有限制條件的公式時要小心，根據(jù)題目條件確定是否進行分類討論變試題 求和Snaa2an_. 【解析】當a0時，Sn0.當a0時，此題為等比數(shù)列求和，若a1時，則由求和公式，得Sn；若a1時，Snn. 綜合可得，Sn【點評】 由于等比數(shù)列定義本身有條件限制，等比數(shù)列求和公式是分類給出的，因此，應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時也需要討論這里進行了兩層分類：第一層分類的依據(jù)是等比數(shù)列的概念，分為a0和a0；第二層分類依據(jù)是等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用條件探究點三根據(jù)參數(shù)的變化情況分類討論例3 2010·山東卷 已知函數(shù)f(x)lnxax1(aR)(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)當a時，討論f(x)的單調(diào)性【解答】(1)當a1時，f(x)lnxx1，x(0，)，所以f(x)1，因此，f(2)1，即曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線斜率為1，又f(2)ln22，所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(ln22)x2，即xyln20.(2)因為f(x)lnxax1，所以f(x)a，x(0，)令g(x)ax2x1a，x(0，)，當a0時，g(x)x1，x(0，)，所以當x(0,1)時，g(x)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當x(1，)時，g(x)<0，此時函數(shù)f(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增當a0時，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21，(i)當a時，x1x2，g(x)0恒成立，此時f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；(ii)當0<a<時，x1<x2，當x(0,1)時，g(x)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當x時，g(x)<0，此時f(x)>0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；x時，g(x)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；(iii)當a<0時，由于1<0，故x1>x2，當x(0,1)時，g(x)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；x(1，)時，g(x)<0，此時函數(shù)f(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增綜上所述：當a0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當0<a<時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減；當a時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減【點評】 本題分類討論的目的是為了判定導(dǎo)函數(shù)的符號，正是因為a的不同取值對導(dǎo)函數(shù)的符號的影響，才決定著必須進行分類討論討論時要突出目的性、全面性、準確性探究點四根據(jù)圖形位置或形狀變動分類討論例4 2010·遼寧卷 有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是()A(0，) B(1,2)C(，) D(0,2)A【解析】 根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：(1)底面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2，a，a，如圖(1)，此時a可以取最大值，可知AD，SD，則有<2，即a2<84()2，即有a<；(2)構(gòu)成三棱錐的兩條對角線長為a，其他各邊長為2，如圖(2)，此時a>0即可滿足條件綜上分析可知a(0，)【點評】 涉及幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進行分類討論變試題 (1)已知橢圓1的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的任意一點，則使得三角形PF1F2是直角三角形的點P的個數(shù)為( )A2 B4 C6 D8 (1)D【解析】按照直角三角形PF1F2的直角頂點的不同情況分析研究若F1為直角頂點，則這樣的直角三角形一定存在，且有兩個，如圖.若F2為直角頂點，則這樣的直角三角形一定存在，且有兩個，如圖.若P為直角頂點，若這樣的P點存在，設(shè)其坐標為(x，y)，依題意F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，于是(4x，y)，(4x，y)，因為P為直角，所以·0，因此x2y2160，又因為1，所以解得所以P點坐標為，故這樣的直角三角形也存在，并且有4個，如圖.綜上所述，使得三角形PF1F2是直角三角形的點P的個數(shù)為8，選D.【點評】 本題考查了橢圓中的焦點三角形問題，其關(guān)鍵是按照直角頂點的不同情況進行分類研究(2)2009·上海卷 過圓C：(x1)2(y1)21的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B，AOB被圓分成四部分(如圖7211)，若這四部分圖形的面積滿足SSSS，則直線AB有( )圖7211A0條 B1條 C2條 D3條B【解析】 由已知，得SSSS，第，部分的面積是定值，所以SS為定值，即SS為定值，當直線AB繞著圓心C移動時，只可能有一個位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B.(3)2009·浙江卷 設(shè)向量a，b滿足|a|3，|b|4，a·b0.以a，b，ab的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為()A3 B4 C5 D6(3)B【解析】 因為5，所以以a，b，ab的模為邊長構(gòu)成直角三角形；對于半徑為1的圓有一個位置正好是三角形的內(nèi)切圓，此時只有三個交點，對于圓的位置稍微右移且再向下移，能實現(xiàn)4個交點的情況，如圖，但5個以上的交點不能實現(xiàn)教師備選習(xí)題(選題理由：避免分類討論的幾種方法1消去參數(shù)，避免分類討論；2.分離參數(shù)，避免分類討論)1已知0<a<1,0<m1，比較|logm(1a)|與|logm(1a)|的大小【解析】 若按常規(guī)解法去絕對值，須分0<m<1和m>1兩種情況討論但注意到兩對數(shù)同底，可用作商比較法，通過換底公式可消去參數(shù)m，這樣可避免對參數(shù)m的分類討論【解答】 log(1a).因為1a>1,1a<，所以log(1a)>1，即>1.故|logm(1a)|>|logm(1a)|.【點評】 若將題設(shè)條件改為1<a<1，則必須對a進行分類討論：當0<a<1時，同上；當a0時，|logm(1a)|logm(1a)|；當1<a<0時，同理得|logm(1a)|<|logm(1a)|.2若不等式x22mx2m1>0對|x|1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【解析】 若設(shè)f(m)x22mx2m1(xm)2m22m1，由|x|1知，對m應(yīng)分m<1，1m1，m>1三種情況討論若分離參數(shù)，則不用討論【解答】 原不等式等價于2m(1x)>1x2.當x1時，顯然成立；當x1時，因為|x|1，所以1x>0，則有m>恒成立，只需m>max.因為(22)1，當1x，即x1時取“”，即max1，所以m>1.【點評】 對二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是最容易引起“討論”的本題求解過程中，求1x的最小值時，要注意驗證取等號的條件規(guī)律技巧提煉分類討論思想的本質(zhì)上是“化整為零，積零為整”用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對象和動機確定分類的標準逐類進行討論歸納綜合結(jié)論檢驗分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集)做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論第22講轉(zhuǎn)化與劃歸思想主干知識整合轉(zhuǎn)化與化歸的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想等價轉(zhuǎn)化有一些模式可以遵循，總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，化復(fù)雜為簡單(高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化等)、化未知為已知在用化歸方法解題時要求我們的思維一定要有靈活性、多樣性、聯(lián)想性、開放性，通過變換迅速而合理地尋找和選擇解決問題的途徑和方法1化歸的常用模式2常見的化歸方法(1)換元法：例如利用“換元”將無理式化為有理式，高次問題化為低次問題；(2)數(shù)形結(jié)合法：把形(數(shù))轉(zhuǎn)化為數(shù)(形)，數(shù)形互補、互換獲得問題的解題思路；(3)向量法(復(fù)數(shù)法)：把問題轉(zhuǎn)化為向量(復(fù)數(shù))問題；(4)參數(shù)法：通過引入?yún)?shù)，轉(zhuǎn)化問題的形式，易于解決；(5)建模法：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題或把一類數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為另一類數(shù)學(xué)問題；(6)坐標法：以坐標為工具，實現(xiàn)“數(shù)”、“形”的對應(yīng)、轉(zhuǎn)化；(7)類比法：類比是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著相同或不同的屬性，聯(lián)想到另一類事物也可能具有某種屬性的思想方法，一般由特殊向一般類比，抽象向具體類比，低維向高維類比，平行類比；(8)特殊化法：將一般問題特殊化，從特殊問題的解決中，尋找一般問題的解題策略；(9)一般化方法：有時問題的本質(zhì)特征可能被具體問題所掩蓋，這時應(yīng)把特殊問題一般化，尋找解題思路；(10)加強命題法：即把命題結(jié)論加強為原命題的充分條件；(11)正與反的轉(zhuǎn)化；(12)函數(shù)與方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化；(13)空間與平面之間的轉(zhuǎn)化；(14)整體與局部的轉(zhuǎn)化等等要點熱點探究探究點一一般問題與特殊問題的化歸例1 (1)2010·安徽卷 設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BY(YX)Z(ZX)CY2XZ DY(YX)X(ZX)(1)D【解析】 取等比數(shù)列1,2,4，令n1，得X1，Y3，Z7代入驗算，只有選項D滿足【點評】 對于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗證，若能排除3個選項，剩下唯一正確的就一定正確，若不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗證繼續(xù)排除本題也可以用首項a1、公比q和項數(shù)n表示代入驗證得結(jié)論(2)在平面直角坐標系xOy中，已知ABC的頂點A(4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓1上，則_.(2)【解析】 頂點B取橢圓短軸端點，即B(0,3)，則sinAsinCcos，sin，sinB2sincos2××，.【點評】 這里頂點B是橢圓上的動點，所以sinA、sinB、sinC不易確定但根據(jù)“一般成立特殊一定成立”可將這個一般性的問題轉(zhuǎn)化為B點在特殊位置(橢圓短軸端點)來處理較易像這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常用到當然，注意到A、C是兩焦點，利用正弦定理，進行數(shù)形轉(zhuǎn)化也能取得很好的效果探究點二正向思維與逆向思維的化歸例2若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個值c使得f(c)>0，求實數(shù)p的取值范圍【解答】 如果在1,1內(nèi)沒有值滿足f(c)>0，則p3或p，取補集為3<p<，即為滿足條件的p的取值范圍【點評】 在處理某一問題時，按習(xí)慣思維從正面思考比較困難，這時用逆向思維的方式從反面去考慮，往往使問題變得比較簡單變試題 甲、乙二人依次從標有1,2,3，9的九張卡片中不放回地抽取一張卡片，則甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率是_【解析】設(shè)甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率為P，則甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的對立事件為甲、乙二人均抽到標有偶數(shù)數(shù)字的卡片，設(shè)為，則P11.【點評】 正難則反，利用補集求得其解，這就是補集思想，充分體現(xiàn)對立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的思想方法一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”情形的問題中探究點三抽象問題與具體問題的化歸例3 ，(其中e為自然常數(shù))的大小關(guān)系是()A.<< B.<< C.<< D.<<A【解析】由于，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)，令f(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<，故選A.【點評】本題結(jié)合函數(shù)思想，把問題化歸為函數(shù)f(x)的單調(diào)性問題，體現(xiàn)了化歸的一般化策略，一般化策略不僅有助于命題的推廣，而且是化歸的重要途徑如果放寬眼界，使問題中的某些因素或結(jié)構(gòu)形式一般化，借助于一般化的結(jié)論或一般化的方法，將有助于特殊問題的解決探究點四命題與等價命題的化歸例4 設(shè)f(x)2cos2xcosx1(0<x<)，若方程f(x)k(cosx2)中的cosx有一正一負兩個值，求實數(shù)k的取值范圍【解答】 令cosxt，t(1,1)，則由f(x)k(cosx2)，得2t2(1k)t2k10，(1)方程f(x)k(cosx2)中的cosx有一正一負兩個值，等價于關(guān)于t的方程(1)在t(1,1)中有兩根異號設(shè)g(t)2t2(1k)t2k1，則原問題又等價于由此可得0<k<.【點評】 根據(jù)問題的特點轉(zhuǎn)化命題，將未知的問題向已知的知識轉(zhuǎn)化，并使未知和已知的知識發(fā)生聯(lián)系，使之能用熟悉的知識和方法解決新的問題，是解決數(shù)學(xué)問題的常用思路例如要求空間兩條異面直線所成的角，只需通過作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角又如復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問題有時也可以通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題等等變試題 如圖7221所示，在等邊三角形ABC中，ABa，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，求的最大值和最小值圖7221【解答】 由于O為正三角形ABC的中心，所以AOa，MAONAO，設(shè)MOA，則.在AOM中，由正弦定理，得，得OM.在AON中，由正弦定理，得ON，所以.，sin21.故當時，取得最大值；當或時，此時取得最小值.【點評】 將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應(yīng)用化歸思想的靈魂，要求必須做到轉(zhuǎn)化有目標、轉(zhuǎn)化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果本題將OM，ON利用正弦定理轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)式，注意的隱含范圍教師備選習(xí)題(選題理由：1.實際問題化為數(shù)學(xué)問題；2.補集思想；3.等價轉(zhuǎn)化思想)12009·湖北卷 如圖，衛(wèi)星