特級(jí)教師高考理數(shù)導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法總結(jié) 一、考試內(nèi)容(重點(diǎn))導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點(diǎn)題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1 在區(qū)間上的最大值是 2 2已知函數(shù)處有極大值，則常數(shù)c 6 ；3函數(shù)有極小值 1 ,極大值 3 題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程1曲線在點(diǎn)處的切線方程是 2若曲線在P點(diǎn)處的切線平行于直線，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （1，0） 3若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 4求下列直線的方程： （1）曲線在P(-1,1)處的切線； （2）曲線過(guò)點(diǎn)P(3,5)的切線；解：（1） 所以切線方程為 （2）顯然點(diǎn)P（3，5）不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為，則又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，又切線過(guò)、P(3,5)點(diǎn)，所以有，由聯(lián)立方程組得，即切點(diǎn)為（1，1）時(shí)，切線斜率為；當(dāng)切點(diǎn)為（5，25）時(shí)，切線斜率為；所以所求的切線有兩條，方程分別為題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值(重點(diǎn)) 1已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1 （）若函數(shù)處有極值，求的表達(dá)式； （）在（）的條件下，求函數(shù)在3，1上的最大值； （）若函數(shù)在區(qū)間2，1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍 解：（1）由過(guò)的切線方程為： 而過(guò)故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）當(dāng) 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2，1上單調(diào)遞增，又由知2a+b=0。 依題意在2，1上恒有0，即 當(dāng)；當(dāng)；當(dāng) 綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是2已知三次函數(shù)在和時(shí)取極值，且(1) 求函數(shù)的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，試求、?yīng)滿足的條件解：(1) ，由題意得，是的兩個(gè)根，解得，再由可得(2) ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)函數(shù)的極大值是，極小值是(3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位得到的，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋ǎ┒?，即于是，函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)榱畹没蛴傻膯握{(diào)性知，即綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：，且3設(shè)函數(shù)（1）若的圖象與直線相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且在處取極值，求實(shí)數(shù) 的值；（2）當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) 解：（1） 由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）當(dāng)b=1時(shí)，因故方程有兩個(gè)不同實(shí)根不妨設(shè)，由可判斷的符號(hào)如下：當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1如右圖：是f（x）的導(dǎo)函數(shù)， 的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函數(shù)( A )xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍1設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值.（2）若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定a的取值范圍.解：（1）=，令得 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-極小極大 在（a，3a）上單調(diào)遞增，在（-，a）和（3a，+）上單調(diào)遞減時(shí)，時(shí)， （2），對(duì)稱軸，在a+1，a+2上單調(diào)遞減 ，依題， 即解得，又 a的取值范圍是2已知函數(shù)f（x）x3ax2bxc在x與x1時(shí)都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)xÎ1，2，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f¢（x）3x22axb由f¢（），f¢（1）32ab0得a，b2f¢（x）3x2x2（3x2）（x1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（¥，）（，1）1（1，¥）f¢（x）00f（x）­極大值¯極小值­所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（¥，）與（1，¥），遞減區(qū)間是（，1）（2）f（x）x3x22xc，xÎ1，2，當(dāng)x時(shí)，f（x）c為極大值，而f（2）2c，則f（2）2c為最大值。要使f（x）<c2（xÎ1，2）恒成立，只需c2>f（2）2c，解得c<1或c>2題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使=+(t23)，=-k+t，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t) ；(2) 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況.解：(1)，=0 即+(t2-3) ·(-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)·=0 =0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當(dāng)k或k時(shí),方程f(t)k=0有且只有一解；(2)當(dāng)k=或k=時(shí),方程f(t)k=0有兩解；(3) 當(dāng)k時(shí),方程f(t)k=0有三解. 題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合1設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)1，1，且，求證：.解：（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實(shí)數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，由于.從而0<a3.（2）方法1、可知在上只能為單調(diào)增函數(shù). 若1，則 若1矛盾，故只有成立.方法2：設(shè)，兩式相減得 1,u1，2已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍（2）若，（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）證明對(duì)任意的，不等式恒成立解：，函數(shù)的圖象有與軸平行的切線，有實(shí)數(shù)解 ，所以的取值范圍是，由或；由的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間為易知的最大值為，的極小值為，又在上的最大值，最小值對(duì)任意，恒有題型八：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用1請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？解：設(shè)OO1為，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：，（單位：）故底面正六邊形的面積為：=，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導(dǎo)得。令，解得（不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，最大。答：當(dāng)OO1為時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為。2統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米。（I）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，要耗沒(méi)（升）。（II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，依題意得令得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，取到極小值因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值。答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。題型九：導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合1設(shè)平面向量若存在不同時(shí)為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)s、t及實(shí)數(shù)k，使（1）求函數(shù)關(guān)系式；（2）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍。解：（1）（2）則在上有由；由。因?yàn)樵趖上是增函數(shù)，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值范圍是。