專題二 函數與導數一專題綜述函數是整個高中數學的核心內容，所有知識都圍繞這一主線展開，均可以與函數建立聯(lián)系，函數知識的運用也貫穿高中學習的全過程，理所當然是高考的重點。1.考綱要求（1）掌握集合的概念與運算；（2）了解映射的概念；（3）掌握函數、反函數的概念，會建立簡單的函數關系，并能求簡單函數的反函數；（4）理解函數圖像及函數圖像關系的重要結論，能借助函數的圖像解決函數自身、方程、不等式的有關問題；（5）掌握函數的性質（定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期性）；能借助函數的性質去解決問題；（6）掌握函數的極限的定義，能求簡單函數的極限；掌握函數連續(xù)的概念，了解函數有極限、連續(xù)的關系；（7）掌握導數的概念及意義，掌握常見函數的導數公式，能用導數求曲線的切線方程，能求簡單函數的導數，能利用導數研究函數的單調性、最值。2.考題設置與分值：每年高考試題涉及函數的題目都占有相當大的比重（約30分），具體表現(xiàn)在：（1）以客觀題的形式獨立（或簡單綜合）考查函數的概念、圖像、性質及其應用；（1-2題）（2）以主觀題（解答題后三題之一）的形式考函數與導數的綜合（1個解答題）（3）在其它知識考查時加入函數的成分，主要體現(xiàn)在：不等式與函數綜合；數列與函數綜合；解析幾何與函數綜合。3.考試重點及難度：（1）函數的基本性質，是高考對函數內容考查的重中之重，其中函數單調性與奇偶性是高考命題的必考內容之一，有具體函數，還會涉及抽象函數。研究基本性質：不可忽略定義域對函數性質的影響。函數定義域體現(xiàn)了函數圖像左右方向的延伸程度，而值域又表現(xiàn)了函數圖像在上下方向上的延伸程度；對函數單調性要深入復習，深刻理解單調性定義，熟練運用單調性定義證明或判斷一個函數的單調性，同時掌握運用導數方法研究函數單調性的方法步驟，掌握單調區(qū)間的求法，掌握單調性與奇偶性之間的聯(lián)系。掌握單調性的重要運用，如求最值、解不等式、求參數范圍等，掌握抽象函數單調性的判斷方法等等；要善于挖掘抽象函數定義內涵，研究抽象函數的一些性質。會利用單調性、奇偶性解抽象函數值域問題，解抽象不等式等。(2)函數的圖像。函數圖像是函數形的體現(xiàn)，高考著力考查學生作圖、識圖、用圖能力。作圖是會應用基本函數圖形或圖形變換的方法，畫出給定的圖像；識圖是要能從圖像中分析函數性質或生成另外的圖像；用圖是會用數形結合思想，善于將代數問題圖像化或圖像問題代數化。 (3)函數的一些小結論。要重視并加強一些小結論形成過程的理解：例如：設函數的定義域為，則有：如恒成立函數圖像關于對稱；如經過變換得到兩函數和，則所得兩個函數圖像關于對稱；如恒成立函數是以為周期的周期函數；如恒成立函數圖像關于點對稱；如函數的圖像關于對稱，又關于對稱，則函數一定是以為一個周期的周期函數；如函數的圖像關于對稱，又關于點對稱，則函數一定是以為一個周期的周期函數；再如：抽象函數是有特殊、具體的函數抽象而得到。頭腦中要有滿足抽象條件的具體函數的模型。如，再如：指數函數圖像大致形狀，單調區(qū)間，值域應快速求出，等等。(4)函數思想與方法。函數是高中數學的主線，在考查其他知識時（如：方程、不等式、數列、解析幾何、立體幾何等）運用函數觀念和方法找出解決問題的突破口這也是高考一種趨勢；(5)導數。利用導數去研究函數，進而研究方程、不等式，這是高考的一個重要考點，一般以解答題的后三題的形式出現(xiàn)，所以有一定的難度。二考點選講【考點1】函數的圖像及其應用： 以客觀題的形式考察函數的圖像及其應用，這是高考的必考點，他體現(xiàn)了數形結合的數學思想。這類題一般以客觀題的形式出現(xiàn)，雖說難度不大，但往往比較靈巧。對函數的圖像我們不僅要會作，還要能識圖、用圖?！纠?】單位圓中弧長為，表示弧與弦所圍成弓形面積的2倍。則函數的圖像是（ ）ABCD【解析】解一：定量分析。可列出，知時，圖像在下方；時，圖像在上方。選D解二：定性分析。當從增至時，變化經歷了從慢到快，從快到慢的過程。解三：觀察滿足：，故圖像以為對稱中心?！咀ⅰ?此題考查作圖、識圖、用圖的能力。解析二與解析三直接避開求解析式，把圖像與性質對應，通過性質，作出判斷，本題對學生分析思考能力，要求較高?！揪毩?】已知函數為偶函數，則函數圖像關于直線 對稱，函數圖像關于直線 對稱?！揪毩?】設定義域為函數滿足且當時，單調遞增，如果且，則的值（ ）A、恒小于0 B、恒大于0 C、可能為0 D、可正可負【練習3】設函數f(x)是定義在R上的奇函數，g(x)是定義在R上的恒大于零的偶函數，且當x>0時有f /(x) g(x)<f(x) g /(x)，若f(1)=0，則不等式f(x)0的解集是 ( )A（-，-1）(1，+）B.-1，0）(0，1 C.（-，-1 0，1 D.（-1，0）(0，+)【注】通過構造函數來研究不等式（解不等式或證明不等式）是一種很重要的思路；【考點2】函數性質的研究及應用用客觀題的形式綜合考察函數的性質及其應用，這是近幾年高考的必考點?！纠?】函數y=f(x)（xR）滿足：，當x-1，1時，f(x)=x 3,則f(2007)的值是A-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】函數即關于原點對稱，又關于直線x1對稱，f（x）是以4為周期的周期函數f（2007）f（3）=f（-1）-1，選A【注】本題考查周期函數的應用，要注意關于周期函數的幾個小結論?！揪毩?】（06上海卷）三個同學對問題“關于的不等式在上恒成立，求實數的范圍”提出各自的解題思路：甲說：只需不等式左邊最小值不小于右邊最大值。乙說：把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數最值。丙說：把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數的圖像。參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的范圍是 【練習2】定義在R上的函數f ( x )滿足f (x+2)=3f ( x )， 當時，f (x ) = x 2-2x ，則當x-4,-2時，f(x)的最小值是（ ）A B. C. D. -1【注】這是一種呈周期萎縮的函數，一般的是f（x+T）=kf（x）（k1)，注意它的圖像?！究键c3】反函數的概念函數的反函數的概念、求法，反函數的定義域、值域與原函數的定義域、值域的關系在復習中要引起重視。【例3】已知f(x)是定義在R上的函數它的反函數是f -1(x)，若f -1(x+a)與f(x+a)互為反函數，且f(a)=a（a為非零常數），則f(2a)的值為A-a B. 0 C. a D. 2a【注】反函數是高考的必考點，在求反函數時要關注反函數的定義域原函數的值域?！究键c4】導數的意義及應用【例4】已知函數，過點作曲線的切線的方程為_.【解析】【注】利用導數求切線的斜率，從而的切線的方程，這是基本思路；本題要注意;過某點的切線與再某點的切線是不同的概念?！揪毩?】設函數在定義域內可導，的圖象如右圖所示，則導函數y=f ¢(x)可能為（ ）xyO A B C D【注】考查原函數的單調性與其導函數的正負關系；也可根據原函數的極值點的情況做出判斷?！揪毩?】.設球的半徑為時間t的函數。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A.成正比，比例系數為C B. 成正比，比例系數為2C C.成反比，比例系數為C D. 成反比，比例系數為2C 【考點5】抽象函數的問題給出一個抽象函數的條件，要你研究其性質，這類題最近幾年高考大題未考，但在客觀題中卻不時出現(xiàn)，要掌握解這類題的基本思路賦值【例5】. 設函數定義在R+上，對任意的，恒有，且當x>1時，。試解決以下問題：（1）求的值，并判斷的單調性；（2）設，若 AB，求實數a的取值范圍；（3）若，滿足求證：【練習1】 定義在（-1，1）上的函數f(x)滿足：對任意x、y (-1,1)都有。（I）求證：函數f(x)是奇函數；（II）如果當 時，有f(x)>0，判斷f(x)在 (-1,1)上的單調性，并加以證明；（III）設-1<a<1，解不等式： 【考點6】函數、導數的綜合問題用導數研究函數的性質，進而解決其他問題（方程的根的問題、不等式恒成立的問題），這是近幾年高考的趨勢，一般以后三題的形式出現(xiàn)，題目有一定的難度，但這類題易入手?！纠?】.設函數f(x)=（1）求f(x)的極值；（2）求f(x)的對稱中心；（3）設 f(x)的定義域是D，是否存在a，bD，當xa，b時，f(x)的值域 ?若存在，求出實數a，b的值；若不存在，說明理由。【練習1】. .已知函數.(1) 若函數在區(qū)間(0,1)上恒為單調函數，求實數的取值范圍；(2) 當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍?！揪毩?】 已知函數 在區(qū)間0，1上單調遞增，在區(qū)間 1，2上單調遞減；（1）求a的值；（2）求證：x=1是該函數的一條對稱軸；（3）是否存在實數b，使函數的圖象與函數f(x)的圖象恰好有兩個交點？若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.【練習3】已知函數f(x)=x lnx(1) 求函數的單調區(qū)間和最小值；（2）當b>0時，證明：（3）若a>0,b>0, 證明：三專題訓練函數與導數測試題滿分：150分 時間：120分鐘 第卷（選擇題 共60分）一.選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的請把所選項前的字母填在答題卷的表格內）1設是集合到集合的映射，若，則為 ( )AB1C或2D或12函數的零點所在的區(qū)間為 （ ）A（1，0） B（0，1） C（1，2） D（1，e）3若函數在區(qū)間上為減函數，則的取值范圍是 ( )A(0，1)B(1，)C(1，2)D(0，1)(1，2)4已知函數存在反函數，且的圖象過定點（3，1），則函數的圖象一定過點 （ ）AB C D 5若，則 （ ）A、 B、1 C、 D、6曲線在點處的切線與坐標軸圍成三角形面積為 （ ） A、B、 C、D、yxo127已知的圖象如圖所示，則有 ( )ABCD8函數的定義域為（a,b），其導函數內的圖象如圖所示，則函數在區(qū)間（a,b）內極小值點的個數是 （ ） （A）1（B）2 （C）3（D）4 9. 已知函數定義域為，則下列命題： 若為偶函數，則的圖象關于軸對稱. 若為偶函數，則關于直線對稱. 若函數是偶函數，則的圖象關于直線對稱. 若，則則關于直線對稱. 函數和的圖象關于對稱. 其中正確的命題序號是 ( ) A、 B、 C、 D、10. 設是連續(xù)的偶函數，且當x>0時是單調函數，則滿足的所有之和為 （ ）A B C D11某工廠從2000年開始，近八年以來生產某種產品的情況是：前四年年產量的增長速度越來越快，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的產量與時間的函數圖像可能是 ( ) 48yot48yot48yot48yot12 函數在定義域R內可導，若，且當時，設則 （ ）ABCD二.填空題(每小題4分,共16分)13.對任意實數，定義為不大于的最大整數（例如等），設函數，給出下列四個結論：；是周期函數；是偶函數。其中正確結論的是 14定義非空集合的真子集的真子集為的“孫集”，則集合的“孫集”的個數有 個15.若一系列函數的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數為“同族函數”,那么函數解析式為，值域為1,4的“同族函數”共有_個.16.設是定義在上且以3為周期的奇函數，若，則實數的取值范圍是 三.解答題（本大題共6小題。共74分，解答應寫出文字說明。證明過程或運算步驟）17、 對于函數），若，則稱為的“不動點”.若，則稱為）的“穩(wěn)定點”；函數的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，.（1）求證：；（2）若，且，求實數的取值范圍.18.設函數(1)求函數的單調區(qū)間;(2)當時，不等式恒成立,求實數的取值范圍;(3)關于的方程在上恰有兩個相異實根，求的取值范圍.19設函數的定義域為，對于任意實數，總有，且當時，(1)求的值；(2)證明：當時，；(3)證明：在上單調遞減；(4)若，且，求的取值范圍20（本小題滿分14分） 對1個單位質量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質量變?yōu)? 設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度. ()分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; ()若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響. 21（本小題滿分12分 已知二次函數設方程有兩個實數根.()如果，設函數)的對稱軸為,求證：;()如果，且的兩實根相差為2，求實數 的取值范圍.22.定義函數，其導函數記為。（）求證：；（）設，求證：；（）是否存在區(qū)間，使函數在區(qū)間上的值域為？若存在，求出最小的值及相應的區(qū)間；若不存在，請說明理由。參考答案一、選擇題DCCCA DABCD CB 二、填空題13 14 26 15 9 16 三、解答題17 （1）【證明】：若A，則顯然成立；若A，設，并且，于是，即，從而. （2）【解】：A中元素是方程，即的實根.由A，知或 即.中元素是方程，即的實根.由知上方程左邊含有一個因式，即方程可化為因此，要，即方程沒有實根或實根是方程的實根.若沒有實根，則或，由此解得.若有實根，則的實根是的實根。當時有唯一根，檢驗發(fā)現(xiàn)是的根。當時，方程同解，由此解得，再代入得，由此解得.舍去。故的取值范圍是，18. (1)函數定義域為,由得 ；由得則遞增區(qū)間是遞減區(qū)間是。 (2)由（1）知, 在上遞減,在上遞增.又.時, 故時,不等式恒成立. (3)方程 即.記,.由得 由得在上遞減,在上遞增. 為使在上恰好有兩個相異的實根,只須在0，1）和（1，2上各有一個實根,于是 解得19解：(1)令時，得；(2)令，則1，即當時，由于；(3)設，則，由題設知·Oa1·1yaOxxyy在上單調遞減；(4)由已知及(3)得：，顯然，當時，。當時，要使，必須即。故所求的的取值范圍是20 解（1）設方案甲與乙的用水量分別為與，由題設，解得。由得方案乙初次用水量為3，第二次用水量滿足，解得，故即兩種方案的用水量分別為19和。因為時，即。故方案乙的用水量較少。（2）設初次和第二次的用水量分別為與。類似（1）得（*）于是當為定值時，當且僅當時等號成立，此時（不合題意，舍去）或。將代入（*）式得故時總用水量最少，此時第一次與第二次的用水量分別為與最少總用水量是當時，故是增函數，這說明隨著的值的增加，最少總水量增加。21()設于是，（）由知同號，又由于，所以而后者左端看成的函數其正確性是顯然的。故22.【略解】（）證明：令，則由得，且， 是的唯一極小值點，故，因此，有；（）：顯然，且，而，故；（）的最小值為，相應區(qū)間