課時(shí)提升作業(yè)(二十六) 第四章 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積一、選擇題1.有下列四個(gè)命題:(a·b)2=a2·b2;|a+b|>|a-b|;|a+b|2=(a+b)2;若ab,則a·b=|a|·|b|.其中真命題的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)42.(2012·遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是()(A)ab (B)ab(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b3.(2013·渭南模擬)設(shè)向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是實(shí)數(shù),且u=a+tb,則|u|的最小值是()(A) (B)1 (C) (D)4.(2013·南昌模擬)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角的正切值等于-,則x的值為()(A) (B)2(C)-2 (D)-2,5.在ABC中,=1,=2,則AB邊的長(zhǎng)度為()(A)1 (B)3 (C)5 (D)96.向量a=(-1,1),且a與a+2b方向相同,則a·b的范圍是()(A)(1,+) (B)(-1,1)(C)(-1,+) (D)(-,1)7.(2013·南平模擬)設(shè)a,b是非零向量,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖像是一條直線,則必有()(A)ab (B)ab(C)|a|=|b| (D)|a|b|8.已知O是ABC內(nèi)部一點(diǎn),+=0,·=2,且BAC=30°,則AOB的面積為()(A)2 (B)1 (C) (D)9.在ABC中,a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,設(shè)向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若mn,則角A的大小為()(A) (B)(C) (D)10.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,已知點(diǎn)A(1,1)和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)B.且,則向量的坐標(biāo)為()(A)(-,) (B)(-,)(C)(-,) (D)(-,)二、填空題11.(2013·黃山模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,則|b|=.12.如圖,半圓的直徑|AB|=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn),則(+)·的最小值是.13.(2013·杭州模擬)以下命題:若|a·b|=|a|·|b|,則ab;a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影為;若ABC中,a=5,b=8,c=7,則·=20;若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則|2b|>|a+2b|.其中所有真命題的序號(hào)是.14.(能力挑戰(zhàn)題)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為90°.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),若=x+y,其中x,yR,則xy的范圍是.三、解答題15.(2013·晉中模擬)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,=10.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo).(2)設(shè)=(m,2),若3+與垂直,求的坐標(biāo).答案解析1.【解析】選A.設(shè)a,b夾角為,(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2|a|2·|b|2=a2·b2;|a+b|與|a-b|大小不確定;正確;ab,當(dāng)a,b同向時(shí)有a·b=|a|·|b|;當(dāng)a,b反向時(shí)有a·b=-|a|·|b|.故不正確.2.【思路點(diǎn)撥】將所給等式兩邊平方,找到兩個(gè)向量的關(guān)系.【解析】選B.|a+b|=|a-b|a+b|2=|a-b|2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.【變式備選】已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量a-b的夾角為,那么下列結(jié)論中一定成立的是()(A)a=b (B)|a|=|b|(C)ab (D)ab【解析】選B.由條件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】選C.|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2=t2+t+1=(t+)2+,|u|,故選C.4.【解析】選C.a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角等于,a·b=3x-6=cos,cos=.tan=-,cos=-.=-,整理得3x2-20x-52=0.解得x1=-2,x2=.經(jīng)檢驗(yàn)x2=是增根,x1=-2滿足要求.x=-2.5.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算,并結(jié)合解三角形的知識(shí)得到結(jié)果.【解析】選B.過點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為D.由條件得=|cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.故|AB|=|AD|+|DB|=3.6.【解析】選C.a與a+2b同向,可設(shè)a+2b=a(>0),則有b=a.又|a|=,a·b=·|a|2=×2=-1>-1,a·b的范圍是(-1,+),故應(yīng)選C.7.【解析】選A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖像是一條直線,即f(x)的表達(dá)式是關(guān)于x的一次函數(shù).而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2,故a·b=0.又a,b為非零向量,ab,故應(yīng)選A.8.【解析】選D.由+=0得O為ABC的重心,SAOB=SABC.又·=|cos30°=2,得|=4,SABC=|sin30°=1.SAOB=.9.【解析】選B.由mn可得m·n=0,即(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,b2-bc+c2-a2=0.由余弦定理得cosA=,所以A=.10.【解析】選B.依題意設(shè)B(cos,sin),0.則=(1,1),=(cos,sin).因?yàn)?所以·=0,即cos+sin=0,解得=,所以=(-,).【方法技巧】解題時(shí)引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)是解題的關(guān)鍵,進(jìn)而可利用三角函數(shù)的定義求得點(diǎn)B的坐標(biāo),可將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題來解決.11.【解析】50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,|b|=5.答案:512.【思路點(diǎn)撥】設(shè)|PO|=x(0x3),運(yùn)用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識(shí)求解.【解析】設(shè)|PO|=x,則|PC|=3-x(0x3),則(+)·=2·=2·x·(3-x)·cos=2x(x-3)=2(x-)2-.0x3,當(dāng)x=時(shí),(+)·有最小值-.答案:-13.【解析】設(shè)a,b的夾角為,中,由|a·b|=|a|b|cos|=|a|b|,知cos=±1,故=0或=,所以ab,故正確;中a在b方向上的投影為|a|·cos=|a|·=,故正確;中,由余弦定理得cosC=,故·=-·=-5×8×=-20,故錯(cuò)誤.中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,|2b|=|b|+|a+b|b+a+b|=|a+2b|,故錯(cuò)誤.答案:14.【解析】由=x+y,得=x2+y2+2xy·.又|=|=|=1,·=0,1=x2+y22xy,得xy,而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),得x,y0,1,于是0xy.答案:0,15.【解析】(1)設(shè)D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).由題得或D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)或(2,1).(2)3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),3+與垂直,(3+)·=0,m+14=0,m=-14,=(-14,2).【變式備選】在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(-1,2),又點(diǎn)A(8,0),B(n,t),C(ksin,t)(0).(1)若a,且|=|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求向量.(2)若向量與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsin取最大值4時(shí),求·.【解析】(1)可得=(n-8,t),a,·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,則=(2t,t).又|=|,|=8.(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,當(dāng)t=8時(shí),n=24;當(dāng)t=-8時(shí),n=-8.=(24,8)或=(-8,-8).(2)向量與向量a共線,t=-2ksin+16,tsin=(-2ksin+16)sin=-2k(sin-)2+.k>4,0<<1,故當(dāng)sin=時(shí),tsin取最大值,有=4,得k=8.這時(shí),sin=,k=8,tsin=4,得t=8,則=(4,8),·=(8,0)·(4,8)=32.