圓錐曲線一、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫 做方程的曲線.點(diǎn)與曲線的關(guān)系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)0兩條曲線的交點(diǎn) 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則 f1(x0,y0)=0點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2的交點(diǎn) f2(x0,y0) =0方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有 交點(diǎn).2.圓圓的定義點(diǎn)集：MOM=r，其中定點(diǎn)O為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-,-，半徑是.配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程不表示任何圖形.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，MC=r點(diǎn)M在圓C上，MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中MC=.(3)直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相離沒有公共點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來判定.3.橢圓、雙曲線和拋物線橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識(shí)見下表.曲線性質(zhì)橢 圓雙曲線拋物線軌跡條件點(diǎn)集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a點(diǎn)集：MMF1-MF2.=±2a,F2F22a.點(diǎn)集M MF=點(diǎn)M到直線l的距離.圓 形標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)y2=2px(p0)頂 點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)軸對(duì)稱軸x=0,y=0長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸x=0,y=0實(shí)軸長(zhǎng)：2a 虛軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸y=焦 點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在實(shí)軸上F(，0)焦點(diǎn)對(duì)稱軸上焦 距F1F2=2c，c=F1F2=2c,c=準(zhǔn) 線x=±準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.x=±準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.離心率e=,0e1e=,e1e=1 4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線5.坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn) 的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移 坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸.坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是9x,y)，在新坐標(biāo)系x Oy中的坐標(biāo)是(x,y).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則 x=x+h x=x-h(1) 或(2) y=y+k y=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方 程焦 點(diǎn)焦 線對(duì)稱軸橢圓+=1(±c+h,k)x=±+hx=hy=k+ =1(h,±c+k)y=±+kx=hy=k雙曲線-=1(±c+h,k)=±+kx=hy=k-=1(h,±c+h)y=±+kx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h二、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn)說明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) .特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準(zhǔn)確無誤.另外，要求會(huì)判斷 曲線間有無交點(diǎn)，會(huì)求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).三、 考綱中對(duì)圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：. 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).橢圓的參數(shù)方程；. 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；考試要求：. (1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。四對(duì)考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3題(1個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)22分左右, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查. 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數(shù)學(xué)高考中的壓軸題，綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，在復(fù)習(xí)應(yīng)充分重視。求圓錐曲線的方程【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查識(shí)圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對(duì)稱問題、弦長(zhǎng)問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置.定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0,n0).定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小.【例題】【例1】 雙曲線=1(bN)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則b2=_.解：設(shè)F1(c,0）、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|250+2c2,又|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依雙曲線定義，有|PF1|PF2|=4,依已知條件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2,又c2=4+b2,b2,b2=1.答案：1【例2】 已知圓C1的方程為，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減，得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例3】 過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設(shè)l的方程為y=x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x,y),由點(diǎn)(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.解法3：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線中點(diǎn)矛盾。故可設(shè)直線，則， 所以所求的橢圓方程為：【例4】 如圖，已知P1OP2的面積為，P為線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程.解：以O(shè)為原點(diǎn)，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得.兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點(diǎn)P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),則由點(diǎn)P分所成的比=2,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9故雙曲線方程為=1.【例5】 過橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y00，試求直線AB方程；(2) 若橢圓的短軸長(zhǎng)為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2， y2)切線PA：，PB：P點(diǎn)在切線PA、PB上，直線AB的方程為(2)在直線AB方程中，令y=0，則M(，0)；令x=0，則N(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25, b2 =16橢圓C方程： （注：不剔除xy0，可不扣分）(3) 假設(shè)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足PAPB，連接OA、OB由|PA|=|PB|知，四邊形PAOB為正方形，|OP|=|OA| 又P點(diǎn)在橢圓C上 由知xa>b>0 a2 b2>0(1)當(dāng)a22b2>0，即a>b時(shí)，橢圓C上存在點(diǎn)，由P點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直；(2)當(dāng)a22b2<0，即b<a<b時(shí)，橢圓C上不存在滿足條件的P點(diǎn)【例6】 已知橢圓C的焦點(diǎn)是F1（，0）、F2（，0），點(diǎn)F1到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為，過F2點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，使得|F2B|=3|F2A|. （1）求橢圓C的方程；（2）求直線l的方程.解：（1）依題意，橢圓中心為O（0，0），點(diǎn)F1到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，a2=b2+c2=1+3=4所求橢圓方程為（2）設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線與l交于點(diǎn)P，作AM，AN，垂足分別為M、N. 由橢圓第二定義，得同理|BF2|=e|BN|由RtPAMRtPBN，得9分的斜率.直線l的方程【例7】 已知點(diǎn)B（1，0），C（1，0），P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（1）求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；（2）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE，且ADAE，判斷：直線DE是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.（3）已知點(diǎn)A（m,2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1·k2=2.求證：直線DE過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).解：（1）設(shè)【例8】 已知曲線，直線l過A（a，0）、B（0，b）兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到l的距離是（）求雙曲線的方程；（）過點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，若，求直線m的方程.解：（）依題意， 由原點(diǎn)O到l的距離為，得 又 故所求雙曲線方程為 （）顯然直線m不與x軸垂直，設(shè)m方程為y=kx1，則點(diǎn)M、N坐標(biāo)（）、（）是方程組 的解消去y，得 依設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系，知 = = =23，k=±當(dāng)k=±時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根故直線l方程為 【例9】 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）若已知，、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由已知可得： ， 所求的橢圓方程為 . (2)方法一： 由題知點(diǎn)D、M、N共線，設(shè)為直線m，當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線m的方程為 y = k x +3 代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 由判別式 ，得. 再設(shè)M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，則一方面有，得 另一方面有 ， 將代入式并消去 x 2可得，由前面知， ，解得 . 又當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證：,所以 為所求。方法二:同上得 設(shè)點(diǎn)M (3cos，2sin)，N (3cos,2sin) 則有由上式消去并整理得, 由于 ， 解得為所求. 方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)D的距離的最大值為5，最小值為1.進(jìn)而推得的取值范圍為?！厩髨A錐曲線的方程練習(xí)】一、選擇題1已知直線x+2y3=0與圓x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OPOQ，則m等于( )A.3B.3C.1D.12中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )二、填空題3直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若過點(diǎn)P且以雙曲線12x24y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為_.4已知圓過點(diǎn)P(4，2)、Q(1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，則該圓的方程為_.三、解答題5已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng).7已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案一、1.解析：將直線方程變?yōu)閤=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(32y)2+y2+(32y)+m=0.整理得5y220y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4.又P、Q在直線x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y26(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9=m3=0，故m=3.答案：A2.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為： =1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線3xy2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、3.解析：所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，只需在直線l上找一點(diǎn)P.使|PF1|+|PF2|最小，利用對(duì)稱性可解.答案： =14.解析：設(shè)所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=r2則有 由此可寫所求圓的方程.答案：x2+y22x12=0或x2+y210x8y+4=0三、5.解：|MF|max=a+c,|MF|min=ac,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,設(shè)橢圓方程為設(shè)過M1和M2的直線方程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點(diǎn)為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=x0+m=.代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.6.解：以拱頂為原點(diǎn)，水平線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(10，4）、(10，4）設(shè)拋物線方程為x2=2py,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=2p×(4),解得p=12.5,于是拋物線方程為x2=25y.由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，E點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=0.16,從而|EE|=(0.16)(4)=3.84.故最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)應(yīng)為3.84米.7.解：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0.化簡(jiǎn)得=1,故直線AB的方程為y=x+3,代入橢圓方程得3x212x+182b2=0.有=24b2720,又|AB|=,得，解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.1.直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例題】【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例2】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1·x2=m2,|MN|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào).故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.【例3】 已知雙曲線C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()當(dāng)2k2=0,即k=±時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k±時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k±,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9×=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得9×4+25y0()=0(k0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB(B與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得y0,所以m.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4)(k0)將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)225×9k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).【例5】 已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切過點(diǎn)作斜率為的直線，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線段上，又滿足（1）求雙曲線的漸近線的方程；（2）求雙曲線的方程；（3）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：下面我們來求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分又由題，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的問題時(shí)，把直線投影到坐標(biāo)軸上（也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡(jiǎn)化問題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）【例6】 設(shè)拋物線過定點(diǎn)，且以直線為準(zhǔn)線（1）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍解：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為由拋物線的定義可知：所以，所以，拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程為： （2）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手顯然，直線與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得：由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，即：（）又線段恰被直線平分，所以，所以，代入（）可解得：下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點(diǎn)在中，令，可解得：將點(diǎn)代入，可得：所以，從以上解題過程來看，求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：兩式相減得：BB又由于，代入上式得：又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線上，所以，所以，由點(diǎn)在線段BB上（B、B為直線與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，也即：所以，點(diǎn)評(píng)：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，對(duì)于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便涉及弦中點(diǎn)問題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法從構(gòu)造不等式的角度來說，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價(jià)的【例7】 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)又M是其準(zhǔn)線上一點(diǎn)試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列證明依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設(shè)為，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過點(diǎn)F（，0）”得： 將上式代入拋物線中得：可知又依“及”可知因此而 故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列【例8】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(km0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。解：（1） =0 得P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(13k2)x26kmx3m23=0(*)顯然13k20 =（6km）24(3m23)=12(m2+1)3k2>0設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，1)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k21故m、k滿足，消去k2得：m24m>0解得：m<0或m>4又4m=3k21>1 m>故m.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )A.2B. C.D. 2拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3已知兩點(diǎn)M(1，)、N(4，)，給出下列曲線方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_.4正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_.5在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_.三、解答題6已知拋物線y2=2px(p0),過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值.7已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動(dòng)直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論.8已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0k1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).直線與圓錐曲線參考答案一、1.解析：弦長(zhǎng)|AB|=.答案：C2.解析：解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗(yàn)證即可.答案：B二、3.解析：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點(diǎn).答案：4.解析：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出|CD|的長(zhǎng)，利用|CD|的長(zhǎng)等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長(zhǎng).答案：18或505.解析：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x15.答案：8xy15=0三、6.解：(1)設(shè)直線l的方程為：y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而SNAB=當(dāng)a有最大值時(shí)，S有最大值為p2.7.解：(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=164×280,所求直線l不存在.8.解：(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=±1.即漸近線為y=±x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，).a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2.(2)設(shè)直線l：y=k(x)(0k1,依題意B點(diǎn)在平行的直線l上，且l與l間的距離為.設(shè)直線l：y=kx+m,應(yīng)有,化簡(jiǎn)得m2+2km=2.把l代入雙曲線方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、兩式相減得k=m,代入得m2=,解設(shè)m=,k=,此時(shí)x=,y=.故B(2,).直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.1.直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例題】【例9】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2又22,將m+n=2,代入得m·n=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例10】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1·x2=m2,|MN|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào).故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.【例11】 已知雙曲線C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)。(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()當(dāng)2k2=0,即k=±時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k±時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k±,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.【例12】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9×=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得9×4+25y0()=0(k0)即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB(B與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得y0,所以m.解法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4)(k0)將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)225×9k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解法一).【例13】 已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切過點(diǎn)作斜率為的直線，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線段上，又滿足（1）求雙曲線的漸近線的方程；（2）求雙曲線的方程；（3）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（3）由題可設(shè)橢圓的方程為：下面我們來求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分又由題，這個(gè)軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點(diǎn)評(píng)：解決直線與圓錐曲線的問題時(shí)，把直線投影到坐標(biāo)軸上（也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡(jiǎn)化問題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）【例14】 設(shè)拋物線過定點(diǎn)，且以直線為準(zhǔn)線（1）求拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且線段恰被直線平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍解：（1）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，則其焦點(diǎn)為由拋物線的定義可知：所以，所以，拋物線頂點(diǎn)的軌跡的方程為： （2）因?yàn)槭窍襇N的垂直平分線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由MN所唯一確定所以，要求的取值范圍，還應(yīng)該從直線與軌跡相交入手顯然，直線與坐標(biāo)軸不可能平行，所以，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得：由于與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，所以，即：（）又線段恰被直線平分，所以，所以，代入（）可解得：下面，只需找到與的關(guān)系，即可求出的取值范圍由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點(diǎn)在中，令，可解得：將點(diǎn)代入，可得：所以，從以上解題過程來看，求的取值范圍，主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關(guān)系，二是構(gòu)造一個(gè)有關(guān)參量的不等式從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二設(shè)弦MN的中點(diǎn)為，則由點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，可知：兩式相減得：BB又由于，代入上式得：又點(diǎn)在弦MN的垂直平分線上，所以，所以，由點(diǎn)在線段BB上（B、B為直線與橢圓的交點(diǎn)，如圖），所以，也即：所以，點(diǎn)評(píng)：解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，對(duì)于消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便涉及弦中點(diǎn)問題，利用韋達(dá)定理或運(yùn)用平方差法時(shí)（設(shè)而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法從構(gòu)造不等式的角度來說，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)”是等價(jià)的【例15】 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)又M是其準(zhǔn)線上一點(diǎn)試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列證明依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設(shè)為，點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過點(diǎn)F（，0）”得： 將上式代入拋物線中得：可知又依“及”可知因此而 故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列【例16】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點(diǎn)P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(km0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。解：（1） =0 得P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(13k2)x26k