數(shù)學(xué)備考之放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種： 一、裂項放縮 例1.(1)求的值; (2)求證:.解析:(1)因為,所以 (2)因為,所以奇巧積累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求證: (2)求證: (3)求證: (4) 求證：解析:(1)因為,所以 (2) (3)先運用分式放縮法證明出,再結(jié)合進行裂項,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易經(jīng)過裂項得到再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以例3.求證: 解析:一方面:因為,所以 另一方面: 當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,所以綜上有 例4.(2008年全國一卷) 設(shè)函數(shù).數(shù)列滿足.設(shè)，整數(shù).證明:. 解析:由數(shù)學(xué)歸納法可以證明是遞增數(shù)列,故存在正整數(shù),使,則,否則若,則由知,因為,于是例5.已知,求證: . 解析:首先可以證明: 所以要證 只要證: 故只要證,即等價于,即等價于而正是成立的,所以原命題成立.例6.已知,求證:.解析:所以 從而例7.已知,求證:證明: ,因為 ,所以 所以二、函數(shù)放縮 例8.求證：. 解析:先構(gòu)造函數(shù)有,從而因為 所以 例9.求證:(1) 解析:構(gòu)造函數(shù),得到,再進行裂項,求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: ,例10.求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然本題的證明還可以運用積分放縮如圖,取函數(shù),首先:,從而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有,所以有,所以綜上有例11.求證:和.解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明例12.求證: 解析:,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式:(加強命題) 例13.證明: 解析:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以 例14. 已知證明. 解析: ,然后兩邊取自然對數(shù),可以得到然后運用和裂項可以得到答案)放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即 例15.(2008年廈門市質(zhì)檢) 已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立. (I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； (II)當(dāng)； (III)已知不等式時恒成立， 求證： 解析:(I),所以函數(shù)上是增函數(shù) (II)因為上是增函數(shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)若 解析:設(shè)函數(shù) 函數(shù)）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的最小值為，即總有而即令則 三、分式放縮 姐妹不等式:和 記憶口訣”小者小,大者大” 解釋:看b,若b小,則不等號是小于號,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成為和解析: 利用假分數(shù)的一個性質(zhì)可得 即 例20.證明:解析: 運用兩次次分式放縮: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分類放縮 例21.求證: 解析: 例22.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編) 在平面直角坐標系中, 軸正半軸上的點列與曲線（0）上的點列滿足，直線在x軸上的截距為.點的橫坐標為,.(1)證明>>4，; (2)證明有，使得對都有<. 解析:(1) 依題設(shè)有：，由得： ,又直線在軸上的截距為滿足 顯然，對于，有 (2)證明：設(shè)，則 設(shè)，則當(dāng)時，。所以，取，對都有：故有<成立。 例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù)，若的定義域為1，0，值域也為1，0.若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，問是否存在正常數(shù)A，使得對于任意正整數(shù)都有？并證明你的結(jié)論。 解析:首先求出,故當(dāng)時,因此，對任何常數(shù)A，設(shè)是不小于A的最小正整數(shù)，則當(dāng)時,必有.故不存在常數(shù)A使對所有的正整數(shù)恒成立. 例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為,設(shè)內(nèi)整數(shù)坐標點的個數(shù)為.設(shè),當(dāng)時,求證:. 解析:容易得到,所以,要證只要證,因為,所以原命題得證.五、迭代放縮 例25. 已知,求證:當(dāng)時, 解析:通過迭代的方法得到,然后相加就可以得到結(jié)論 例26. 設(shè),求證:對任意的正整數(shù)k,若kn恒有:|Sn+kSn|< 解析: 又 所以 六、借助數(shù)列遞推關(guān)系 例27.求證: 解析: 設(shè)則,從而,相加后就可以得到所以 例28. 求證: 解析: 設(shè)則,從而,相加后就可以得到 例29. 若,求證: 解析: 所以就有 七、分類討論 例30.已知數(shù)列的前項和滿足證明：對任意的整數(shù)，有 解析:容易得到, 由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當(dāng)且為奇數(shù)時 （減項放縮），于是 當(dāng)且為偶數(shù)時當(dāng)且為奇數(shù)時（添項放縮）由知由得證。 八、線性規(guī)劃型放縮 例31. 設(shè)函數(shù).若對一切，求的最大值。 解析:由知 即 由此再由的單調(diào)性可以知道的最小值為，最大值為因此對一切，的充要條件是， 即，滿足約束條件，由線性規(guī)劃得，的最大值為5 九、均值不等式放縮 例32.設(shè)求證 解析: 此數(shù)列的通項為，即注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！ 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 例33.已知函數(shù)，若，且在0，1上的最小值為，求證：解析: 例34.已知為正數(shù)，且，試證：對每一個，.解析: 由得，又，故，而，令，則=，因為，倒序相加得=，而，則=，所以，即對每一個，. 例35.求證解析: 不等式左=，原結(jié)論成立. 例36.已知,求證: 解析: 經(jīng)過倒序相乘,就可以得到 例37.已知,求證: 解析: 其中:,因為 所以 從而,所以. 例38.若,求證:. 解析: 因為當(dāng)時,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號. 所以 所以所以 例39.已知,求證:. 解析:. 例40.已知函數(shù)f(x)=x2(1)k·2lnx(kN*).k是奇數(shù), nN*時,求證: f(x)n2n1·f(xn)2n(2n2). 解析: 由已知得，(1)當(dāng)n=1時，左式=右式=0.不等式成立.(2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以綜上，當(dāng)k是奇數(shù)，時，命題成立 例41. （2007年東北三校）已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時的取值范圍； （2）令求證： 例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù),.對任意正數(shù),證明：解析:對任意給定的,由,若令 ，則 ,而 （一）、先證；因為，又由 ，得 所以（二）、再證；由、式中關(guān)于的對稱性，不妨設(shè)則（）、當(dāng)，則，所以，因為 ，此時 （）、當(dāng)，由得 ,，因為 所以 同理得 ，于是 今證明 , 因為 ，只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)，此為顯然 因此得證故由得 綜上所述，對任何正數(shù)，皆有 例43.求證:解析:一方面:(法二) 另一方面:十、二項放縮 , 例44. 已知證明 解析: ，即 例45.設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析: 引入一個結(jié)論：若則（證略）整理上式得（）以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。 注：上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時是下述試題的背景：已知是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。 當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分數(shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文1。 例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求證：解析: 因為a+b=1,a>0,b>0,可認為成等差數(shù)列，設(shè)，從而 例47.設(shè)，求證.解析: 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證. 例48.求證:. 解析:參見上面的方法,希望讀者自己嘗試!)例42.(2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù)，滿足：對任意，都有；對任意都有.（I）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；（II）求；（III）令，試證明：. 解析:本題的亮點很多,是一道考查能力的好題. (1)運用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性: 因為,所以可以得到, 也就是,不妨設(shè),所以,可以得到,也就是說為上的單調(diào)增函數(shù). (2)此問的難度較大,要完全解決出來需要一定的能力! 首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很足,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了! 由(1)可知,令,則可以得到,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 接下來要運用迭代的思想: 因為,所以, , 在此比較有技巧的方法就是: ,所以可以判斷 當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論,所以還可以列項的方法,把所有項數(shù)盡可能地列出來,然后就可以得到結(jié)論. 所以,綜合有= (3)在解決的通項公式時也會遇到困難. ,所以數(shù)列的方程為,從而, 一方面,另一方面 所以,所以,綜上有.例49. 已知函數(shù)f(x)的定義域為0,1，且滿足下列條件： 對于任意0,1，總有，且； 若則有（）求f(0)的值；（）求證：f(x)4；（）當(dāng)時，試證明：.解析: （）解：令，由對于任意0,1，總有， 又由得即 （）解：任取且設(shè) 則 因為，所以，即 . 當(dāng)0,1時，. （）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1） 當(dāng)n=1時，不等式成立；（2） 假設(shè)當(dāng)n=k時，由 得即當(dāng)n=k+1時，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式對一切正整數(shù)都成立.于是，當(dāng)時，而0,1，單調(diào)遞增 所以， 例50. 已知： 求證：解析:構(gòu)造對偶式：令 則 又 （ 十一、積分放縮利用定積分的保號性比大小 保號性是指，定義在上的可積函數(shù)，則. 例51.求證：. 解析: ， 時，. 利用定積分估計和式的上下界定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個主要背景是計算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來估計小矩形的面積和.例52. 求證：，. 解析: 考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分.如圖，顯然-對求和，. 例53. 已知.求證：. 解析:考慮函數(shù)在區(qū)間上的定積分.-. 例54. （2003年全國高考江蘇卷）設(shè)，如圖，已知直線及曲線：，上的點的橫坐標為（）.從上的點作直線平行于軸，交直線于點，再從點作直線平行于軸，交曲線于點.的橫坐標構(gòu)成數(shù)列.（）試求與的關(guān)系，并求的通項公式； （）當(dāng)時，證明； （）當(dāng)時，證明.解析:（過程略）.證明（II）：由知，.當(dāng)時，.證明（）：由知.恰表示陰影部分面積，顯然 .奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等”證明，如：；. 十二、部分放縮(尾式放縮) 例55.求證: 解析: 例56. 設(shè)求證： 解析: 又（只將其中一個變成，進行部分放縮），于是 例57.設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時證明對所有 有； 解析: 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立即，則當(dāng)時，成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項，可得 注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論 十三、三角不等式的放縮 例58.求證:. 解析:(i)當(dāng)時, (ii)當(dāng)時,構(gòu)造單位圓,如圖所示: 因為三角形AOB的面積小于扇形OAB的面積 所以可以得到 當(dāng)時 所以當(dāng)時有 (iii)當(dāng)時, ,由(ii)可知: 所以綜上有 十四、使用加強命題法證明不等式 (i)同側(cè)加強 對所證不等式的同一方向(可以是左側(cè),也可以是右側(cè))進行加強.如要證明,只要證明,其中通過尋找分析,歸納完成.例59.求證:對一切,都有.解析: 從而 當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如: 所以. (ii)異側(cè)加強(數(shù)學(xué)歸納法) (iii)雙向加強 有些不等式,往往是某個一般性命題的特殊情況,這時,不妨”返璞歸真”,通過雙向加強還原其本來面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為: 欲證明,只要證明:. 例60.已知數(shù)列滿足:,求證: 解析: ,從而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以綜上有引申:已知數(shù)列滿足:,求證: .解析:由上可知,又,所以 從而 又當(dāng)時,所以綜上有. 同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數(shù)列,.記,.求證:當(dāng)時.(1); (2); (3). 解析:(1),猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (i)當(dāng)時,結(jié)論成立; (ii)假設(shè)當(dāng)時,則時, 從而,所以 所以綜上有,故 (2)因為則, ,相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因為,從而,有,所以有 ,從而,所以,所以 所以綜上有. 例61.(2008年陜西省高考試題)已知數(shù)列的首項, (1)證明:對任意的,; (2)證明:. 解析:(1)依題,容易得到,要證,即證即證,設(shè)所以即證明從而,即,這是顯然成立的.所以綜上有對任意的, (法二) ,原不等式成立 (2)由(1)知，對任意的，有取，則原不等式成立 十四、經(jīng)典題目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函數(shù).若在區(qū)間上的最小值為,令.求證:. 證明:首先:可以得到.先證明 (方法一) 所以 (方法二)因為,相乘得: ,從而. (方法三)設(shè)A=,B=,因為A<B,所以A2<AB, 所以,從而. 下面介紹幾種方法證明 (方法一)因為,所以,所以有 (方法二),因為,所以 令,可以得到,所以有 (方法三)設(shè)所以,從而,從而又,所以 (方法四)運用數(shù)學(xué)歸納法證明: (i)當(dāng)時,左邊=,右邊=顯然不等式成立; (ii)假設(shè)時,則時, ,所以要證明,只要證明,這是成立的.這就是說當(dāng)時,不等式也成立,所以,綜上有 探究2.(2008年全國二卷)設(shè)函數(shù).如果對任何，都有，求的取值范圍 解析:因為,所以 設(shè),則, 因為,所以 (i)當(dāng)時, 恒成立,即,所以當(dāng)時, 恒成立. (ii)當(dāng)時,因此當(dāng)時,不符合題意. (iii)當(dāng)時,令，則故當(dāng)時,. 因此在上單調(diào)增加.故當(dāng)時, 即.于是，當(dāng)時， 所以綜上有的取值范圍是 變式：若,其中且,求證:.證明：容易得到由上面那個題目知道就可以知道同型衍變:(2006年全國一卷)已知函數(shù) .若對任意 x(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍. 解析:函數(shù)f (x)的定義域為(-, 1)(1, +), 導(dǎo)數(shù)為. () 當(dāng)0< a2時, f (x) 在區(qū)間 (-, 1) 為增函數(shù), 故對于任意x(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時a滿足要求. () 當(dāng)a>2時, f (x) 在區(qū)間 (-,)為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點, 比如取, 就有 x0(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而這時a不滿足要求.() 當(dāng)a0時, 對于任意x(0, 1) 恒有 , 這時a滿足要求.綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a2.