第64講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布(時(shí)間：45分鐘分值：100分)12013·漳州模擬 已知X的分布列為X101P設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A. B4 C1 D122013·濰坊模擬 設(shè)X為隨機(jī)變量，XB，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)2，則P(X2)等于()A. B. C. D.32013·蚌埠質(zhì)檢 若N(2，2)，且P(4<<2)0.3，則P(>0)的值為()A0.2 B0.3 C0.7 D0.842013·鄭州檢測(cè) 馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？?。空?qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E_52013·西安遠(yuǎn)東一中月考 某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100 B200C300 D4006某個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組有女同學(xué)3名，男同學(xué)2名，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組中任選3名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記X為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的男同學(xué)與女同學(xué)的人數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望為()A B.C. D72013·臨沂二模 某校在模塊考試中約有1 000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績(jī)N(90，a2)(a>0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A200 B300C400 D60082013·贛州質(zhì)檢 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c(0，1)，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計(jì)其他得分情況)，則ab的最大值為()A. B.C. D.9有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，則X的數(shù)學(xué)期望是()A7.8 B8C16 D15.610某高校進(jìn)行自主招生面試時(shí)的程序如下：共設(shè)3道題，每道題答對(duì)給10分、答錯(cuò)倒扣5分(每道題都必須回答，但相互不影響)設(shè)某學(xué)生對(duì)每道題答對(duì)的概率都為，則該學(xué)生在面試時(shí)得分的期望值為_分11袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，每次摸取一個(gè)球記下顏色后放回，現(xiàn)連續(xù)取球8次，記取出紅球的次數(shù)為X，則X的方差D(X)_122013·寧波一模 已知某隨機(jī)變量的概率分布列如下表，其中x>0，y>0，隨機(jī)變量的方差D，則xy_.123Pxyx13.2013·浙江重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體摸底 某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的10%，公司應(yīng)要求投保人交的保險(xiǎn)金為_元14(10分)2013·武漢武昌區(qū)調(diào)研 某校從高二年級(jí)4個(gè)班中選出18名學(xué)生參加全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，學(xué)生來源人數(shù)如下表：班別高二(1)班高二(2)班高二(3)班高二(4)班人數(shù)4635(1)從這18名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名，求兩人來自同一個(gè)班的概率；(2)若要求從18位同學(xué)中選出兩位同學(xué)介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)其中來自高二(1)班的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)15(13分)2013·北京海淀區(qū)二模 某公司準(zhǔn)備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務(wù)，現(xiàn)有A，B兩個(gè)項(xiàng)目可供選擇(i)投資A項(xiàng)目一年后獲得的利潤(rùn)X1(萬元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)12；(ii)投資B項(xiàng)目一年后獲得的利潤(rùn)X2(萬元)與B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且在4月和8月進(jìn)行價(jià)格調(diào)整的概率分別為p(0<p<1)和1p.經(jīng)專家測(cè)算評(píng)估：B項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與X2的關(guān)系如下表所示：X(次)012X2(萬元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值；(2)求X2的分布列；(3)若E(X1)<E(X2)，則選擇投資B項(xiàng)目，求此時(shí)p的取值范圍16(12分)2013·江蘇卷 設(shè)為隨機(jī)變量從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E.課時(shí)作業(yè)(六十四)【基礎(chǔ)熱身】1A解析 E(X)，E(Y)E(2X3)2E(X)33，故選A.2D解析 XB，E(X)2，即n6，P(X2)C，故選D.3A解析 由隨機(jī)變量N(2，2)，則其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x2對(duì)稱P(4<<2)0.3，P(2<<0)P(4<<2)0.3，P(>0)1P(2<<0)P(4<<2)0.2，故選A.42解析 設(shè)“？”處數(shù)值為t，則“！”處的數(shù)值為12t，所以Et2(12t)3t2.【能力提升】5B解析 記“不發(fā)芽的種子數(shù)為”，則B(1 000，0.1)，所以E1 000×0.1100，而X2，則E(X)E(2)2E200，故選B.6A解析 X的可能取值為3，1，1，P(X3)，P(X1)，P(X1)，所以E(X)(3)×(1)×1×，故選A.7A解析 由數(shù)學(xué)考試成績(jī)N(90，a2)，則其正態(tài)曲線關(guān)于直線x90對(duì)稱又成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，由對(duì)稱性知，成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的1，此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有1 000×200(人)，故選A.8D解析 設(shè)投籃得分為隨機(jī)變量X，則X的分布列為X320PabcE(X)3a2b22，所以ab，當(dāng)且僅當(dāng)3a2b時(shí)，等號(hào)成立，故選D.9A解析 X的取值為6，9，12，相應(yīng)的概率P(X6)，P(X9)，P(X12)，E(X)6×9×12×7.8.1015解析 設(shè)面試時(shí)得分為隨機(jī)變量，由題意，的取值可以是15，0，15，30，則P(15)13，P(0)C12·，P(15)C1·2，P(30)3，E15×0×15×30×15.112解析 每次取球時(shí)，紅球被取出的概率為，8次取球看作8次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，紅球出現(xiàn)的次數(shù)XB，故D(X)8××2.12.解析 由分布列性質(zhì)，得2xy1，E4x2y2.又D，即D(1)2x12·x，解得x，y1，故xy.13(0.1p)a解析 設(shè)要求投保人交x元，公司的收益額作為隨機(jī)變量，則P(x)1p，P(xa)p，Ex(1p)(xa)pxap，即xap0.1a，解得x(0.1p)a.14解：(1)“從這18名同學(xué)中隨機(jī)選出兩名，兩人來自于同一個(gè)班”記作事件A，則P(A).(2)X的所有可能取值為0，1，2.P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列為X012PE(X)0×1×2×.15解：(1)由題意得：解得a0.5，b0.1，(2)X2的可能取值為4.12，11.76，20.40.P(X24.12)(1p)1(1p)p(1p)，P(X211.76)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(X220.40)p(1p)所以X2的分布列為X24.1211.7620.40Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得：E(X2)4.12p(1p)11.76p2(1p)220.40p(1p)p2p11.76.因?yàn)镋(X1)<E(X2)，所以12<p2p11.76，解得0.4<p<0.6.當(dāng)選擇投資B項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍是(0.4，0.6)【難點(diǎn)突破】16解：(1)若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)，過任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，所以共有8C對(duì)相交棱，因此P(0).(2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對(duì)，故P()，于是P(1)1P(0)P()1，所以隨機(jī)變量的分布列是01P因此E1××.