化抽象為具體-抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化方法 抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則的函數(shù)問題。對考查學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，有著十分重要的作用。2005高考北京卷、遼寧卷、廣東卷等各有一個抽象函數(shù)解答題，同樣2006高考重慶卷、遼寧卷、安徽卷等也出現(xiàn)抽象函數(shù)。化抽象為具體,聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。一、數(shù)形結(jié)合使抽象函數(shù)具體一般地講，抽象函數(shù)的圖象為示意圖居多，有的示意圖可能只能根據(jù)題意作出n個孤立的點(diǎn)，但通過示意圖卻使抽象變形象化，有利于觀察、對比、減少推理、減小計(jì)算量等好處。例1、設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋舢?dāng)x時，是增函數(shù)且f(2)=o求不等式x的解。分析：f(x)的圖像如圖所示x>0時2<xx<0時-2<x例2、已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有 4個不同的實(shí)根，求這些實(shí)根之和。分析：由f（2+x）=f（2-x）知直線x=2是函數(shù)圖象的對稱軸，又f（x）=0有四根，現(xiàn)從大到小依次設(shè)為x、x、x、x，則x與x，x與x均關(guān)于x=2對稱，x+x= x+x=2×2=4， x+x+x+x=8。評注：一般地，若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），則直線x=a是函數(shù)圖象的對稱軸，利用對稱性，數(shù)形結(jié)合，可使抽象函數(shù)問題迎刃而解。二、利用單調(diào)性定義使問題具體加上函數(shù)符號f即為“穿”，去掉函數(shù)符號f即為“脫”。對于有些抽象函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)對函數(shù)符號的“穿脫”，以達(dá)到簡化的目的。例3已知f(x)是定義在（0，）上的增函數(shù)，且f()=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等式。f(x+5)- f()<2分析：由f(6)=1，f()=f(x)-f(y)得：f()=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。而 f(x+5)- f()<2“穿”f號得f(x+5)- f()<f(36)。即f(<f(36)又根據(jù)f(x)是定義在（0，）上的增函數(shù)，“脫”得x。在結(jié)合函數(shù)的定義域可得：0<x<4三、類比模型使解題思路具體模型，就是根據(jù)題目給定的關(guān)系大膽猜想抽象函數(shù)的生成原始模型，作出目標(biāo)猜想，利用模型函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去探索解題方法尤其對選擇題或填空題中抽象函數(shù)也可賦于具體的背景函數(shù)以幫助作答。對于解答題則可以起到啟迪思路并起驗(yàn)證作用。例4、已知函數(shù)f（x）(x0)滿足f(xy)=f(x)+f(y), f()=1（1）求證：f(1)=f(-1)=0；（2）求證：f(x)為偶函數(shù)；（3）若f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，解不等式f(x)+f(x+5)2。分析：因?yàn)槎x域?yàn)?-,0)(o,+)，所以由f(x)=logax(0a1）理解題意顯然不當(dāng)，但是只要稍加變通，可以發(fā)現(xiàn)用f(x)=loga|x理解題意較為恰當(dāng)，第（3）小題解不等式就可與解對數(shù)不等式類比處理。（1）令x=y=1得f(1)=0，令x=y= -1得f(-1)=0；（2）令y= -1得f(-x)=f(x)；（3）f(6)= f()+f() =2f(x)為偶函數(shù)，f（x）+f（x+5)=f（|x|）+f（|x+5 |）=f（|x(x+5)|）f（6）。o<|x(x+5)| 6 例4、已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x、y滿足f(0)0，f(x+y)=f(x)(y)，且當(dāng)x0時，f（x）1，求證：（1）當(dāng)x0時，0f（x）1；（2）f(x)在xR上是減函數(shù)。分析：由f（x）= ax(0a1）理解題意。（1）令x=y=0得f（0）=f 2（0），又f（0）0，f（0）=1，再令y=-x得f（x）（-x）=1，當(dāng)時x0時，f（-x）1，0f（x）1；（2）受指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性啟發(fā)得，x0時，f（x）1；x0時，0f（x）1；x=0時，f（x）0，f（x）0。又f(x+y)=f(x)f(y), (x、yR) ,設(shè)x1x2，x+y= x1 ,x= x2則f(x1-x2)1，f(x2)0f(x1)f(x2),因此，f(x)在xR上是減函數(shù)。四、賦值策略使問題具體抽象函數(shù)常常以函數(shù)方程的形式出現(xiàn)，解決這類問題的時候讓變量取一些特殊值或特殊式，從而使問題解決，并具有一定的規(guī)律性。例5如果且，則（ ）A. 1002 B. 1003 C. 2004 D. 2006分析：所求的是函數(shù)值分式的和，從已知式變形知函數(shù)值商等于自變量值差的函數(shù)。1003個解：例6 設(shè)f(x)是區(qū)間(0,1)上的函數(shù)，且同時滿足：對任意xÎ(0,1)，恒有f(x)>0；對于任意,恒有+£2.試證明：（I）對任意xÎ(0,1)都有；（II）對任意都有.解：（）令，由知+£2，由知+³2，+=2.上式取等號時=1，故. （）由已知及（）得，+，同理，.例7已知定義在R上的函數(shù)滿足：（1） 值域?yàn)?，且?dāng)時，（2）對于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，均滿足：試回答下列問題：（）試求的值；（）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（）若函數(shù)存在反函數(shù)，求證：講解：（）在中，令，則有即：也即：由于函數(shù)的值域?yàn)?，所以，所以（）函?shù)的單調(diào)性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（）這個問題實(shí)際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關(guān)系由于，所以，在中，令，得所以，函數(shù)為奇函數(shù)故（）式成立所以，任取，且，則，故且所以，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減（）由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，由原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知：也為奇函數(shù)；在上單調(diào)遞減；且當(dāng)時，為了證明本題，需要考慮的關(guān)系式在（）式的兩端，同時用作用，得：，令，則，則上式可改寫為：不難驗(yàn)證：對于任意的，上式都成立（根據(jù)一一對應(yīng)）這樣，我們就得到了的關(guān)系式這個式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項(xiàng)相消的方法化簡求證式的左端事實(shí)上，由于，所以，所以，點(diǎn)評：一般來說，涉及函數(shù)奇偶性的問題，首先應(yīng)該確定的值