考點50 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差一、填空題1.（2012·湖南高考文科·13）如圖所示是某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為_.(注：方差，其中為x1，x2，xn的平均數(shù)) 【解題指南】本題考查統(tǒng)計中的莖葉圖、方差等基礎(chǔ)知識，考查分析問題、解決問題的能力.先求平均數(shù)，再求方差. 【解析】，.【答案】6.8.二、解答題2.（2012·浙江高考理科·19）（本題滿分14分）已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分。現(xiàn)從該箱中任?。o放回，且每球取到的機會均等）3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和。（1）求X的分布列；（2）求X的數(shù)學(xué)期望E（X）.【解題指南】主要考查古典概型及離散型隨機變量的概率分布列、概率期望的概念與運算求解能力.對于分布列中的概率屬古典概型問題,用排列組合知識易求出基本事件個數(shù).【解析】（1）X=3，4，5，6所以X的分布列為：X3456P(2)X的數(shù)學(xué)期望E（X）=.3.（2012·陜西高考理科·20）（本小題滿分13分）某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間（分）12345頻 率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時.（）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；（）表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題指南】（1）根據(jù)頻率估計相應(yīng)的概率，然后分析事件包含的情形，計算概率；（2）確定隨機變量X的取值是關(guān)鍵的一步，然后再計算各個概率值即得分布列，最后計算期望值.【解析】設(shè)表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得的分布列如下：12345P0.10.40.30.10.1（）A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘.所以.（）（解法一）X所有可能的取值為0，1，2.對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)的時間超過2分鐘，所以；對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以；X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以,所以X的分布列為X012P0.50.490.01.（解法二）X所有可能的取值為0，1，2.對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以；X=2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以；所以；所以X的分布列為X012P0.50.490.01.4. （2012·遼寧高考理科·T19）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. ()根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？ ()將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率?，F(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望和方差.附：【解題指南】()據(jù)頻率分布直方圖可計算“體育迷”， “非體育迷”人數(shù)，按照提供的公式，計算相關(guān)數(shù)值，與所給數(shù)據(jù)比較，獲得結(jié)論；（）將所有的基本事件羅列，很容易解決問題.【解析】()由所給的頻率分布直方圖知，“體育迷”人數(shù)為“非體育迷”人數(shù)為75，則據(jù)題意完成列聯(lián)表：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計算： 因為，所以沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān).（）由頻率分布直方圖知，抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率是為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為。由題意，從而的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為，X的方差為.5.（2012·安徽高考理科·17）（本小題滿分12分）某單位招聘面試，每次從試題庫隨機調(diào)用一道試題，若調(diào)用的是類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道類試題和一道類型試題入庫，此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用的是類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫中現(xiàn)共有道試題，其中有道類型試題和道類型試題，以表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中類型試題的數(shù)量.（）求的概率；（）設(shè)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.【解題指南】（I）根據(jù)表示兩次調(diào)題均為類型試題，求出事件的概率；（）時，每次調(diào)用的是類型試題的概率為，列出隨機變量的取值，計算取每個值的概率，列出分布列，求出期望.【解析】（I）表示兩次調(diào)題均為類型試題，概率為（）時，每次調(diào)用的是類型試題的概率為 隨機變量可取，答：（）的概率為 （）求的均值為.6. （2012·新課標全國高考理科·T18）某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式. （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由.【解題指南】(1) 根據(jù)題意建立利潤與需求量的分段函數(shù)；(2)利用公式求期望與方差，注意隨機變量X代表利潤；（3）比較購買17枝與16支的期望，期望越大越好.【解析】（1）當(dāng)時， 當(dāng)時， 得： （2）（i）可取， 的分布列為 （ii）購進17枝時，當(dāng)天的利潤為 得：應(yīng)購進17枝.7.（2012·江西高考理科·18）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V（如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V=0）.(1)求V=0的概率；(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題指南】（1）列出V0時的三個點的坐標的可能情況，然后除以總的基本事件數(shù)即得概率，列舉時若情況較多，可用排列組合的知識解決；（2）求出V取各個值時對應(yīng)的概率，列分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）從6個點中隨機選取3個點總共有種取法，選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)的取法有種，因此的概率為（2）V的所有可能取值為，因此的分布列為VP由V的分布列可得8.（2012·山東高考理科·19）現(xiàn)有甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中一次得2分，沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.（）求該射手恰好命中一次得的概率；（）求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題指南】（）利用間接法來求解，分兩類，命中甲一次，命中乙一次；（）本題考查的是隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，先列出的所有值，并求出每個值所對應(yīng)的概率，列出分布列，然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望.【解析】() 由于射手每次射擊的結(jié)果相互獨立P（命中一次）=.() 由題意知的可能取值0,1,2,3,4,5， ，因此隨機變量的分布列為012345P所以.9.（2012·天津高考理科·16）現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率； （）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率； （）用分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題指南】根據(jù)古典概率、互斥事件的概率公式求解；先求出獨立事件的概率、再求數(shù)學(xué)期望.【解析】依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為，設(shè)“4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件，則，（）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率.（）設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則,由于與互斥，故+.所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.（III）的所有可能取值為0,2,4.由于由于與互斥，與互斥，故，所以的分布列是024P隨機變量的數(shù)學(xué)期望=.10. （2012·湖南高考理科·17）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率視為概率）【解題指南】本題考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，考查分布列及數(shù)學(xué)期望的計算，考查運算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55知從而解得，計算每一個變量對應(yīng)的概率，從而求得分布列和期望；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.【解析】（）由已知,得所以該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量隨機樣本，將頻率視為概率得 的分布為X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為 .（）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時間，則 .由于顧客的結(jié)算相互獨立，且的分布列都與X的分布列相同，所以 .故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為.11.（2012·北京高考文科·17）與（2012·北京高考理科·17）相同近年來，某市為了促進生活垃圾的風(fēng)分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（）試估計廚余垃圾投放正確的概率；（）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；（）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c其中a0，a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時，寫出a,b,c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時s2的值.（注：其中為數(shù)據(jù)x1,x2，xn的平均數(shù)）【解題指南】第（）問廚余垃圾投放正確即廚余垃圾投入到“廚余垃圾”箱內(nèi)；第（）問，可以先求對立事件“生活垃圾投放正確”的概率；第（）問，先求出平均數(shù)，再寫出方差表達式。方差最大也就是數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的波動最大.【解析】（）.（）.（）數(shù)據(jù)a,b,c的平均數(shù)為，方差，可以令a=600,b=0,c=0，此時方差最大，最大值為80000.12.（2012·湖北高考理科·20）（本小題滿分12分）根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的將數(shù)量X（單位：mm）對工期的影響如下表：降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；（）在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率.【解題指南】本題考查概率分布列的性質(zhì)和應(yīng)用,解答(I)主要利用概率的加法公式求解;對于()代入條件概率公式求解.【解析】(I)由已知條件和概率的加法公式有:P(X<300)=0.3,P(300X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,所以P(X900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列為:Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.()由概率的加法公式,P(X300)=1-P(x<300)=0.7,又P(300x<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.由條件概率,得P(Y6|X300)=P(X<900|X300)=故在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率是.13.（2012·廣東高考理科·17）（本小題滿分13分）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：.（1）求圖中的值；（2）從成績不低于80分的學(xué)生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望.【解題指南】(1)本小題根據(jù)每個區(qū)間上的矩形的面積和為1，可建立關(guān)于x的方程，解出x的值.(2)解本小題的關(guān)鍵是先求出成績不低于80分的學(xué)生數(shù)和成績在90分（含90分）以上的學(xué)生數(shù)。然后分別求出對應(yīng)的概率值，再根據(jù)期望公式求解即可.【解析】(1)由頻率分布直方圖知.(2),不低于80分的學(xué)生共12人，90分含90分以上的共3人.的取值為0,1,2.14.（2012·福建高考理科·16）(本小題滿分13分) 受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下：品 牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x (年)轎車數(shù)量 (輛)2345545每輛利潤 (萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：() 從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；() 若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求，的分布列；() 該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車，若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由【解題指南】本小題主要考查古典概型、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識，考查必然或偶然思想.【解析】（I）設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則.（II）依題意得隨機變量的分布列為 123 隨機變量的分布列為 （III）甲品牌由（II）得 (萬元) (萬元) 因為 ，所以該生產(chǎn)甲品牌汽車.15.（2012·江蘇高考·22）（本小題滿分10分）設(shè)為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，；當(dāng)兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望【解題指南】（1）求出兩條棱相交時相交棱的對數(shù)，即可由概率公式求得概率.（2）求出兩條棱平行且距離為的共有6對，即可求出，從而求出（兩條棱平行且距離為1和兩條棱異面），因此得到隨機變量的分布列，求出其數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的一個，過任意1個頂點恰有3條棱， 共有對相交棱。 。（2）若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對， ，. 隨機變量的分布列是：01 其數(shù)學(xué)期望.