離心率專題離心率歷年來是圓錐曲線客觀題的考查重點(diǎn)，對(duì)于求圓錐曲線離心率的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，屬于中低檔次的題型，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說是沒什么難度的。一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率，只需要由條件得到一個(gè)關(guān)于基本量a，b，c，e的一個(gè)方程，就可以從中求出離心率但如果選擇方法不恰當(dāng)，則極可能“小題”大作，誤入歧途。許多學(xué)生認(rèn)為用一些所謂的“高級(jí)”結(jié)論可以使結(jié)果馬上水落石出，一針見血，其實(shí)不然，對(duì)于這類題，用最淳樸的定義來解題是最好的，此時(shí)無招勝有招！【例1】 解法一（大多數(shù)學(xué)生的解法）解：由于為等腰直角三角形，故有，而，所以，整理得等式兩邊同時(shí)除以，得，即，解得，舍去因此，選D解法二（采用離心率的定義以及橢圓的定義求解）解：如右圖所示，有故選D評(píng)以上兩種方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，靈活運(yùn)用了“通徑”這個(gè)二級(jí)結(jié)論，使題目迎刃而解，但計(jì)算量偏大，耗時(shí)較長(zhǎng)；而解法二則是老手，整個(gè)過程沒有任何高級(jí)結(jié)論，只運(yùn)用了最最最簡(jiǎn)單的、人人皆知的“定義”，通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的步驟即可。正所謂此時(shí)無法勝有法！一、用定義求離心率問題1. 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）D（A） （B） （C） （D）2已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ）AA B C D3.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 4、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_；解析：設(shè)c=1，則5、已知長(zhǎng)方形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為 。解析：由已知C=2，6過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為B A B C D 7.已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）DABCD8.雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ ）BABCD9、設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A，使F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為(A) (B)(C) (D) 解設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中， 離心率，選B。10、如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 （A）（B）（C）（D）解析：如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，連接AF1，AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c， ，雙曲線的離心率為，選D。11.設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿=4:3:2，則曲線r的離心率等于AA. B.或2 C.2 D.二、列方程求離心率問題1方程的兩個(gè)根可分別作為（）一橢圓和一雙曲線的離心率兩拋物線的離心率一橢圓和一拋物線的離心率兩橢圓的離心率解：方程的兩個(gè)根分別為2，故選A 2、已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的離心率等于（ ）ABCD解已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍， ，橢圓的離心率，選D。3、設(shè)直線L過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，L與C交于A ,B兩點(diǎn)，為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為B（A） （B） （C）2 （D）34.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1(ab0)的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，過點(diǎn)(，0)作圓的兩切線互相垂直，則離心率e= 5已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為 （A） (B) (C) (D)解析:雙曲線焦點(diǎn)在x軸,由漸近線方程可得,故選A6、在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線方程為，則它的離心率為（ ）A B C D解析：由 ， 選A7已知雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為A.2 B. C. D.解：雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則， a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D8.已知雙曲線（a0,b0）的一條漸近線為y=kx(k0),離心率e=,則雙曲線方程為（ ）C（A）=1 (B) (C)(D)9設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( )（A） （B）2 （C） （D） 解：設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為.由題意有又解得: . 【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.10、設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（A） （B） （C） （D）解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為：，則一個(gè)焦點(diǎn)為一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 . 【解析】 考查橢圓的基本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的計(jì)算等。以及直線的方程。直線的方程為：；直線的方程為：。二者聯(lián)立解得：， 則在橢圓上， 解得：12已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0）的直線于C相交于A、B兩點(diǎn)，若。則k =（A）1 （B） （C） （D）2【解析】B：， ， ， ，設(shè)， ，直線AB方程為。代入消去， ， ，解得，13已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 答案：【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問題的捷徑.【解析】如圖，,作軸于點(diǎn)D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得,整理得.兩邊都除以,得,解得.14過雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( )A. B. C. D. 解析：過雙曲線的左頂點(diǎn)(1，0)作斜率為1的直線：y=x1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn), 聯(lián)立方程組代入消元得， ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點(diǎn)，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，雙曲線的離心率e=，選A.15過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為若，則雙曲線的離心率是 ( ) A B C D答案：C 【解析】對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，則有，因16. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若,則的離心率為 .m A B. C. D. 解：設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為,過分 別作于,于, ,由直線AB的斜率為,知直線AB的傾斜角為,由雙曲線的第二定義有.又 故選AB2B1F1yxOF2P一般來說，求橢圓（或雙曲線）的離心率的取值范圍，通?？梢詮膬蓚€(gè)方面來研究：一是考慮幾何的大小，例如線段的長(zhǎng)度、角的大小等；二是通過設(shè)橢圓（或雙曲線）點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓（或雙曲線）本身的范圍，列出不等式離心率是描述圓錐曲線性質(zhì)的一個(gè)關(guān)鍵量，它是一個(gè)比值，它與圓錐曲線的大小無關(guān)，只與其形狀有關(guān)在橢圓中，離心率越大，橢圓越扁平，離心率越小，橢圓越圓，橢圓離心率的取值范圍e(0，1)；在雙曲線中，離心率越大，雙曲線的形狀從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲線的“張口”逐漸增大，雙曲線離心率的取值范圍e(1，)；在拋物線中，離心率e1已知橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若該橢圓上存在一點(diǎn)P，使得F1PF260°，則橢圓離心率的取值范圍是 分析：如果我們考慮幾何的大小，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)M為橢圓的短軸的頂點(diǎn)B1（或B2）時(shí)F1PF2最大（需要證明），從而有0F1PF2F1 B1F2根據(jù)條件可得F1 B1F260°，易得故e1證明，在F1PF2中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)PF1PF2時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)M與橢圓的短軸的頂點(diǎn)B1（或B2）時(shí)F1MF2最大如果通過設(shè)橢圓上的點(diǎn)P(x，y)，利用橢圓本身的范圍，也可以求出離心率e的范圍在本題中，運(yùn)用此法可以做，但比較復(fù)雜（關(guān)鍵是點(diǎn)P的坐標(biāo)不易表示）因此，在解題過程中要注意方法的選擇三、離心率范圍問題1.已知橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若該橢圓上存在一點(diǎn)P，使得F1PF260°，則橢圓離心率的取值范圍是 2已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 答案：(1, )3.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）CA B C D4、橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）解析：橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則，該橢圓離心率e，取值范圍是，選D。5.設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）BABCD6. 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（ ）BA B C D7.雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）BA.(1,3)B.C.(3,+)D.8已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)解析：雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率， ，離心率e2=， e2，選C