2013年高考數(shù)學(xué) 易錯點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題10 空間直線與平面1.空間直線與平面的位置關(guān)系2.空間角3.空間距離4.簡單幾何體5.利用三垂線定理作二面角的平面角6.求點(diǎn)到面的距離7.折疊問題在選擇題中,常以其中的某個知識點(diǎn)作為一個選項(xiàng)，填空題則常常是多項(xiàng)選填題。在解答題中，常常是第一問證平行或垂直，主要還是考查對判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，重在添加輔助線。預(yù)計(jì)這部分內(nèi)容仍然是2013年考試試題的重點(diǎn)，尤其以證明直線與平面平行或垂直作為解答題的第一問題型居多。難點(diǎn) 1利用三垂線定理作二面角的平面角1.如圖10-30，ABCD中，PA平面ABCD，M、N、R分別是AB、PC、CD的中點(diǎn)，（1）求證：直線AR平面PMC；（2）求證：直線MN直線AB；（3）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角（銳角）為，能束確定使直線MN是異面直線AB與PC的公垂線，若能確定，求出的值；若不能確定，說明理由。難點(diǎn) 2 求點(diǎn)到面的距離1 如圖，PA平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)。（1）求證：AF平面PCE；（2）若二面角PCDB為45°，AD=2，CD=3。（i）求二面角PECA的大??；（ii）求點(diǎn)F到平面PCE的距離。2如圖10-33，在棱長為a的正方體，ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于H。（1）求二面角B1EFB的大??；（2）試在棱BB1上找一點(diǎn)M，使D1M平面B1EF，并證明你的結(jié)論；（3）求D1到平面B1EF的距離。到面B1EF的距離為a。難點(diǎn) 3折疊問題1 如圖10-35，BCD內(nèi)接于直角梯形A1A2A3D，已知沿BCD三邊把A1BD、A2BC、A3CD翻折上去，恰好使A1、A2、A3重合于A。arctan2如圖10-37，已知ABCD中，AD=BC，ADBC，且AB=3，AD=2，BD=，沿BD將其折成一個二面角ABDC，使得ABCD?！疽族e點(diǎn)點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)1 空間直線與平面的位置關(guān)系1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB于點(diǎn)F.（1）證明：PA/平面EDB；（2）證明：BP平面EFD；（3）求二面角CPDD的大小.【錯誤解答】第（2）問證明：PD=DC，E為PC的中點(diǎn)，DEPC，DF在平面2下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l面MNP的圖形的序號是_.(寫出所有符合要求的圖形序號)3如圖10-4所示，在正三棱錐ABCD中，BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。（1）判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由；（2）設(shè)P是棱AD上的點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時，平面PBC平面EFGH，請給出證明?！惧e誤解答】（1）AD平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，ADHG，【特別提醒】解線面位置關(guān)系的題目，首先要熟悉各種位置關(guān)系的判定方法及性質(zhì)，其次解題時應(yīng)將判定與性質(zhì)結(jié)合起來，多用分析法，如要證a則過a作一平面，使=b，再證ab；第三要善于轉(zhuǎn)化，如兩條羿面直線是否垂直，要用三垂線定理將其轉(zhuǎn)化為兩相交直線是否垂直。線面的位置關(guān)系是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時應(yīng)予以重視。【變式訓(xùn)練】1 如圖10-5 所示的四個正方體圖形中，A、B為正方體的四個項(xiàng)點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的序號是_ .(寫出所有符合要求的圖形序號)答案： 解析：中平面MNP/平面AB， AB/平面 MNP；中取下底面中心O，MP的中點(diǎn)C，連接NO， NC，則由已知AB/NO，ABNCAB面MNP； 中AB/MP,AB/平面MNP；中AB面MNP填2 如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中點(diǎn)。（3）設(shè)AB=a，求三棱錐A-A1EC的體積。答案： VA1-A1EC=VE-AA1C=·EF··AA1·AC3 已知正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是側(cè)面PAB的重心，E是BC上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)是PB上一點(diǎn)，且PF=PB，如圖（1）求證：GF平面PBC；答案：連接BG并延長交AP于M，由C為APAB的重心，則易錯點(diǎn) 2空間角1如圖10-8，在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。（1）證明：ACSB；（2）求二面角NCMB的大小； （3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離。2在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1。 （1）求二面角CDEC1的正切值 （2）求直線EC1與FD1所成角的余弦值。 （2）設(shè)EC1與FD1所成的角為，則cos= 3如圖10-11，四棱錐PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD，AM=EF。 （1）證明MF是異面直線AB與PC的公垂線； （2）若PA=3AB，求直線AC與平面EAM所成角的正弦值。 【錯誤解答】 第（2）問：由（1）知PCMF，AF為AC在面EAM內(nèi)的射影，CAF為AC與平面EAM所成的角，通過解三角形FAC，解得sinCAF=.AC與平面EAM所成的角的正弦值為。 【易錯點(diǎn)點(diǎn)睛】直線AC與平面EAM所成的角不是就得不出AF為AC在面EAM內(nèi) sin=?！咎貏e提醒】空間的各種角是對點(diǎn)、直線、平面所組成的穿間圖形的位置關(guān)系進(jìn)行定性分析和宣量計(jì)算的重要組成部分，空間角的度量都是轉(zhuǎn)化為平面角來實(shí)現(xiàn)的，要熟練掌握種類角轉(zhuǎn)化為平面角的常用方法，為了實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，一是靠經(jīng)驗(yàn)和知識的積累；二是利祿識圖和畫圖的訓(xùn)練；三要以推理為主要依據(jù)，求角的一般步驟是：（1）找出或作出要求的角；（2）證明它符合定義；（3）在某一三角形中進(jìn)行計(jì)算，得結(jié)果，當(dāng)然在解選擇或填空題時，一些間接方法也經(jīng)常用?！咀兪接?xùn)練】1 如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，現(xiàn)沿AC折成二面角DACB，使BD為異面直線AD、BC的公垂線。（1）求證：平面ABD平面ABC；2 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1、DD1上的點(diǎn)，且AEA1B，AFA1D。（1）求證：A1C平面AEF 直線AM與平面AEF的所成的角為 arcsin3 已知四棱錐PABCD，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)。MQPD于Q，直線PC與平面PBA所成角的正弦值為 如圖所示。PC=可得PA=2.（3）求二面角PMNQ的余弦值。答案：由（1）知，MNPM，MNQM. PMQ是二面角PMNQ的平面角.由（2）知PMQ為等腰直角三形.且AM=DM=1.二面角PMNQ的余弦值為易錯點(diǎn) 3空間距離1在空間中，與一個ABC三邊所在直線距離都相等的點(diǎn)的集合是 （ ）A一條直線B兩條直線C三條直線D四條直線【錯誤解答】設(shè)該點(diǎn)為P，且P在平面ABC上的射影為O，因?yàn)镻到ABC三邊所在2如圖10-15，在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP。（1）求直線AP與平面BCC1B1所成角的大?。ńY(jié)果用反三角表示）；（2）設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影為H，求證：D1HAP；（3）求點(diǎn)P到平面ABD1的距離。3如圖10-17，在三棱錐VABC中，底面ABC是以B為直角的等腰直角三角形，又V在底面ABC上的射影在線段AC上且靠近C點(diǎn)，且AC=4，VA=，VB與底面ABC成45°角?！咎貏e提醒】空間中的距離以點(diǎn)到面的距離為中心內(nèi)容，大多數(shù)距離問題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，求法比較靈活，主要有：（1）直接法。過該點(diǎn)作面的垂線，求出垂線段的長度，不過不能只顧作，計(jì)算不出來，應(yīng)先利用線面的位置關(guān)系判斷垂足的位置；（2）間接解法：利用三棱錐的體積進(jìn)行等積變換來求解；（3）利用空間向量求解，公式是，其中n為平面的法向量，a為過該點(diǎn)的平面的一條斜線段所確定的一個向量?！咀兪接?xùn)練】如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都為a， P為A1B上的點(diǎn)。（1）試確定的值，使得PCAB；答案：過P作PMAB于M，連結(jié)CM，ABC-A1B1C1為正三棱柱，PM平面ABC，PC在下底面上的射影為CM，PCAB，CMAB，又ABC為等邊三角形，M為AB中點(diǎn)，即P為A1B的中點(diǎn)，（2）若，求二面角PACB的大小；BH=3 已知斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面，A1ACC1與底面ABC垂直，ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1A1C，AA1A1C。如圖所示。易錯點(diǎn) 4簡單幾何體1如圖10-22，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA1=4，M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N。 求：（1）該三棱柱側(cè)面展開圖的對角線長；（2）PC與NC的長；（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。2如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB=，BD=BC=1，AA1=2，E為DC中點(diǎn)，點(diǎn)F在DD1上，且DF=。（1）求異面直線BD與A1D1的距離；（2）EF與BC1是否垂直？請說明理由；（3）求二面角EFBD的正切值。同正解一；由已知可得ADB=90°，DD1平面ABCD，以、分別為x,軸y軸,z軸的正方向，建立空間坐標(biāo)系，F(xiàn)（0，0，）、E（）、A（1，0，0）、D1（0，0，2），= =（-1，0，2）又BC1AD1，EFAD1?！咎貏e提醒】棱柱、棱錐、球是幾何中的重要載體，學(xué)習(xí)中除了牢固掌握有關(guān)概念、性質(zhì)、面積體積公式之外，還要靈活運(yùn)用有關(guān)知識進(jìn)行位置益壽延年 判斷與論證，進(jìn)而達(dá)到計(jì)算的目的，在計(jì)算時要注意把某些平面圖形分離現(xiàn)來運(yùn)用平面幾何的知識來進(jìn)行計(jì)算，這是立體幾何中計(jì)算問題的重要方法和技巧。【變式訓(xùn)練】1 如圖，正四面體ABCD的棱長為1，P、Q分別為AB、CD上兩點(diǎn)，且AP=CQ=，求出正四面體側(cè)面上從P到Q的最小距離。（2）若CC1與平面ABB1A1的距離為1，A1C=，AB1=5，求三棱錐A1ACD的體積?！?013高考突破】1.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）ABC D2.已知平面平面，= l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ ）A. ABmB. ACmC. ABD. AC【答案】【解析】容易判斷、三個答案都是正確的，對于，雖然，但不一定在平面內(nèi)，故它可以與平面相交、平行，故不一定垂直；3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（ ）A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無數(shù)條5.如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動，使得ABP的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是6.對兩條不相交的空間直線和，必定存在平面，使得（ ）（A） （B）（C） （D）答案：B解析：本小題主要考查立體幾何中線面關(guān)系問題。兩條不相交的空間直線和，存在平面，使得。7 如圖，在正四棱錐SABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動，并且總有PEAC。（1）證明SBAC；（2）指出動點(diǎn)P的軌跡，并證明你的結(jié)論；8、如圖，正三棱柱ABCA1B1C1底面邊長為a，側(cè)棱長為，D是A1C1的中點(diǎn)。（1）求證：BC1平面B1DA；答案：如圖，連結(jié)A1B交AB1于E，則E為A1B的中點(diǎn)，又D為A1C1的中點(diǎn)，DEBC1又DE面AB1D，BC1平面AB1D.（2）求證：平面AB1D平面A1ACC1；9 菱形ABCD的邊AB=5，對角線BD=6，沿BD折疊得四面體ABCD，已知該四面體積不小于8，求二面角ABCC的取值范圍。10 已知BCD中，BCD=90°，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60°E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且（0<<1），如圖。（1）求證：不論為何值，恒有平面BEF平面ABC；（2）當(dāng)為何值時，平面BEF平面ACD。11 如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB=3a,Do A1C1的中點(diǎn)。（1）求BE與A1C所成的角；答案：如圖，取A1B的中點(diǎn)M，連結(jié)MB，E為B1C的中點(diǎn)，EMA1C，EM=A1CMEB（或補(bǔ)角）為直線BE與A1C所成的角.（2）在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，請說明理由。12、如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，BC=AC=2，AA1=4，D為棱CC1上一動點(diǎn)，M、N分別為ABD、A1B1R的重心。D為CC1的中點(diǎn)，C1D=2 VD-A1B1C1=VC1-A1B1D=·2··2·2=·h·×(2)2, h=.（3）若點(diǎn)C在平面ABD上的射影恰好為M，試判斷點(diǎn)C1在平面A1B1D上的射影是否為N？并說明理由。13 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90°，B1B=BC=CA=4，D1是A1B1中點(diǎn)E是BC1的中點(diǎn)，BD1交AB1于點(diǎn)F（3）求點(diǎn)C到平面BEF的距離。答案：(解法一) E為B1C的中點(diǎn)，C到平面BEF的距離等于B1到平面BEF的距離，ABC-A1B1C1為直棱柱，A1C1=B1C1，D1為中點(diǎn)，C1D1A1B1，C1D1平面A1B1BA，14.在四面體ABCD中，CB=CD，BD面BCD，面面