課時提升作業(yè)(三十二) 第五章 第四節(jié) 數(shù)列的求和一、選擇題1.(2013·南昌模擬)已知等比數(shù)列an公比為q,其前n項和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,則q3等于()(A)-(B)1(C)-或1(D)-1或2.(2013·長春模擬)在等差數(shù)列an中,a9=a12+6,則數(shù)列an的前11項和S11等于()(A)24(B)48(C)66(D)1323.已知數(shù)列an的通項公式是an=2n-3()n,則其前20項和為()(A)380-(1-)(B)400-(1-)(C)420-(1-)(D)440-(1-)4.(2013·阜陽模擬)已知直線(3m+1)x+(1-m)y-4=0所過定點的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列an的第一項與第二項,若bn=,數(shù)列bn的前n項和為Tn,則T10=()(A)(B)(C)(D)5.(2013·太原模擬)已知等差數(shù)列an的公差d0,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,則=()(A)(B)(C)(D)6.數(shù)列an的前n項和Sn=3n+b(b是常數(shù)),若這個數(shù)列是等比數(shù)列,那么b為()(A)3(B)0(C)-1(D)17.等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,則m=()(A)38(B)20(C)10(D)98.(能力挑戰(zhàn)題)數(shù)列an的前n項和Sn=2n-1,則+等于()(A)(2n-1)2(B)(2n-1)2(C)4n-1(D)(4n-1)二、填空題9.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若a3=20-a6,則S8等于.10.數(shù)列1+2n-1的前n項和為.11.(2013·蕪湖模擬)已知數(shù)列an中,a1=1,a2=2,當(dāng)整數(shù)n>1時,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,則S5=.12.(2013·哈爾濱模擬)在數(shù)列an中,若對任意的n均有an+an+1+an+2為定值(nN+),且a7=2,a9=3,a98=4,則此數(shù)列an的前100項的和S100=.三、解答題13.已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN+)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)求和:Sn=+.14.(2012·湖州模擬)設(shè)an是等差數(shù)列,bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.(1)求an,bn的通項公式.(2)求數(shù)列的前n項和Sn.15.(能力挑戰(zhàn)題)已知數(shù)列an的通項公式是an=n·2n-1,bn=,求數(shù)列bn的前n項和.答案解析1.【解析】選A.當(dāng)q=1時,顯然不可能;當(dāng)q1時,根據(jù)已知得2×=+,即2q9=q6+q3,即2q6-q3-1=0,解得q3=1(舍),或q3=-.2.【解析】選D.設(shè)公差為d,則a1+8d=a1+d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132.3.【解析】選C.由an=2n-3()n,得S20=2(1+2+20)-3(+)=2×-3×=420-(1-),故選C.4.【解析】選B.將直線方程化為(x+y-4)+m(3x-y)=0,令解得即直線過定點(1,3),所以a1=1,a2=3,公差d=2,an=2n-1,bn=(-),T10=×(-+-+-)=×(-)=.5.【解析】選C.等差數(shù)列an中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因為a1,a3,a9恰好構(gòu)成某等比數(shù)列,所以有=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以該等差數(shù)列的通項為an=nd.則的值為.6.【思路點撥】根據(jù)數(shù)列的前n項和減去前n-1項的和得到數(shù)列的第n項的通項公式,即可得到此等比數(shù)列的首項與公比,根據(jù)首項和公比,利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出前n項的和,與已知的Sn=3n+b對比后,即可得到b的值.【解析】選C.因為an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n2),所以此數(shù)列是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,則Sn=3n-1,所以b=-1.7.【解析】選C.因為an是等差數(shù)列,所以am-1+am+1=2am,由am-1+am+1-=0,得2am-=0,所以am=2(am=0舍),又S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故選C.8.【解析】選D.an=Sn-Sn-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,適合上式,an=2n-1(nN+),是=1,q=22的等比數(shù)列,由求和公式得+=(4n-1).9.【解析】因為a3=20-a6,所以S8=4(a3+a6)=4×20=80.答案：8010.【解析】前n項和Sn=1+20+1+21+1+22+1+2n-1=n+=n+2n-1.答案：n+2n-111.【解析】由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),數(shù)列an從第二項起構(gòu)成等差數(shù)列,則S5=1+2+4+6+8=21.答案：2112.【解析】設(shè)定值為M,則an+an+1+an+2=M,進而an+1+an+2+an+3=M,后式減去前式得an+3=an,即數(shù)列an是以3為周期的數(shù)列.由a7=2,可知a1=a4=a7=a100=2,共34項,其和為68;由a9=3,可得a3=a6=a99=3,共33項,其和為99;由a98=4,可得a2=a5=a98=4,共33項,其和為132.故數(shù)列an的前100項的和S100=68+99+132=299.答案：29913.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,即d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.(2)因為=,所以Sn=+=+=1-.14.【解析】(1)設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則依題意有q>0且解得所以an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.(2)=,Sn=1+,2Sn=2+3+.-,得Sn=2+2+-=2+2×(1+)-=2+2×-=6-.【變式備選】已知各項都不相等的等差數(shù)列an的前6項和為60,且a6為a1和a21的等比中項.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)若數(shù)列bn滿足bn+1-bn=an(nN+),且b1=3,求數(shù)列的前n項和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0),則解得an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,bn-bn-1=an-1(n2,nN+),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=n(n+2),當(dāng)n=1時,b1=3也適合上式,bn=n(n+2)(nN+).=(-),Tn=(1-+-+-)=(-)=.15.【解析】=-,k=1,2,3,n故+=(-)+(-)+-=-=4-.【方法技巧】裂項相消法的應(yīng)用技巧裂項相消法的基本思想是把數(shù)列的通項an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,從而達到在求和時逐項相消的目的,在解題中要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式,使之符合裂項相消的條件.在裂項時一定要注意把數(shù)列的通項分拆成的兩項一定是某個數(shù)列中的相鄰的兩項或者是等距離間隔的兩項,只有這樣才能實現(xiàn)逐項相消后剩下幾項,達到求和的目的.