（福建專(zhuān)用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章第8課時(shí) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例課時(shí)闖關(guān)（含解析）一、選擇題1(2012·龍巖質(zhì)檢)如果在測(cè)量中，某渠道斜坡的坡比為，設(shè)為坡角，那么cos等于()A.B.C. D.解析：選B.因tan，所以cos.2.如圖所示，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)最適合用數(shù)據(jù)()A，a，b B，aCa，b， D，b解析：選C.在ABC中，AB2a2b22abcos，最合適的數(shù)據(jù)是a，b，.3.(2012·三明質(zhì)檢)如圖，在一幢20 m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂部的仰角為60°，塔基的俯角為45°，那么該塔吊的高是()A20 mB20(1) mC10() mD20() m解析：選B.由題意得CEAEAB20 m，DEAE·tan 60°20 m，所以塔吊的高為202020(1)(m)4某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么x的值為()A. B2C2或 D3解析：選C.如圖，由題意得ABC30°.因?yàn)锳C，BC3，ABx，AC2AB2BC22AB·BC·cos30°，所以()232x23x.解得x2或x.5一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為()A.海里/時(shí) B34海里/時(shí)C.海里/時(shí) D34海里/時(shí)解析：選A.如圖，由題意知MPN75°45°120°，PNM45°.在PMN中，由正弦定理，得，MN68×34(海里)又由M到N所用時(shí)間為 14104(小時(shí))，船的航行速度v(海里/時(shí))二、填空題6在直徑為30 m的圓形廣場(chǎng)中央上空，設(shè)置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng)，則光源的高度為_(kāi) m.解析：軸截面如圖，則光源高度h5 m.答案：57.如圖，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距10海里的C處，現(xiàn)甲船以30海里/小時(shí)的速度沿直線(xiàn)CB去營(yíng)救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船，甲船需要_小時(shí)到達(dá)B處解析：由題意，對(duì)于CB的長(zhǎng)度，由余弦定理，得CB2CO2OB22CO·OBcos120°100400200700.CB10(海里)，甲船所需時(shí)間為(小時(shí))答案：8.如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為10米，則旗桿的高度為_(kāi)米解析：設(shè)旗桿高為h米，最后一排為點(diǎn)A，第一排為點(diǎn)B，旗桿頂端為點(diǎn)C，則BCh.在ABC中，AB10，CAB45°，ABC105°，所以ACB30°，由正弦定理得，故h30.答案：30三、解答題9航空測(cè)量組的飛機(jī)航線(xiàn)和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10000 m，速度為180 km(千米)/h(小時(shí))飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420 s(秒)后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，求山頂?shù)暮０胃叨?取1.4，1.7)解：如圖 A15°，DBC45°ACB30°，AB180 km(千米)/h(小時(shí))×420 s(秒)21000 (m)在ABC中，BC·sin15°10500()，CDAD，CDBCsinCBDBC×sin45°10500()×10500(1)10500(1.71)7350即山頂?shù)暮０胃叨?000073502650(米)10.某市電力部門(mén)在抗雪救災(zāi)的某項(xiàng)重建工程中，需要在A、B兩地之間架設(shè)高壓電線(xiàn)，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測(cè)量A、B兩地距離. 現(xiàn)測(cè)量人員在相距 km的C、D兩地(假設(shè)A、B、C、D在同一平面上)，測(cè)得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(如圖)，假如考慮到電線(xiàn)的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線(xiàn)長(zhǎng)度大約應(yīng)該是A、B距離的倍，問(wèn)施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長(zhǎng)的電線(xiàn)？解：在ACD中，由已知可得，CAD30°，所以，AC km，在BCD中，由已知可得，CBD60°，sin75°sin(45°30°)，由正弦定理，BC，cos75°cos(45°30°)，在ABC中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBC·cosBCA()222··cos75°5，所以，AB，施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線(xiàn)長(zhǎng).即施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線(xiàn)長(zhǎng) km.一、選擇題1某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長(zhǎng)度分別為，則此人()A不能作出這樣的三角形B能作出一個(gè)銳角三角形C能作出一個(gè)直角三角形D能作出一個(gè)鈍角三角形解析：選D.設(shè)三邊為a，b，c，則由面積公式得a·b·c·x，x>0，則a13x，b11x，c5x. 由(13x)2>(11x)2(5x)2146x2，可以得到一個(gè)鈍角三角形2(2012·福州調(diào)研)臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A0.5小時(shí) B1小時(shí)C1.5小時(shí) D2小時(shí)解析：選B.法一：設(shè)A地東北方向上點(diǎn)P到B的距離為30千米，APx，在ABP中PB2AP2AB22AP·AB·cosA，即302x24022x·40cos45°，化簡(jiǎn)得x240x7000，|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即CD20，故t1.法二：如圖以A為原點(diǎn)東西向?yàn)閤軸建系BECD于E，BE40cos45°20，CD220，以下同上，二、填空題3.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為_(kāi)(用的三角函數(shù)值表示)解析：四個(gè)等腰三角形的面積之和為4××1×1×sin2sin，在一個(gè)三角形中由余弦定理可知正方形的邊長(zhǎng)為，所以正方形的面積為22cos，因此，該八邊形的面積為2sin22cos.答案：2sin2cos24.如圖，點(diǎn)A在坡度一定的山坡上已知在點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100 m后，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為45°.假設(shè)建筑物高50 m，求此山坡對(duì)于地平面的坡角的余弦值_解析：在ABC中，AB100 m，CAB15°，ACB45°15°30°.由正弦定理得，所以BC200sin15°.在DBC中，CD50 m，CBD45°，CDB90°.由正弦定理得，所以cos1.答案：1三、解答題5.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線(xiàn)CB前往B處求援，求cos的值解：如題圖所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos120°2800BC20.由正弦定理得，sinACBsinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得coscos(ACB30°)cosACBcos30°sinACBsin30°.6(2012·廈門(mén)質(zhì)檢)某海島上有一座海拔1千米的山，山頂上有一觀察站P(P在海平面上的射影點(diǎn)為A)，測(cè)得一游艇在海島南偏西30°，俯角為45°的B處，該游艇準(zhǔn)備前往海島正東方向，俯角為45°的旅游景點(diǎn)C處，如圖所示 (1)設(shè)游艇從B處直線(xiàn)航行到C處時(shí)，距離觀察站P最近的點(diǎn)為D處() 求證：BC平面PAD ；()計(jì)算B、D兩點(diǎn)間的距離(2)海水退潮后，在(1)中的點(diǎn)D處周?chē)?.25千米內(nèi)有暗礁，航道變窄. 為了有序參觀景點(diǎn)，要求游艇從B處直線(xiàn)航行到A的正東方向某點(diǎn)E處后，再沿正東方向繼續(xù)駛向C處. 為使游艇不會(huì)觸礁，試求AE的最大值解：(1)()證明：連結(jié)PD，AD游艇距離觀察站P最近的點(diǎn)為D處，PDBC，又依題意可知PA平面ABC，PABC.又PAPDP.BC平面PAD.()依題意又知PAAB，PBA45°，PA1，AB1，同理AC1，且BAC120°，ABCACB30°，又BCAD，D為BC的中點(diǎn)，且BD.(2)法一：依題意過(guò)點(diǎn)B作圓D的切線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，切點(diǎn)為G，則AE取得最大值設(shè)AEx，則CE1x，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于F，則EF.連結(jié)DG，則DGBE.RtBGDRtBFE.，可得BE(1x)在ABE中，BE2AB2AE22AB·AE·cosBAC，即3(1x)21x2x，化簡(jiǎn)得2x27x20，解得x1，x2.又0<x<1，x2.答：BD的長(zhǎng)為千米，AE的最大值為千米法二：在平面ABC內(nèi)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC為x軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，依題意，當(dāng)直線(xiàn)BE與圓D相切時(shí)AE最長(zhǎng)由已知AB1得B，可設(shè)直線(xiàn)BE：yk，即kxy0，由(1)知D為BC的中點(diǎn)，由C(1,0)知D，則D到直線(xiàn)BE距離為，即，得4k23k10即k，.直線(xiàn)BE的方程：y，當(dāng)y0時(shí)，x即AE.答：BD的長(zhǎng)為千米，AE的最大值為千米