不等式發(fā)揮經(jīng)典價值提高復(fù)習(xí)效率何為數(shù)學(xué)經(jīng)典題目？數(shù)學(xué)經(jīng)典題目就是經(jīng)過歷史選擇出來的最有價值的經(jīng)久不衰的題目 。每個經(jīng)典題目，都經(jīng)得起人們的拷問和時間的考驗(yàn)；每個經(jīng)典題目，總是蘊(yùn)含著某種重要的數(shù)學(xué)思想和方法；每個經(jīng)典題目，總有其獨(dú)特的教育價值和教學(xué)功能；每個經(jīng)典題目，都能穿越時間的深度和厚度而又最終超越時間經(jīng)久彌新、與時俱進(jìn)。數(shù)學(xué)教科書上的例習(xí)題有不少題目堪當(dāng)經(jīng)典，本文以其中一道經(jīng)典題目為例，說明經(jīng)典題目在復(fù)習(xí)教學(xué)中的潛能挖掘與應(yīng)用，以期拋磚引玉。 題目  已知，且，求證。 本題目是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修不等式選講人教版第十頁習(xí)題第11題。這是一道經(jīng)典的條件不等式證明題，解題入口寬、方法多樣，對本題進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，可達(dá)到舉一反三觸類旁通，解讀一題溝通一片以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)效果。 證法1（配方法）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)且且，即時等號成立。 點(diǎn)評  本解法先消元，將表示成只含的二次式，并將此式當(dāng)作是以為主元的二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，再將配方后余下的部分再次配方，然后用實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性，從而使問題得到解決。 證法2（構(gòu)造二次函數(shù)）因?yàn)?，所以，于是，故?dāng)時，最小，此時，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 點(diǎn)評  本解法通過構(gòu)造函數(shù)將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。先消元，將表示成只含的二次式，然后選為主元，將此式當(dāng)作是含有參數(shù)的以為自變量的二次函數(shù)，求出的最小值，的最小值就是的最小值，從而使問題獲解。 證法3（用重要不等式）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 點(diǎn)評  將已知等式兩邊平方是運(yùn)用重要不等式的關(guān)鍵。 證法4（用等號成立的條件構(gòu)造平方和）由所證不等式等號成立的條件得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 證法5（用等號成立的條件構(gòu)造配偶不等式）由所證不等式等號成立的條件可構(gòu)造如下不等式：，三式相加得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 點(diǎn)評  證法4和證法5注意到等號成立的條件是問題獲得簡解的關(guān)鍵之所在。 證法6（用柯西不等式）由三元柯西不等式得，即。 證法7（用向量數(shù)量積不等式）構(gòu)造向量，由向量數(shù)量積不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 證法8（利用直線與圓有公共點(diǎn)解題）把當(dāng)作參數(shù)當(dāng)作變量，則即可看作是直角坐標(biāo)系下的一條直線的方程，設(shè)則，此方程可看作是圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為的圓的方程。因?yàn)檫@兩個方程所組成的方程組有解，所以直線與圓有公共點(diǎn)，故圓心到直線的距離不大于半徑。故，即有解，所以，解得則，即。 點(diǎn)評  本解法需要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸意識，化靜為動，動中求靜。根據(jù)“方程組有解，則直線與圓有公共點(diǎn)，從而直線到圓心的距離不大于半徑”列不等式，進(jìn)而使問題得以解決。 證法9（三角換元法）設(shè)則，設(shè)。由得，所以，由正弦函數(shù)的有界性得，兩邊平方解得，故。 證法10（構(gòu)造概率模型）設(shè)隨機(jī)變量取值為時的概率均為，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 證法11（用琴生不等式）構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)槭巧系陌己瘮?shù)，由琴生不等式得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 證法12（用點(diǎn)面距離公式）可看作是空間直角坐標(biāo)系下的一個平面的方程，可看作是這個平面內(nèi)任意一點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方，由垂線段最短知，當(dāng)OP與平面垂直時，OP最短從而最小，由點(diǎn)面距離公式得點(diǎn)O到平面的的距離為：，所以，即。 凹凸函數(shù)、琴生不等式是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但與初等函數(shù)關(guān)系密切，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接處，點(diǎn)面距離公式是大學(xué)空間解析幾何的內(nèi)容，但可當(dāng)作是平面解析幾何點(diǎn)線距離公式在空間的一個類比拓廣，這些知識可開闊學(xué)生的視野，類比推理有利于發(fā)現(xiàn)新知識和數(shù)學(xué)思想方法的遷移。 以上從十二個不同的角度來思考解決一個經(jīng)典不等式的證明問題，消元法、配方法、構(gòu)造法，函數(shù)和方程思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想都是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法，在以上十二種解法中體現(xiàn)得淋漓盡致。一題多解有利于培養(yǎng)發(fā)散思維、求異思維和綜合運(yùn)用多種知識解決問題的能力，有利于拓寬解題思路，有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。發(fā)揮經(jīng)典以一當(dāng)十，解析一題復(fù)習(xí)一片。對二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究 湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書人教版高二數(shù)學(xué)第二冊（上）二元一次不等式確定平面區(qū)域?qū)儆谛略鰞?nèi)容，大綱要求是：了解二元一課次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式（組）。筆者對這部內(nèi)容作了一些研究，本文將得出的重要結(jié)論及其在解題中的應(yīng)用與大家進(jìn)行交流，希望能對這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)和學(xué)習(xí)有所幫助。命題1：已知二元一次函數(shù)點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上若B0，則有點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上方點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0下方若A0，則有點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0右方點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0左方分析：易證，、證法類似，下面對進(jìn)行證明。證明：當(dāng)B0，直線把坐標(biāo)平面分成上、下兩個半平面.設(shè)P1（x1,y1）是坐標(biāo)平面內(nèi)不在l上的任意一點(diǎn),作直線x=x1交l于點(diǎn)P0，設(shè)P0的坐標(biāo)為(x1,y0). 點(diǎn)     即   由此可知點(diǎn)點(diǎn)根據(jù)這個命題不難得出直線l同側(cè)上的兩個點(diǎn)對應(yīng)的二元函數(shù)的值符號相同，異側(cè)上的兩個點(diǎn)對應(yīng)的二元函數(shù)值符號相反，即有如下結(jié)論：命題2：已知二元一次函數(shù)點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線應(yīng)用舉例：1、快速準(zhǔn)確地確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域.例1：（人教版高二數(shù)學(xué)第二冊第64頁例1）畫出不等式表示的平面區(qū)域.解法1：異號，由命題1知不等式表示直線下方的平面區(qū)域，如圖所示解法2：異號，由命題1知不等式表示直線左方的平面區(qū)域，如圖所示小結(jié)：二元一次不等式確定平面區(qū)域的方法：點(diǎn)判別法：直線定邊界，一點(diǎn)定區(qū)域，合則在，不合則不在；B符號判別法：直線定邊界，符號定區(qū)域，同上異下；A符號判別法：直線定邊界，符號定區(qū)域，同右異左.由例1可知，教材采用點(diǎn)判別法，需要取點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值，判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系再確定平面區(qū)域，而符號判別法只需由A（或B）的符號與不等式的符號的異同直接確定平面區(qū)域，相比之下顯得快速準(zhǔn)確、實(shí)用.2、巧妙簡捷地求方程含有參數(shù)的直線與已知線段相交時參數(shù)的取值范圍.例2：直線為端點(diǎn)的線段相交，則k的取值范圍是_.分析：這是一道一題多解的好題，但有的解法運(yùn)算量大，有的解法容易出錯，若用命題2的結(jié)論可輕而易舉地得出正確結(jié)果，解法如下：解：設(shè)直線練習(xí)題：1、表示圖中陰影部分的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）所滿足的約束件是_.2、直線在第一象限，則k的取值范圍是_.答案：1、     2、錯解剖析得真知（十四）不等式的應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué) 1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2R+，那么.2.求函數(shù)定義域、值域、方程的有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，確定參數(shù)的取值范圍等.這些問題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，或證明不等式.3.涉及不等式知識解決的實(shí)際應(yīng)用問題，這些問題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值. 二、疑難知識導(dǎo)析 不等式既屬數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，又是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，在解決函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立問題、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定、曲線位置關(guān)系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問題中有廣泛的應(yīng)用，特別是近幾年來，高考試題帶動了一大批實(shí)際應(yīng)用題問世，其特點(diǎn)是：1問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點(diǎn)問題，如“物價、稅收、銷售收入、市場信息”等，題目往往篇幅較長.2函數(shù)模型除了常見的“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)”等標(biāo)準(zhǔn)形式外，又出現(xiàn)了以“函數(shù)”為模型的新的形式. 三經(jīng)典例題導(dǎo)講 例1求y=的最小值.錯解： y=2y的最小值為2.錯因：等號取不到，利用均值定理求最值時“正、定、等”這三個條件缺一不可.正解：令t=,則t,于是y=由于當(dāng)t時，y=是遞增的，故當(dāng)t2即x=0時，y取最小值.例2m為何值時，方程x2+(2m+1)x+m23=0有兩個正根.錯解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此當(dāng)時，原方程有兩個正根.錯因：忽視了一元二次方程有實(shí)根的條件，即判別式大于等于0.正解：由題意：因此當(dāng)時，原方程有兩個正根. 例3若正數(shù)x，y滿足，求xy的最大值解：由于x，y為正數(shù)，則6x，5y也是正數(shù)，所以當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時，取“=”號因，則，即，所以的最大值為.例4 已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值分析：經(jīng)過審題可以看出，長方體的全面積S是定值因此最大值一定要用S來表示首要問題是列出函數(shù)關(guān)系式設(shè)長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc由于a+b+c不是定值，所以肯定要對函數(shù)式進(jìn)行變形可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了解：設(shè)長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則y=abc，2ab+2bc+2ac=S而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y2有最小值答：長方體的長、寬、高都等于時體積的最大值為.說明：對應(yīng)用問題的處理，要把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，列好函數(shù)關(guān)系式是求解問題的關(guān)健. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？2.證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面體P-ABC中，APB=BPC=CPA=90°，各棱長的和為m，求這個四面體體積的最大值4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相交，試證明對一切R都有.5青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗，欲使其用料最省，問漏斗高與漏斗底面半徑應(yīng)具有怎樣的比例？6輪船每小時使用燃料費(fèi)用(單位：元)和輪船速度(單位：海里時)的立方成正比已知某輪船的最大船速是18海里時，當(dāng)速度是10海里時時，它的燃料費(fèi)用是每小時30元，其余費(fèi)用(不論速度如何)都是每小時480元，如果甲、乙兩地相距1000海里，求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費(fèi)用與船速的函數(shù)關(guān)系，并問船速為多少時，總費(fèi)用最低？尋求二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的方法簡單線性規(guī)劃問題是高考必考知識點(diǎn)，而其基礎(chǔ)在于研究二元一次不等式（組）所對應(yīng)的平面區(qū)域下面介紹一些方法來快速準(zhǔn)確地確定二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域 方法一：直線定界，特殊點(diǎn)定域找出一個二元一次不等式（組）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所表示的平面區(qū)域的基本方法是：畫直線取特殊點(diǎn)代值定域求公共部分畫直線作出各不等式對應(yīng)方程表示的直線（原不等式帶等號的作實(shí)線，否則作虛線）；取特殊點(diǎn)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線要么過原點(diǎn)，要么不過原點(diǎn)；當(dāng)直線過原點(diǎn)時我們選取特殊點(diǎn)或（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），當(dāng)直線不過原點(diǎn)時我們選取原點(diǎn)做特殊點(diǎn)；代值定域?qū)⑦x取的特殊點(diǎn)代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在的區(qū)域；如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在區(qū)域的另一邊求公共部分不等式組所確定的平面區(qū)域，是各個二元一次不等式所表示平面區(qū)域的公共部分例1畫出不等式組所表示的平面區(qū)域解析：畫直線：不等式對應(yīng)的直線方程是；不等式對應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與（如圖）      取特殊點(diǎn)：直線過原點(diǎn)，可取特殊點(diǎn)；直線不過原點(diǎn)，可取特殊點(diǎn) 將代入，即，不等式不成立，直線另一側(cè)區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域；將代入，即，不等式成立，則原點(diǎn)所在區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域（圖一） 求公共部分：如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域 方法二：法向量判定法由平面解析幾何知識知道直線（不同時為0）的一個法向量為以坐標(biāo)原點(diǎn)作為法向量的始點(diǎn)，可以利用向量內(nèi)積證明如下結(jié)論：（1）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量指向的區(qū)域；（大于同向）（2）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量反向的區(qū)域；（小于反向） 例2畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 解析：不等式對應(yīng)的直線方程是，法向量；不等式對應(yīng)的直線方程是，法向量；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與及其相應(yīng)的法向量（如圖）      由于不等式（），平面區(qū)域是法向量指向的區(qū)域（圖一）；不等式（），平面區(qū)域是法向量反向的區(qū)域（圖二） 然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域方法三：未知數(shù)系數(shù)化正法直線（不同時為0）含有兩個未知數(shù)，于是我們可以將未知數(shù)的系數(shù)分為兩類：項(xiàng)系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)來研究（1）項(xiàng)系數(shù)化正法：顧名思義就是利用不等式性質(zhì)，不等號兩邊同時（移項(xiàng)）將項(xiàng)系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的上方；反之為下方）有結(jié)論：項(xiàng)系數(shù)正值化：上；下例3畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 解析：不等式對應(yīng)的直線方程是；不等式對應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與（如圖）    將不等式組中每個不等式項(xiàng)系數(shù)正值化，得或（移項(xiàng)）關(guān)于的不等式（）即（或者），直線上方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖一）；關(guān)于的不等式（）即，直線下方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖二） 然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域（2）項(xiàng)系數(shù)化正法：同（1）一樣，不等號兩邊同時（或移項(xiàng)）將項(xiàng)系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號來確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的右方；反之為左方）有結(jié)論：項(xiàng)系數(shù)正值化：右；左可結(jié)合例3來對項(xiàng)系數(shù)化正法進(jìn)行理解上述方法中，方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的常規(guī)方法，思維回路較長，適合對理論的學(xué)習(xí)，但要快速準(zhǔn)確地解決簡單的線性規(guī)劃問題就必須掌握方法二或方法三中之一目標(biāo)函數(shù)幾何意義在變化 線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是本質(zhì)是“以形助數(shù)”即主要利用形的直觀性來解決問題由于目標(biāo)函數(shù)在不斷地變動，呈現(xiàn)出多樣性和隱蔽性，所以我們要認(rèn)真研究目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，使目標(biāo)函數(shù)具體化和明朗化下面舉例說明： 一、目標(biāo)距離化 例1已知實(shí)數(shù)x，y滿足,則的最大值是            分析，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)（1，1）的距離的平方，畫出可行域可求得 解：如圖，作出可行域，則可知行域內(nèi)點(diǎn)（4，1）到可點(diǎn)（1，1）的距離最大，從圖形中可只是3，故  例2已知實(shí)數(shù)滿足，求的最大值 分析：這個目標(biāo)函數(shù)就顯得有點(diǎn)“隱蔽”了，注意到目標(biāo)函數(shù)有個絕對值符號，聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，那么就可順利解決了，也是說表示為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離的倍 解：作出可行域，（如上圖）可知可行域內(nèi)的點(diǎn)（7，9）到直線的距離最大，所以 二、目標(biāo)角度化 已知為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，的坐標(biāo)均滿足不等式組，則的最小值等于              分析：作出相應(yīng)的可行域，可知越大，則越小，所以可知在（1，7）（4，3）此時與原點(diǎn)O的張角最大 解：畫出可行域，不失一般性，不妨設(shè)P（1，7），Q（4，3）；則，則，所以 三、目標(biāo)斜率化 例4已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是_. 分析，觀察的結(jié)構(gòu)特征，令人想到平面內(nèi)的兩點(diǎn)間的斜率公式，可得表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的斜率，結(jié)個可行域可得其取值范圍是，具體的過程留給聰明的讀者 四、目標(biāo)投影化 例5已知點(diǎn)（O為原點(diǎn)）的最大值為                分析：這個目標(biāo)函數(shù)更為隱蔽了，表示的是是方向上的投影 解：作出可行域，則可知P（5，2），則=（5，2），則在上的投影是PQ，可看作點(diǎn)P到直線是距離 五、目標(biāo)面積化 例6已知實(shí)數(shù)滿足，求的最大值 分析：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（正好在第一象限）到兩坐標(biāo)軸距離的乘積的兩倍，即過該點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線，長線段與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積的2倍，可知當(dāng)時取得最大值，最大值是 同學(xué)們應(yīng)該知道目標(biāo)函數(shù)是直線的截距的這種類型的基礎(chǔ)上，還要知道距離、投影、斜率、角度、面積等幾種常見的形式這樣我們的在解決線性規(guī)劃問題上才能心中有“形”下面提供部分習(xí)題請同學(xué)們完成 （1）若函數(shù)是定義在上的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（    ）                                 A             B           C   D （2）約束條件，目標(biāo)函數(shù)的最小值是             （3）已知（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為            答案：（1）D    （2）  0       （3）5錯解剖析得真知（十三）簡單的線性規(guī)劃 一、知識導(dǎo)學(xué) 1. 目標(biāo)函數(shù): 是一個含有兩個變 量 和 的 函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3. 整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)4.線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃 二、疑難知識導(dǎo)析 線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù).1.對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域若直 線 不 過 原點(diǎn)，通 常 選 擇 原 點(diǎn) 代入檢驗(yàn)3. 平 移 直 線 k 時，直線必須經(jīng)過可行域4.對于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點(diǎn)5.簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例1 畫出不等式組表示的平面區(qū)域.錯解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.錯因一是實(shí)虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯了.正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.  例2 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范圍.錯解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6     ×(1)+ 得：02y3  .×2+×(1)得. 34x2y12錯因：可行域范圍擴(kuò)大了. 正解：線性約束條件是：令z4x2y，畫出可行域如圖所示，由得A點(diǎn)坐標(biāo)（1.5，0.5）此時z4×1.52×0.55.由得B點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）此時z4×32×110.  54x2y10  例3 已知,求x2+y2的最值.錯解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2由得A點(diǎn)坐標(biāo)（4，1），此時zx2+y242+1217，由得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，6），此時zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點(diǎn)坐標(biāo)（3，2），此時zx2+y2（3）2+2213，  當(dāng)時x2+y2取得最大值37，當(dāng)時x2+y2取得最小值13.錯因：誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的平方的最值.正解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界），令z= x2+y2,則z即為點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方.由得A點(diǎn)坐標(biāo)（4，1），此時zx2+y242+1217，由得B點(diǎn)坐標(biāo)（1，6），此時zx2+y2（1）2+(6)237，由得C點(diǎn)坐標(biāo)（3，2），此時zx2+y2（3）2+2213，而在原點(diǎn)處，此時zx2+y202+020，  當(dāng)時x2+y2取得最大值37，當(dāng)時x2+y2取得最小值0. 例4某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤最大？分析： 數(shù)據(jù)分析列表 書桌書櫥資源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利潤（元/張）80120 計(jì)劃生產(chǎn)（張）xy 設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤z元，則約束條件為目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y作出上可行域：作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過點(diǎn)A（100，400）時，即合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤為zmax=80×100+400×120=56000(元)若只生產(chǎn)書桌，得0<x300，即最多生產(chǎn)300張書桌，利潤為z=80×300=24000（元）若只生產(chǎn)書櫥，得0<y450，即最多生產(chǎn)450張書櫥，利潤為z=120×450=54000（元）    答：略例5某鋼材廠要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如下表：  A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板121第二種鋼板113需求121527每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2 m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，請你們?yōu)樵搹S計(jì)劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少張，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最小？只用第一種鋼板行嗎？   解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則    目標(biāo)函數(shù)z=x+2y作出可行域如圖作一組平行直線x+2y=t，由可得交點(diǎn)，但點(diǎn)不是可行域內(nèi)的整點(diǎn)，其附近的整點(diǎn)（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20若只截第一種鋼板，由上可知x27，所用鋼板面積最少為z=27(m2);若只截第二種鋼板，則y15，最少需要鋼板面積z=2×15=30(m2).它們都比zmin大，因此都不行.答：略 例6設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值.解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，當(dāng)與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，對應(yīng)最小，說明：1線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得；      2線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1畫出不等式+2y40表示的平面區(qū)域. 2畫出不等式組表示的平面區(qū)域  3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件4.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總成本不超過6000元，運(yùn)費(fèi)不超過2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？ 5.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？ 6（06年高考廣東）在約束條件下，當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)   的最大值的變化范圍是   A.6,15                  B.7,15C.6,8                    D.7,8 線性規(guī)劃解法賞析 “最優(yōu)化”問題中的簡單線性規(guī)劃是高考?？贾R點(diǎn)，屬于不等式模塊，重點(diǎn)考查學(xué)生的動手操作能力。隨著新課程改革的全面施行，現(xiàn)有的人教版教材把不等式內(nèi)容進(jìn)行了很大程度的推廣和深化。高中數(shù)學(xué)的教學(xué)，不是把已有的簡單問題復(fù)雜化，而是應(yīng)該在比學(xué)生理解掌握的知識水平更低的層次來思考解決問題的方法，讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)不是高不可攀的。因此，有必要對線性規(guī)劃問題的解法做一下梳理強(qiáng)化，結(jié)合例題多策略求解，以便學(xué)生參考選擇適合自己的方法。 （人教B版）例3 兩個居民小區(qū)的居委會組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛心活動，兩個小區(qū)都有同學(xué)參加。已知小區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)；小區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)。如果要求區(qū)參與活動的同學(xué)比區(qū)參與活動的同學(xué)多，且去敬老院的往返總車費(fèi)不超過37元。怎樣安排兩區(qū)參與活動同學(xué)的人數(shù)，才能使受到服務(wù)的老人最多？受到服務(wù)的老人最多是多少？ 解：依題意可列表如下：地區(qū)往返車費(fèi)（元）服務(wù)人數(shù)（人）區(qū)區(qū)要求不超過 設(shè)兩區(qū)參與活動的人數(shù)分別為、，則受到服務(wù)的老人的人數(shù)為  其中滿足下列條件  于是問題轉(zhuǎn)化為，在滿足上述約束條件下，求式子的最大值。 【解法一】線定界，點(diǎn)定域，距離確定最優(yōu)解 在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對應(yīng)的直線：不等式、與對應(yīng)的直線方程分別為、與；在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線（實(shí)線）、（實(shí)線）與（實(shí)線）。 取特殊點(diǎn)確定約束條件表示的可行域：平面直角坐標(biāo)系中的直線分為過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩類，不過原點(diǎn)的直線定域取特殊點(diǎn)；過原點(diǎn)的直線定域取特殊點(diǎn)或。  可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解：作出直線：，結(jié)合圖中所示可行域，容易看出點(diǎn)到直線的距離最大，若是整點(diǎn)，則是最優(yōu)解。 【解法二】線定界，號定域，距離確定最優(yōu)解 在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對應(yīng)的直線。（同解法一） 將約束條件中各不等式的項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)：。由下列結(jié)論，通過不等號來確定約束條件表示的可行域： （或），且，則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€上方（大于上）； （或），且，則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€下方（小于下）。 可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解：作出直線：，結(jié)合圖中所示可行域，容易看出點(diǎn)到直線的距離最大，若是整點(diǎn)，則是最優(yōu)解。 【解法三】線定界，方向定域，距離確定最優(yōu)解 在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對應(yīng)的直線。（同解法一） 約束條件化為：，直線（不同時為0）的一個法向量為（設(shè)其以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)），由下列結(jié)論確定約束條件表示的可行域： （或），則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橥颍ù笥谕颍?#160;（或），則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)榉聪颍ㄐ∮诜聪颍?#160;可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解：作出直線：，結(jié)合圖中所示可行域，容易看出點(diǎn)到直線的距離最大，若是整點(diǎn)，則是最優(yōu)解。§5.3 基本不等式的證明 一、知識導(dǎo)學(xué) 1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法).(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“-0；-0”.其一般步驟為：作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體；變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法.(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若，R+，/1；/1”.其一般步驟為：作商：將左右兩端作商；變形：化簡商式到最簡形式；判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法.2.綜合法：利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?，逐步推出“結(jié)論”.即從已知逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論.3.分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題成立，只需證明命題1為真，從而有，這只需證明2為真，從而又有，這只需證明為真，而已知為真，故必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件.4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式>，先假設(shè)，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定>.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法.5.換元法：換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進(jìn)行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示.此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題； (2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如>>等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡.如+=1，可以用=1-，=或=1/2+，=1/2-進(jìn)行換元. 二、疑難知識導(dǎo)析 1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負(fù)號，以確定不等號的方向.2.分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因?yàn)樗鼦l理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習(xí)慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程.因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因?yàn)檫@時僅需尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價命題了.用分析法證明問題時，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語.4.反證法證明不等式時，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果.這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要注意整體思想的應(yīng)用. 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例1 已知a>b(ab),比較與的大小.錯解： a>b(ab)，<.錯因：簡單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是：當(dāng)兩數(shù)同號時，大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正解：，又 a>b(ab)，(1)當(dāng)a、b同號時，即a>b>0或b<a<0時，則ab>0,ba<0, ,<.(2)當(dāng)a、b異號時，則a>0,b<0, >0,<0>.例2 當(dāng)a、b為兩個不相等的正實(shí)數(shù)時，下列各式中最小的是（）A.B.C.D.錯解：所以選B.錯因是由于在、中很容易確定最小，所以易誤選B.而事實(shí)上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知選項(xiàng)A、B、C中，最小，而，由當(dāng)ab時，a+b>2,兩端同乘以，可得（a+b）·2ab, ，因此選D.例3 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.錯解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.錯因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4             = (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例4 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小.解法一：            0 < 1 - x2 < 1,           解法二：            0 < 1 - x2 < 1,  1 + x > 1,           解法三：0 < x < 1,  0 < 1 - x < 1,  1 < 1 + x < 2,             左 - 右 =       0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1           例5已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xyac + bd證：證法一（分析法）a, b, c, d, x, y都是正數(shù)               要證：xyac + bd                 只需證：(xy)2(ac + bd)2                 即：(a2 + b2)(c2 + d2)a2c2 + b2d2 + 2abcd                 展開得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2a2c2 + b2d2 + 2abcd                 即：a2d2 + b2c22abcd     由基本不等式，顯然成立               xyac + bd證法二（綜合法）xy =                 證法三（三角代換法）      x2 = a2 + b2，不妨設(shè)a = xsina,  b = xcosay2 = c2 + d2                c = ysinb,  d = ycosb            ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)xy例6 已知x > 0，求證： 證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2a<b  由顯然  2a<b   a - b > 0,  ab - 1 > 0,  ab > 0  上式 > 0f (x)在上單調(diào)遞增，左邊 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1.比較（a+3）(a5)與（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：4.若，求證：5.若x > 1，y > 1，求證： 6證明：若a > 0，則