2013高考數(shù)學 秒殺必備 放縮法在數(shù)列不等式證明的運用論文 人教版
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2013高考數(shù)學 秒殺必備 放縮法在數(shù)列不等式證明的運用論文 人教版
放縮法在數(shù)列不等式證明中的運用高考中利用放縮方法證明不等式,文科涉及較少,但理科卻常常出現(xiàn),且多是在壓軸題中出現(xiàn)。放縮法證明不等式有法可依,但具體到題,又常常沒有定法,它綜合性強,形式復雜,運算要求高,往往能考查考生思維的嚴密性,深刻性以及提取和處理信息的能力,較好地體現(xiàn)高考的甄別功能。本文旨在歸納幾種常見的放縮法證明不等式的方法,以冀起到舉一反三,拋磚引玉的作用。一、 放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例1. 滿足:(1) 用數(shù)學歸納法證明:(2) ,求證:解:(1)略(2) 又 , 迭乘得: 點評:把握“”這一特征對“”進行變形,然后去掉一個正項,這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學歸納法,似乎是不可能的,為什么?值得體味!二、放縮后裂項迭加例2數(shù)列,其前項和為求證:解:令,的前項和為當時, 點評:本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個常數(shù),也是常用的放縮手法。值得注意的是若從第二項開始放大,得不到證題結(jié)論,前三項不變,從第四項開始放大,命題才得證,這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神。例3.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為(1)用表示出(2)若在上恒成立,求的取值范圍(3)證明:解:(1)(2)略(3)由(II)知:當令且當令即將上述n個不等式依次相加得整理得點評:本題是2010湖北高考理科第21題。近年,以函數(shù)為背景建立一個不等關(guān)系,然后對變量進行代換、變形,形成裂項迭加的樣式,證明不等式,這是一種趨勢,應特別關(guān)注。當然,此題還可考慮用數(shù)學歸納法,但仍需用第二問的結(jié)論。三、 放縮后迭乘例4.(1) 求(2) 令,求數(shù)列的通項公式(3) 已知,求證: 解:(1)(2)略 由(2)得 點評:裂項迭加,是項項相互抵消,而迭乘是項項約分,其原理是一樣的,都似多米諾骨牌效應。只是求項和時用迭加,求項乘時用迭乘。