圓周運(yùn)動  一、主要內(nèi)容本章內(nèi)容包括圓周運(yùn)動的動力學(xué)部分和物體做圓周運(yùn)動的能量問題，其核心內(nèi)容是牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律等知識在圓周運(yùn)動中的具體應(yīng)用。二、基本方法本章中所涉及到的基本方法與第二章牛頓定律的方法基本相同，只是在具體應(yīng)用知識的過程中要注意結(jié)合圓周運(yùn)動的特點(diǎn)：物體所受外力在沿半徑指向圓心的合力才是物體做圓周運(yùn)動的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物體的受力情況同樣也是本章的基本方法；只有物體所受的合外力的方向沿半徑指向圓心，物體才做勻速圓周運(yùn)動。根據(jù)牛頓第二定律合外力與加速度的瞬時(shí)關(guān)系可知，當(dāng)物體在圓周上運(yùn)動的某一瞬間的合外力指向圓心，我們?nèi)钥梢杂门ｎD第二定律對這一時(shí)刻列出相應(yīng)的牛頓定律的方程，如豎直圓周運(yùn)動的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的問題。另外，由于在具體的圓周運(yùn)動中，物體所受除重力以外的合外力總指向圓心，與物體的運(yùn)動方向垂直，因此向心力對物體不做功，所以物體的機(jī)械能守恒。三、錯(cuò)解分析在本章知識應(yīng)用的過程中，初學(xué)者常犯的錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在：對物體做圓周運(yùn)動時(shí)的受力情況不能做出正確的分析，特別是物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，靜摩擦力參與提供向心力的情況；對牛頓運(yùn)動定律、圓周運(yùn)動的規(guī)律及機(jī)械能守恒定律等知識內(nèi)容不能綜合地靈活應(yīng)用，如對于被繩（或桿、軌道）束縛的物體在豎直面的圓周運(yùn)動問題，由于涉及到多方面知識的綜合，表現(xiàn)出解答問題時(shí)顧此失彼。例1  假如一做圓周運(yùn)動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的2倍，仍做圓周運(yùn)動，則（    ）A根據(jù)公式v=r，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度增大到原來的2倍。D根據(jù)上述選項(xiàng)B和C給出的公式，可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度將減【錯(cuò)解】選擇A，B，C所以選擇A，B，C正確?！惧e(cuò)解分析】A，B，C中的三個(gè)公式確實(shí)是正確的，但使用過程中A，【分析解答】正確選項(xiàng)為C，D。A選項(xiàng)中線速度與半徑成正比是在角速度一定的情況下。而r變化時(shí)，角速度也變。所以此選項(xiàng)不正確。同理B選項(xiàng)也是如此，F(xiàn)是在v一定時(shí)，但此時(shí)v變化，故B選項(xiàng)錯(cuò)。而C選項(xiàng)中G，M，m都是恒量，所以F【評析】物理公式反映物理規(guī)律，不理解死記硬背經(jīng)常會出錯(cuò)。使用中應(yīng)理解記憶。知道使用條件，且知道來攏去脈。衛(wèi)星繞地球運(yùn)動近似看成圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，由此將根據(jù)以上式子得出例2  一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多），圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。A球的質(zhì)量為m1， B球的質(zhì)量為m2。它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0。設(shè)A球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，球恰好運(yùn)動到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m1，m2，R與v0應(yīng)滿足關(guān)系式是?！惧e(cuò)解】依題意可知在A球通過最低點(diǎn)時(shí)，圓管給A球向上的彈力N1為向心力，則有B球在最高點(diǎn)時(shí)，圓管對它的作用力N2為m2的向心力，方向向下，則有因?yàn)閙2由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，則有【錯(cuò)解原因】錯(cuò)解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏規(guī)范的解題過程。沒有做受力分析，導(dǎo)致漏掉重力，表面上看分析出了N1=N2，但實(shí)際并沒有真正明白為什么圓管給m2向下的力?？傊畯母旧峡催€是解決力學(xué)問題的基本功受力分析不過關(guān)。【分析解答】首先畫出小球運(yùn)動達(dá)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力圖，如圖4-1所示。A球在圓管最低點(diǎn)必受向上彈力N1，此時(shí)兩球?qū)A管的合力為零，m2必受圓管向下的彈力N2，且N1=N2。據(jù)牛頓第二定律A球在圓管的最低點(diǎn)有同理m2在最高點(diǎn)有m2球由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒【評析】比較復(fù)雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對象，逐一分析就會變?yōu)楹唵螁栴}。找出其中的聯(lián)系就能很好地解決問題。例3  從地球上發(fā)射的兩顆人造地球衛(wèi)星A和B，繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑之比為RARB=41，求它們的線速度之比和運(yùn)動周期之比。設(shè)A，B兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為mA，mB。【錯(cuò)解原因】這里錯(cuò)在沒有考慮重力加速度與高度有關(guān)。根據(jù)萬有引力定律知道：可見，在“錯(cuò)解”中把A，B兩衛(wèi)星的重力加速度gA，gB當(dāng)作相同的g來處理是不對的。【分析解答】衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有【評析】我們在研究地球上的物體的運(yùn)動時(shí)，地面附近物體的重力加速度近似看做是恒量。但研究天體運(yùn)動時(shí)，應(yīng)注意不能將其認(rèn)為是常量，隨高度變化，g值是改變的。例4  使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點(diǎn)上升，那么需給它最小速度為多大時(shí)，才能使它達(dá)到軌道的最高點(diǎn)？【錯(cuò)解】如圖4-2所示，根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最高點(diǎn)A時(shí)的勢能等于它在圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)的動能（以B點(diǎn)作為零勢能位置），所以為從而得【錯(cuò)解原因】小球到達(dá)最高點(diǎn)A時(shí)的速度vA不能為零，否則小球早在到達(dá)A點(diǎn)之前就離開了圓形軌道。要使小球到達(dá)A點(diǎn)（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點(diǎn)的速度必須滿足式中，NA為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在A點(diǎn)作圓周運(yùn)動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當(dāng)NA=0時(shí)，【分析解答】以小球?yàn)檠芯繉ο?。小球在軌道最高點(diǎn)時(shí)，受重力和軌道給的彈力。小球在圓形軌道最高點(diǎn)A時(shí)滿足方程根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)的速度滿足方程解(1)，(2)方程組得軌道的最高點(diǎn)A。例5  用長L=1.6m的細(xì)繩，一端系著質(zhì)量M=1kg的木塊，另一端掛在固定點(diǎn)上?，F(xiàn)有一顆質(zhì)量m=20g的子彈以v1=500ms的水平速度向木塊中心射擊，結(jié)果子彈穿出木塊后以v2=100ms的速度前進(jìn)。問木塊能運(yùn)動到多高？（取g=10ms2，空氣阻力不計(jì)）【錯(cuò)解】在水平方向動量守恒，有mv1=Mv+mv2                                  (1)式中v為木塊被子彈擊中后的速度。木塊被子彈擊中后便以速度v開始擺動。由于繩子對木塊的拉力跟木塊的位移垂直，對木塊不做功，所以木塊的機(jī)械能守恒，即h為木塊所擺動的高度。解，聯(lián)立方程組得到v=8(v/s)h=3.2(m)【錯(cuò)解原因】這個(gè)解法是錯(cuò)誤的。h=3.2m，就是木塊擺動到了B點(diǎn)。如圖4-3所示。則它在B點(diǎn)時(shí)的速度vB。應(yīng)滿足方程這時(shí)木塊的重力提供了木塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動所需要的向心力。解如果vB4 m/s，則木塊不能升到B點(diǎn)，在到達(dá)B點(diǎn)之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運(yùn)動。而木塊在B點(diǎn)時(shí)的速度vB=4m/s，是不符合機(jī)械能守恒定律的，木塊在 B點(diǎn)時(shí)的能量為(選A點(diǎn)為零勢能點(diǎn))兩者不相等?？梢娔緣K升不到B點(diǎn)，一定是h3.2 m。實(shí)際上，在木塊向上運(yùn)動的過程中，速度逐漸減小。當(dāng)木塊運(yùn)動到某一臨界位置C時(shí)，如圖44所示，木塊所受的重力在繩子方向的分力恰好等于木塊做圓周運(yùn)動所需要的向心力。此時(shí)繩子的拉力為零，繩子便開始松弛了。木塊就從這個(gè)位置開始，以此刻所具有的速度vc作斜上拋運(yùn)動。木塊所能到達(dá)的高度就是C點(diǎn)的高度和從C點(diǎn)開始的斜上拋運(yùn)動的最大高度之和?！痉治鼋獯稹?#160; 如上分析，從式求得vA=v=8m/s。木塊在臨界位置C時(shí)的速度為vc，高度為h=l(1+cos)如圖所示，根據(jù)機(jī)船能守恒定律有木塊從C點(diǎn)開始以速度vc做斜上拋運(yùn)動所能達(dá)到的最大高度h為【評析】  物體能否做圓運(yùn)動，不是我們想象它怎樣就怎樣這里有一個(gè)需要的向心力和提供向心力能否吻合的問題，當(dāng)需要能從實(shí)際提供中找到時(shí)，就可以做圓運(yùn)動。所謂需要就是符合牛頓第二定律F向=ma向的力，而提供則是實(shí)際中的力若兩者不相等，則物體將做向心運(yùn)動或者離心運(yùn)動。