第一講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)曲線的交點(diǎn)和函數(shù)的零點(diǎn)第三課時(shí)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象的交點(diǎn)或方程的根的個(gè)數(shù)曲線的交點(diǎn)和函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān)，解題時(shí)，還需要用圖象幫助思考，而求函數(shù)的單調(diào)性與極值以及畫函數(shù)的圖象的有力工具就是導(dǎo)數(shù).【例1】（2008江西卷， 文）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)的圖象與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍【分析及解】（）令，得在的已知條件下，及隨的變化情況列表如下： 減極小值增極大值增極小值減所以的遞增區(qū)間為與，的遞減區(qū)間為與（）要研究函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的情況,就要考慮函數(shù)的極大值和極小值相對(duì)于的位置.由（）得到， 由圖可知，要使的圖象與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，只需(1) 兩個(gè)極小值一個(gè)大于且另一個(gè)小于,即;(2) 極大值小于,即，即或【例2】（2008四川 卷,理）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)（）求；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若直線與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍【分析及解】（）因?yàn)?，所以因此?dāng)時(shí), ,由此可知,當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增,所以, 當(dāng)時(shí), 是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)于是, .（）由（）知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是（）與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；等價(jià)于有個(gè)實(shí)數(shù)根；即有個(gè)實(shí)數(shù)根；此時(shí),函數(shù)的圖象與軸有個(gè)不同交點(diǎn)，令，則，令，解得或，隨的變化情況列表如下：00極大值極小值為極大值,為極小值.由表可得的示意圖：為使圖象與軸有3個(gè)不同交點(diǎn),必須的極大值大于零,極小值小于零.即可化為 解得【例3】（2008陜西卷文）設(shè)函數(shù)其中實(shí)數(shù)（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且存在最小值時(shí)，記的最小值為，求的值域；（）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍【分析及解】（） ，又， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)（）由題意知 ，即恰有一根（含重根）因?yàn)?一定有一根,所以,沒有實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,因此有，即.又， 當(dāng)時(shí)，才存在最小值， ，所以, 于是的值域?yàn)椋ǎ┊?dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)由題意得，解得；當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)由題意得，解得；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為【例4】(2006四川卷,文）已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（）對(duì)滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)【分析及解】（）由題意. 令，,對(duì)，恒有，即. 即 解得.故時(shí)，對(duì)滿足的一切的值，都有（）當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)，令則 .列表： 增極大減極小增所以,.又因?yàn)榈闹涤蚴?，且在上單調(diào)遞增.所以,當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)時(shí)，恒有, 此時(shí), 的圖象與軸不能再有公共點(diǎn),必須得極大值小于零,即, ,解得.綜上，的取值范圍是【例5】（2006福建卷，文）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【分析及解】（I）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，且的解集是所以可設(shè)由,因?yàn)樵趨^(qū)間上,函數(shù)是減函數(shù),在區(qū)間上, 函數(shù)是增函數(shù).所以,在區(qū)間上的最大值是由已知，得所以, 的解析式為（II）方程等價(jià)于方程設(shè)則當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。因?yàn)樗苑匠淘趨^(qū)間內(nèi)分別有唯一的實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根?！纠?】(2006福建卷，理）已知函數(shù)（I）求在區(qū)間上的最大值（II）是否存在實(shí)數(shù)使得的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由?！痉治黾敖狻浚↖）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，綜上，（II）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)或時(shí)，于是,當(dāng)充分接近0時(shí)，當(dāng)充分大時(shí)，因此,要使的圖象與軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須即所以存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，的取值范圍為【練習(xí)題】1.（2005全國,文）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（）求的極值；（）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)2.研究三次方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根的條件.3、(2007年全國卷,理) 已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：【分析及解】（）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即（）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使 于是，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則 當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000增極大值減極小值增由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即【練習(xí)題參考答案】1.(I),若，則.當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：1+00+極大值極小值的極大值是，極小值是(II)函數(shù)由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有>0，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有<0，所以曲線=與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合的單調(diào)性可知：解得.或解得.當(dāng)時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。2. 三次方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,有下列兩種情況:(1) 函數(shù)在上是單調(diào)的，這相當(dāng)于恒大于零，或恒小于零，即，即.(2) 函數(shù)在上不是單調(diào)的，設(shè)有兩個(gè)根為(此時(shí))，這時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大或極小值,需滿足或即.因此,三次方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根的條件是: 或.