第四章 圖象處理中的正交變換,空域處理法 頻域（變換域）處理法 在頻域處理中最為關(guān)鍵的預(yù)處理就是變換處理。這種變換一般是線性變換，其基本線性運算式是嚴格可逆的，并且滿足一定的正交條件。 在圖象處理中正交變換被廣泛應(yīng)用于圖象特征提取、圖象增強、圖象復(fù)原、圖象識別、圖象編碼等處理中。,本章的幾個重要問題,空間域圖像變換到頻域的具體實現(xiàn)（圖像離散傅立葉變換與反變換公式） 頻域圖像的表達特點與理解（經(jīng)中心變換后，低頻在內(nèi)，高頻在外） 對頻域低通濾波的理解 對頻域高通濾波的理解,頻域變換:理論基礎(chǔ),理論基礎(chǔ) 線性系統(tǒng) 卷積與相關(guān),線性系統(tǒng),線性系統(tǒng) 系統(tǒng)的定義： 接受一個輸入，并產(chǎn)生相應(yīng)輸出的任何實體。 系統(tǒng)的輸入是一個或兩個變量的函數(shù)，輸出 是相同變量的另一個函數(shù)。,x(t)輸入,系統(tǒng),y(t)輸出,線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)的定義： 對于某特定系統(tǒng)，有： x1(t) y1(t) x2(t) y2(t) 該系統(tǒng)是線性的當(dāng)且僅當(dāng)： x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t) 從而有：a*x1(t) a*y1(t),線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)平移不變性的定義： 對于某線性系統(tǒng)，有： x(t) y(t) 當(dāng)輸入信號沿時間軸平移T，有： x(t - T) y(t - T) 則稱該線性系統(tǒng)具有平移不變性,卷 積,卷積 卷積的定義 離散一維卷積 二維卷積的定義 離散二維卷積,卷積的定義 對于一個線性系統(tǒng)的輸入f(t)和輸出h(t)，如果有一個一般表達式，來說明他們的關(guān)系，對線性系統(tǒng)的分析，將大有幫助 卷積積分就是這樣的一般表達式 h(t) = g(t - )f()d 記為：h = g * f - g(t)稱為沖激響應(yīng)函數(shù),離散一維卷積 h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j) j,二維卷積的定義 h(x,y) = f*g = f(u,v)g(x u, y v)dudv - 離散二維卷積 h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x m, y n) m n,傅立葉變換,周期函數(shù)可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式 非周期函數(shù)可以用正弦和/或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分來表示這種情況下的公式就是傅立葉變換,傅立葉變換,一維連續(xù)傅立葉變換：幾個概念 假設(shè)函數(shù)f(x)為實函數(shù)。但一個實函數(shù)的傅立葉變換可能為復(fù)函數(shù)： F(u) = R(u) + jI(u) （1） 傅立葉變換的幅度或頻率譜： |F(u)| = R2(u) + I2(u)1/2 （2）傅立葉變換的功率譜/能量譜： P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u),傅立葉變換,傅立葉變換,一維連續(xù)傅立葉變換：幾個概念 （3）傅立葉變換的相位譜： (u) = tan-1 (I(u) / R(u) （4）傅立葉變換中的變量u通常稱為頻率變量 這個名稱源于歐拉公式中的指數(shù)項 exp-j2ux = cos2ux - jsin2ux （ exp j a = cosa - jsina） 如果把傅立葉變換的積分解釋為離散項的和，則易推出F(u)是一組sin和cos函數(shù)項的無限和，其中u的每個值決定了其相應(yīng)cos, sin函數(shù)對的頻率。,先以一維為例：,傅立葉變換,二維傅立葉變換的性質(zhì),2. 平移性,移中性,直接變換：,原圖像f（x，y）,移中的變換：,傅立葉變換,二維傅立葉變換的性質(zhì),2. 平移性,幅度譜（頻率譜）中每一點(u, v)的幅度|F(u, v)|可用來表示該頻率的正弦（余弦）平面波在疊加中所占的比例。,均值性 均值性的描述： 離散函數(shù)的均值等于該函數(shù)傅立葉變換在(0,0)點的值 M-1N-1 F(0,0) = 1/MNf(x,y)e0 x=0 y=0,周期與共軛對稱 周期性的描述：離散傅立葉變換DFT和它的逆變換是以N為周期的 對于一維傅立葉變換有： F(u) = F(u + N) 對于二維傅立葉變換有： F(u,v) = F(u + M,v+N),周期與共軛對稱 共軛對稱性的描述：傅立葉變換結(jié)果是以原點為中心的共軛對稱函數(shù) 對于一維傅立葉變換有： F(u) = F*(-u) 對于二維傅立葉變換有： F(u,v) = F*(-u ,-v) * 表示對于復(fù)數(shù)的標(biāo)準共軛操作,快速傅立葉變換（FFT）及編程實現(xiàn) 離散余弦變換 沃爾什變換 哈爾函數(shù)及哈爾變換 斜矩陣與斜變換 小波變換 快速算法（Mallat算法）,頻域增強,頻域增強的理論基礎(chǔ) 卷積理論 被處理圖象f(x,y) 變換函數(shù)h(x,y) /*線性、位置無關(guān)操作 目標(biāo)圖象g(x,y) 有卷積：g(x,y) = h(x,y) * f(x,y) 有等式：G(u,v) = H(u,v)F(u,v) 有等式：g(x,y) = F-1H(u,v)F(u,v),頻域增強的原理 頻率平面與圖象空域特性的關(guān)系 圖象變化平緩的部分靠近頻率平面的圓心，這個區(qū)域為低頻區(qū)域 圖象中的邊、噪音、變化陡峻的部分，以放射方向離開頻率平面的圓心，這個區(qū)域為高頻區(qū)域,頻域增強的原理,變化平緩部分,邊、噪音、變化陡峭部分,u,v,頻域增強的處理方法 對于給定的圖象f(x,y)和目標(biāo)， 用（-1）x+y * f(x,y)進行中心變換 計算出它的傅立葉變換F(u,v) 選擇一個變換函數(shù)H(u,v)，計算H(u,v) F(u,v) (注意：并非到空域找) 計算出它的反傅立葉變換 用（-1）x+y乘以上面結(jié)果的實部，得目標(biāo)圖像 H(u,v)被稱為濾波器,陷波濾波器（帶阻）,離散函數(shù)的均值等于該函數(shù)傅立葉變換在(0,0)點的值 M-1N-1 F(0,0) = 1/MNf(x,y)e0 x=0 y=0 H(u,v) = 0, (u,v)=(M/2,N/2) 1, else,SEM即掃描電子顯微鏡圖片,頻域增強與空域模板增強的關(guān)系 卷積的離散表達式，基本上可以理解為模板運算的數(shù)學(xué)表達方式 M-1 N-1 g(x,y) = f*h = f(m,n)h(x m, y n) m=0 n=0 因此，卷積的沖擊響應(yīng)h(x,y)，被稱為空域卷積模板，這種稱謂僅在模板相對中心原點是對稱的時，才是成立的,頻域增強與空域增強的關(guān)系 在實踐中，小的空間模板比傅立葉變換用得多得多，因為它們易于實現(xiàn)，操作快捷。 對于很多在空域上難以表述清楚的問題，對頻域概念的理解就顯得十分重要（如壓縮),圖像增強:頻域過濾,頻域過濾器 低通過濾 高通過濾 同形過濾器,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,低通過濾 頻域低通過濾的基本思想 理想低通過濾器 Butterworth低通過濾器 高斯低通過濾器,圖像增強:頻域過濾,頻域低通過濾的基本思想 G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要鈍化圖像的傅立葉變換形式 H(u,v)是選取的一個過濾器變換函數(shù) G(u,v)是通過H(u,v)減少F(u,v)的高頻部分來得到的結(jié)果 運用傅立葉逆變換得到鈍化后的圖像。,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器 理想低通過濾器的定義 理想低通過濾器截止頻率的設(shè)計 理想低通過濾器的分析,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的定義 一個二維的理想低通過濾器（ILPF）的轉(zhuǎn)換函數(shù)滿足（是一個分段函數(shù)） 其中：D0 為截止頻率 D(u,v)為距離函數(shù) D(u,v)=(u2+v2)1/2,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的透視圖圖像顯示、截面圖,H(u,v)作為距離函數(shù)D(u,v)的函數(shù)的截面圖,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的截止頻率的設(shè)計 先求出總的信號能量PT： 其中： p(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v) 是能量模,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的截止頻率的設(shè)計 如果將變換作中心平移，則一個以頻域中心為原點，r為半徑的圓就包含了百分之的能量,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的截止頻率的設(shè)計,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的截止頻率的設(shè)計 求出相應(yīng)的D0 r = D0 =(u2 + v2)1/2 上面例子： D0 = 5, 15, 30, 80, 230 = 92, 94.6, 96.4, 98, 99.5,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的分析 整個能量的90%被一個直徑為8的小圓周包含,大部分尖銳的細節(jié)信息都存在于被去掉的10%的能量中 小的邊界和其它尖銳細節(jié)信息被包含在頻譜的至多0.5%的能量中 被鈍化的圖像被一種非常嚴重的振鈴效果理想低通濾波器的一種特性所影響,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,理想低通過濾器的分析 振鈴效果理想低通濾波器的一種特性,圖像增強:頻域過濾,Butterworth低通過濾器 Butterworth低通過濾器的定義 Butterworth低通過濾器截止頻率的設(shè)計 Butterworth低通過濾器的分析,圖像增強:頻域過濾,Butterworth低通過濾器的定義 一個截止頻率在與原點距離為D0的n階Butterworth低通過濾器（BLPF）的變換函數(shù)如下：,圖像增強:頻域過濾,Butterworth低通過濾器的截面圖等,H(u,v)作為D(u,v)/D0的函數(shù)的截面圖,圖像增強:頻域過濾,Butterworth過濾器截止頻率的設(shè)計 變換函數(shù)中不存在一個不連續(xù)點作為一個通過的和被過濾掉的截止頻率的明顯劃分 通常把H(u,v)開始小于其最大值的一定比例的點當(dāng)作其截止頻率點 有兩種選擇： 選擇1：H(u,v) = 0.5 當(dāng) D0 = D(u,v)時,圖像增強:頻域過濾,Butterworth過濾器截止頻率的設(shè)計 選擇2： H(u,v) = 1/2 當(dāng) D0 = D(u,v)時,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,Butterworth低通過濾器的分析 在任何經(jīng)BLPF處理過的圖像中都沒有明顯的振鈴效果，這是過濾器在低頻和高頻之間的平滑過渡的結(jié)果 低通濾波是一個以犧牲圖像清晰度為代價來減少干擾效果的修飾過程,圖像增強:頻域過濾,Butterworth低通過濾器的分析 BLPF處理過的圖像中都沒有振鈴效果,圖像增強:頻域過濾,高斯低通過濾器,圖像增強:頻域過濾,高斯低通過濾器沒振鈴,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,高通過濾 頻域高通過濾的基本思想 理想高通過濾器 Butterworth高通過濾器,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,頻域高通過濾的基本思想 G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要銳化圖像的傅立葉變換形式。 目標(biāo)是選取一個過濾器變換函數(shù)H(u,v)，通過它減少F(u,v)的低頻部分來得到G(u,v)。 運用傅立葉逆變換得到銳化后的圖像。,圖像增強:頻域過濾,理想高通過濾器 理想高通過濾器的定義 理想高通過濾器截止頻率的設(shè)計 理想高通過濾器的分析,圖像增強:頻域過濾,理想高通過濾器的定義 一個二維的理想高通過濾器（IHPF）的轉(zhuǎn)換函數(shù)滿足（是一個分段函數(shù)） 其中：D0 為截止頻率 D(u,v)為距離函數(shù) D(u,v)=(u2+v2)1/2,0,1,圖像增強:頻域過濾,理想高通過濾器的截面圖,0,D0,D(u,v),H(u,v),1,H(u,v)作為距離函數(shù)D(u,v)的函數(shù)的截面圖,圖像增強:頻域過濾,理想高通過濾器的三維透視圖,v,u,H(u,v),H(u,v)作為u、v的函數(shù)的三維透視圖,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,Butterworth高通過濾器 Butterworth高通過濾器的定義 Butterworth高通過濾器截止頻率設(shè)計 Butterworth高通過濾器的分析,圖像增強:頻域過濾,Butterworth高通過濾器的定義 一個截止頻率在與原點距離為D0的n階Butterworth高通過濾器（BHPF）的變換函數(shù)如下：,D0 / D(u,v),圖像增強:頻域過濾,Butterworth高通過濾器的截面圖,0,2,D(u,v)/D0,H(u,v),1,H(u,v)作為D(u,v)/D0的函數(shù)的截面圖,1,3,0.5,圖像增強:頻域過濾,Butterworth高通過濾器截止頻率設(shè)計 變換函數(shù)中不存在一個不連續(xù)點作為一個通過的和被過濾掉的截止頻率的明顯劃分 通常把H(u,v)開始小于其最大值（1）的一定比例的點當(dāng)作其截止頻率點 有兩種選擇： 選擇1：H(u,v) = 0.5 當(dāng) D0 = D(u,v)時,D0 / D(u,v),圖像增強:頻域過濾,Butterworth高通過濾器截止頻率設(shè)計 選擇2： H(u,v) = 1/2 當(dāng) D0 = D(u,v)時,D0 / D(u,v),D0 / D(u,v),圖像增強:頻域過濾,Butterworth低通過濾器的分析 問題：低頻成分被嚴重地消弱了，使圖像失去層次 改進措施： 加一個常數(shù)到變換函數(shù) H(u,v) + A 這種方法被稱為高頻強調(diào) 為了解決變暗的趨勢，在變換結(jié)果圖像上再進行一次直方圖均衡化。這種方法被稱為后過濾處理,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,高斯高通過濾器,圖像增強:頻域過濾,同形過濾器 同形過濾器的基本思想 同形過濾器的定義 同形過濾器的效果分析,圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的基本思想 一個圖像f(x,y)可以根據(jù)它的明度和反射分量的乘積來表示 f (x,y) = i (x,y)r (x,y) 其中：i (x,y)為明度函數(shù)， r (x,y)反射分量函數(shù) 通過同時實現(xiàn)壓縮亮度范圍和增強對比度，來改進圖像的表現(xiàn),圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的定義 因為兩個函數(shù)乘積的傅立葉變換不是可分離的，也即： Ff(x,y) Fi(x,y)Fr(x,y) 然而假設(shè)我們定義 z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y)r(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y),圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的定義 那么有： Fz(x,y) = Fln f(x,y) = Fln i(x,y) + Fln r(x,y) 或Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v) 其中I(u,v) 和R(u,v)分別是ln i(x,y) 和ln r(x,y)的傅立葉變換,圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的定義 用過濾器函數(shù)H(u,v)的方法處理Z(u,v)，有： S(u,v) = H(u,v)Z(u,v) = H(u,v)I(u,v) + H(u,v)R(u,v) 其中S(u,v)是結(jié)果圖像的傅立葉變換 在空域中： s(x,y) = F-1S(u,v) = F-1H(u,v)I(u,v) + F-1H(u,v)R(u,v),圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的定義 通過設(shè)： i(x,y) = F-1H(u,v)I(u,v) r(x,y) = F-1H(u,v)R(u,v) 上頁等式可以表示為： s(x,y) = i(x,y) + r(x,y) 最后，通過i(x,y) 和 r(x,y)的逆操作（指數(shù)操作）產(chǎn)生增強后的圖像g(x,y),圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的定義 也即： g(x,y) = exps(x,y) = expi(x,y) expr(x,y) = i0(x,y)r0(x,y) 其中i0(x,y) = expi(x,y) 和r0(x,y) = expr(x,y) 是輸出圖像的明度和反射分量。 g 0(x,y) = i0(x,y) r0(x,y),圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的定義 利用前述概念進行增強的方法可以歸納為： 這個方法基于一類稱作同形系統(tǒng)的特殊情況。在此特定應(yīng)用中，問題的關(guān)鍵在于將明度和反射分量用進行分離。同形過濾器函數(shù)H(u,v)能夠分別對這兩部分進行操作。,ln,FFT,H(u,v),(FFT)-1,exp,f(x,y),g(x,y),圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的效果分析 圖像的明度分量的特點是平緩的空域變化，而反射分量則近于陡峭的空域變化 這些特性使得將圖像的對數(shù)的傅立葉變換的低頻部分對應(yīng)于明度分量，而高頻部分對應(yīng)于反射分量 盡管這種對應(yīng)關(guān)系只是一個粗略的近似，但它們可以用于優(yōu)化圖像的增強操作,圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的效果分析 一個好的控制可以通過用同形過濾器對明度和反射分量分別操作來得到 這個控制要求指定一個過濾器函數(shù)H(u,v)，它對于傅立葉變換的低頻和高頻部分的影響是不同的,圖像增強:頻域過濾,同形過濾器的截面圖,0,D(u,v),H(u,v),1,H(u,v)作為D(u,v)的函數(shù)的截面圖,H,L,圖像增強:頻域過濾,同態(tài)過濾器的效果分析 如果參數(shù)L和H的選取使得 L 1 前圖所示的過濾器函數(shù)將減少低頻部分、擴 大高頻部分，最后的結(jié)果將是既壓縮了有效 范圍，又擴大了對比度。,圖像增強:頻域過濾,圖像增強:頻域過濾,從頻域規(guī)范產(chǎn)生空域模板 頻域變換到空域模板的基本思想 頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo),圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的基本思想 希望用空域模板來模擬一個給定頻域過濾器的方法 頻域的過濾器操作基于以下等式： G(u,v) = H(u,v)F(u,v) 頻域的過濾器操作可以由空域上的卷積公式實現(xiàn)：,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) h通常稱作空域卷積模板,可理解為H(u,v)的逆傅立葉變換。這里已經(jīng)找到了H與h的關(guān)系。 h = H-1(u,v)也即： 且： g = G-1(u,v) u,v = 0,1,2,N-1（N太大,不是實用模板）,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) 假設(shè)h(x,y)在 xn 且 yn 時值均為0，其中 n<N。這個限制創(chuàng)建了一個n*n大小的用傅立葉變換H(u,v)得到的卷積模板 上式可以表示為：,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) 假設(shè)h(x,y)在 xn 且 yn 時值均為0，其中 n<N。這個限制創(chuàng)建了一個n*n大小的用傅立葉變換H(u,v)得到的卷積模板, h(x,y) =,N x N,n x n,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) 其中： 是一個按行展開 (u,v)中元素得到的列向量 由 (u,v)產(chǎn)生向量的元素 (i)， i=0,1,2,N2-1的過程是 其中：i=uN+v，u,v=0,1,2,N-1。 令：u=0,v=0,1,2,N-1; u=1,v=0,1,2,N-1；以此類推,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) h是一個按行展開h(u,v)中元素得到的列向量 h的元素表示為h(k),k=0,1,2,n2-1，可以同樣生成 其中: k=xn+y，x,y=0,1,2,n-1。 令：x=0,y=0,1,2,N-1; x=1,y=0,1,2,N-1；以此類推,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) C是一個N2*n2的系數(shù)矩陣 C對應(yīng)的元素表示為C(i,k)，通過指數(shù)項產(chǎn)生 其中 i=uN+v，k=xn+y，u,v=0,1,2,N-1， x,y=0,1,2,n-1。是一個矩形矩陣,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo), H = C h,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) 下面討論的目標(biāo)是找到一個h(x,y)的系數(shù)C，使得以下誤差達到最小。 這里|.|代表復(fù)數(shù)的模,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) 取空域的導(dǎo)數(shù)，并令其等于零向量，得到e2關(guān)于的最小值,e2 = | H - H|2 = | Ch - H|2,圖像增強:頻域過濾,頻域變換到空域模板的關(guān)系式推導(dǎo) 這里矩陣C#=（C*C）-1C*通常稱作Moore-Penrose逆生成,