專題一集合與常用邏輯用語(yǔ)的綜合應(yīng)用1 在解題過程中，加深對(duì)集合之間的關(guān)系與集合運(yùn)算等概念的理解2 正確理解命題及其關(guān)系、邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞等概念，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)集合語(yǔ)言與邏輯語(yǔ)言之間的關(guān)系3 在集合運(yùn)算過程中，要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來(lái)，注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、幾何等知識(shí)的密切聯(lián)系與綜合運(yùn)用難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 集合中的“交”、“并”、“補(bǔ)”與邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”有共同之處，在解題時(shí)，可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化2 集合運(yùn)算可以考慮數(shù)形結(jié)合、借助數(shù)軸、Venn圖1 已知集合A1,2,3，B2，m,4，AB2,3，則m_.答案3解析AB2,3，m3.2 設(shè)集合A3,2a1，集合Ba，b，若AB2，則a_，b_.答案02解析由AB2知2A且2B，2a12，得a0，故有b2.3 “”是“sin ”的_條件答案充分不必要解析當(dāng)時(shí)，sin sin ，但是sin 時(shí)，角不一定是，如可以是等，故是充分不必要條件4 命題“對(duì)于任意xR，|x2|x4|>3”的否定是_答案存在x0R，|x02|x04|3解析全稱命題的否定是存在性命題，已知命題是全稱命題5 設(shè)集合Sn1,2,3，n，若XSn，則把X中所有元素的乘積稱為X的容量(若X中只有一個(gè)元素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0)若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為Sn的奇(偶)子集則S4的所有奇子集的容量之和為_答案7解析S41,2,3,4，X，1，2，3，4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，1,2,3，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4其中是奇子集的為X1，3，1,3，其容量分別為1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和為7.題型一集合問題例1已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若ABA，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若ABx|0x3，求實(shí)數(shù)m的值；(3)若ARB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍思維啟迪：(1)由ABA得BA，借助數(shù)軸求解；(2)結(jié)合已知條件，比較集合端點(diǎn)求解；(3)先求出RB，利用子集關(guān)系，借助數(shù)軸求解解由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2(1)ABA，BA，如圖：有，m1.(2)ABx|0x3，m2.(3)RBx|x<m2或x>m2ARB，m2>3或m2<1，m>5或m<3.探究提高(1)判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系，二是用列舉法表示集合，從元素中尋找關(guān)系；(2)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)之間的關(guān)系(要注意集合本身兩個(gè)端點(diǎn)的比較)；(3)兩個(gè)數(shù)集之間的關(guān)系，常借助數(shù)軸判斷 已知集合Ax|y ，Bx|x(a1)x(a4)<0，分別根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(1)ABA；(2)AB.解由10，得0，即0，解得1<x0，故A(1,0，B(a1，a4)(1)ABA，即AB，故得4<a2，故a的取值范圍是(4，2(2)若AB，則得5<a<1，故a的取值范圍是(5，1)題型二充分條件、必要條件問題例2已知p：x24x320；q：x(1m)x(1m)0 (m>0)若“非p”是“非q成立”的必要但不充分條件，求m的取值范圍思維啟迪：先對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，非命題可以利用等價(jià)命題來(lái)求兩者間的聯(lián)系解p：4x8，從而p為真時(shí)x的取值范圍是集合P4,8同理可得，q為真時(shí)x的取值范圍是集合Q1m,1m因?yàn)椤胺莗”是“非q成立”的必要但不充分條件，所以“若非q，則非p”是真命題，但“若非p，則非q”是假命題，即“若p，則q”為真，“若q，則p”為假，故PQ，從而或，由此解得m7，即m的取值范圍是7，)探究提高解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出參數(shù)的不等式求解 已知p：x28x20>0，q：x22x1a2>0，且p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍解由x28x20>0得x<2或x>10，p：x<2或x>10.由x22x1a2>0得x<1a或x>1a.命題q：x<1a或x>1a，若p是q的充分不必要條件，或，解得0<a3.a的取值范圍為0<a3.題型三邏輯聯(lián)結(jié)詞的有關(guān)問題例3已知p：“任意x1,2，x2a0”，q：“存在x0R，x2ax02a0”，若命題“pq”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍思維啟迪：(1)由全稱命題p和存在性命題q分別確定a的取值范圍(2)由“pq”是真命題得出p，q都是真命題，從而求出a的取值范圍解由“pq”為真命題，知p為真命題，q也為真命題若p為真命題，即ax2恒成立，x1,2，a1.若q為真命題，即x22ax2a0有實(shí)根，4a24(2a)0，即a1或a2，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a2或a1.探究提高利用邏輯聯(lián)結(jié)詞得到的新命題的真假可以和集合的運(yùn)算相結(jié)合，要注意范圍的端點(diǎn)能否取到 已知mR，對(duì)p：x1和x2是方程x2ax20的兩個(gè)根，不等式|m5|x1x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a1,2恒成立；q：函數(shù)f(x)3x22mxm有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求使“p且q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍解對(duì)p，由題設(shè)，知x1x2a，x1x22，所以|x1x2|.當(dāng)a1,2時(shí)，的最小值為3，要使|m5|x1x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a1,2恒成立，只需|m5|3，即2m8.對(duì)q，由題意，可知3x22mxm0的判別式4m2124m212m16>0，得m<1或m>4.綜上，要使“p且q”為真命題，只需p真q真，即解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,8對(duì)命題否定不當(dāng)致誤典例：(14分)已知p：|3x4|>2，q：>0，r：(xa)·(xa1)<0.(1)綈p是綈q的什么條件？(2)若綈r是綈p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍易錯(cuò)分析(1)對(duì)條件進(jìn)行否定時(shí)，沒有注意分母為零的情況，導(dǎo)致條件變形不等價(jià)；(2)不會(huì)將條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系審題視角(1)可以求出p、q的不等式的解集，再對(duì)p、q否定，即求出它們對(duì)應(yīng)不等式的解集的補(bǔ)集，也可以直接對(duì)不等式否定，但注意對(duì)分式不等式否定時(shí)，注意分母為零的情況(2)綈r是綈p的必要不充分條件等價(jià)于綈p綈r且綈rD/綈p.規(guī)范解答解(1)p：|3x4|>2，3x4>2或3x4<2，x>2或x<，綈p：x2.2分q：>0，即x2x2>0，令x2x20，得x11，x22.x2x2>0的解集為x|x<1或x>24分綈q：x|1x2，綈p是綈q的充分不必要條件6分(2)r：(xa)(xa1)<0，a<x<a1.綈r：xa或xa1.綈r是綈p的必要不充分條件8分綈p綈r且綈rD/綈p，10分2a或a1，a2或a.12分a的取值范圍是.14分溫馨提醒(1)對(duì)q：>0的否定應(yīng)為<0或x2x20.為避免出錯(cuò)，可以先求q：>0的解集，再否定(2)在由綈p綈r時(shí)，應(yīng)特別注意分析是否能取等號(hào)這是考生比較易出錯(cuò)的地方要特別注意驗(yàn)證等號(hào)能否成立.方法與技巧1邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的理解：和集合中“并集”含義一致，表示“或此或彼或兼有”三種情形，要注意和生活語(yǔ)言相區(qū)別2利用條件的充分必要性解決字母范圍問題可以利用集合間的包含關(guān)系，結(jié)合等價(jià)命題來(lái)解決失誤與防范1pq為真命題，只需p、q有一個(gè)為真即可，pq為真命題，必須p、q同時(shí)為真2p或q的否定為非p且非q；p且q的否定為非p或非q.3對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定時(shí)，要注意命題所含的量詞，是否省略了量詞，否定時(shí)將存在量詞變?yōu)槿Q量詞，將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，同時(shí)也要否定命題的結(jié)論A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：62分)一、填空題(每小題5分，共35分)1 設(shè)U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，則實(shí)數(shù)m_.答案3解析UA1,2，A0,3，0,3是方程x2mx0的兩根，m3.2 命題“對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，總有x2”的否定是_答案存在一個(gè)非零實(shí)數(shù)x，使x<23 若a，b，c是常數(shù)，則“a>0且b24ac<0”是“對(duì)任意xR，有ax2bxc>0”的_條件答案充分不必要解析當(dāng)a>0且b24ac<0時(shí)，拋物線yax2bxc開口向上，且與x軸沒有交點(diǎn)，因此拋物線全部在x軸的上方，故對(duì)任意xR，有ax2bxc>0；但當(dāng)對(duì)任意xR，有ax2bxc>0時(shí)，也可以有a0，b0，c>0的情況，不一定有a>0，且b24ac<0，故“a>0且b24ac<0”是“對(duì)任意xR，有ax2bxc>0”的充分不必要條件4 已知集合Ax|2x，B(a，)，當(dāng)AB時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是c，)，則c_.答案解析由2x，得2x2，x，即A.故BA時(shí)，a，c.5 已知命題p：“x0,1，aex”；命題q：“xR，使得x24xa0”若命題“pq”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案e,4解析若命題“pq”是真命題，那么命題p，q都是真命題由x0,1，aex, 得ae；由xR，使x24xa0，知164a0，a4，因此ea4.6 命題“任意xR，存在mZ，m2m<x2x1”是_命題(填“真”或“假”)答案真解析由于任意xR，x2x12，因此只需m2m<，即<m<，所以當(dāng)m0或m1時(shí)，任意xR，m2m<x2x1成立，因此命題是真命題7 若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為_答案1解析由x2>1，得x<1或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值為1.二、解答題(共27分)8 (13分)已知集合Ax|x2(a2)x10，xR，Bx|x>0，xR，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解Ax|x2(a2)x10，xR，Bx|x>0，xR，AB，方程x2(a2)x10無(wú)解或有非正解(1)當(dāng)方程x2(a2)x10無(wú)解時(shí)，即(a2)24<0，4<a<0，A滿足AB；(2)當(dāng)方程x2(a2)x10有非正解時(shí)，滿足解得a0.綜上所述，a的取值范圍為a>4.9 (14分)已知命題p：方程x2mx10有兩個(gè)不相等的正實(shí)根；命題q：方程4x24(m2)x10無(wú)實(shí)根若p或q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解由命題p：方程x2mx10有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，得m<2，從而命題p為真命題等價(jià)于m<2.由命題q：方程4x24(m2)x10無(wú)實(shí)根，得16(m2)216<0，即3<m<1，從而命題q為真命題等價(jià)于3<m<1.而p或q為真命題等價(jià)于至少有一個(gè)為真命題，它的對(duì)立面為都是假命題若p、q都是假命題，則m1，故p或q為真命題時(shí)m的取值范圍是m<1.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：35分鐘，滿分：58分)一、填空題(每小題5分，共30分)1 滿足0,1,2A0,1,2,3,4,5的集合A的個(gè)數(shù)是_答案7解析集合A除包含0,1,2外還至少包含3,4,5中的一個(gè)元素，所以集合A的個(gè)數(shù)等于3,4,5的非空子集的個(gè)數(shù)，即為2317.2 已知集合AxR|x1|<2，Z為整數(shù)集，則集合AZ中所有元素的和等于_答案3解析Ax|1<x<3，AZ0,1,2，AZ中所有元素之和等于3.3 已知集合Ax|x2x0，xR，設(shè)函數(shù)f(x)2xa(xA)的值域?yàn)锽，若BA，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案4 定義AD×B.設(shè)集合A0,2，B1,2，C1，則集合(AD×B)D×C的所有元素之和為_答案18解析由題意可求(AD×B)中所含的元素有0,4,5，則(AD×B)D×C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和為18.5 已知命題P：任意b0，)，f(x)x2bxc在0，)上為增函數(shù)；命題Q：存在x0Z，使log2x00.給出下列結(jié)論：綈P綈Q為真；綈P綈Q為真；P綈Q為真；P綈Q為真其中正確的為_(填寫序號(hào))答案解析P真，Q真，綈P假，綈Q假6 已知下列命題：命題“xR，x21>3x”的否定是“xR，x21<3x”；已知p、q為兩個(gè)命題，若“p或q”為假命題，則“綈p且綈q”為真命題；“a>2”是“a>5”的充分不必要條件；“若xy0，則x0且y0”的逆否命題為真命題其中所有真命題的序號(hào)是_答案解析命題“xR，x21>3x”的否定是“xR，x213x”，故錯(cuò)；“p或q”為假命題說(shuō)明p假q假，則“綈p綈q”為真命題，故對(duì)；a>5a>2，但a>2D/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件，故錯(cuò)；因?yàn)椤叭魓y0，則x0或y0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故錯(cuò)二、解答題(共28分)7 (14分)已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使ax2ax1<0.當(dāng)aA時(shí)，非p為真命題，求集合A.解非p為真，即“xR，ax2ax10”為真若a0，則10成立，即a0時(shí)非p為真；若a0，則非p為真0<a4.綜上知，所求集合A0,48 (14分)已知函數(shù)f(x)x2|xa|，證明：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)的充要條件是a0.證明充分性若a0，則f(x)x2|x|，所以f(x)(x)2|x|x2|x|f(x)，故f(x)是偶函數(shù)必要性若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，從而f(1)f(1)，即1|1a|1|1a|，|1a|1a|，故(1a)2(1a)2，所以a0.故函數(shù)f(x)是偶函數(shù)的充要條件是a0.