第五章 定積分,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),第二節(jié) 微積分基本公式,第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法,第四節(jié) 反常積分,主講人：李源,第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì),三、定積分的性質(zhì),一、定積分問題舉例,二、定積分的定義,一、定積分問題舉例,曲邊梯形 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b 上非負(fù)、連續(xù). 由直線x=a、x=b、 Y=0及曲線y=f (x)所圍成的圖形 稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱 為曲邊. 如何計(jì)算其面積？,在初等函數(shù)里面，我們只會(huì)計(jì)算規(guī)則圖形的面積， 如長方形，圓形等。如何計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，是 我們需要解決的問題。,解決步驟 :,1) 分割.,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 近似.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,3) 求和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,元素法,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,y=f (x),.,.,分法越細(xì)，越接近精確值,1. 曲邊梯形的面積,f (i),.,元素法,4 取極限,y=f (x),令分法無限變細(xì),.,.,.,.,分法越細(xì)，越接近精確值,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,f (i),1. 曲邊梯形的面積,元素法,4 取極限,y=f (x),令分法無限變細(xì),.,.,.,.,分法越細(xì)，越接近精確值,1 化整為零,2 以直代曲 (以常代變),3 積零為整,f (i),S =,.,S,.,1. 曲邊梯形的面積,2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)是時(shí)間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程S.,(1)分割:,T1=t0<t1<t2< * <tn-1<tn=T2, Dtititi+1;,(2)近似:,物體在時(shí)間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為,Siv(i)Dti ( ti1< i<ti );,物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為,(3)求和:,(4)取極限:,記maxDt1, Dt2, Dtn, 物體所經(jīng)過的路程為,上述兩個(gè)問題的共性:,解決問題的方法步驟相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ”,所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:,特殊乘積和式的極限,1. 曲邊梯形的面積,2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,許多問題的解決都可以化為上述特定和式的問題， 將其一般化，就得到定積分的概念.,1. 定積分的定義,(i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn; 在小區(qū)間xi1, xi上任取一點(diǎn)xi,記Dxi=xi-xi1 (i1, , n),個(gè)分點(diǎn): ax0<x1<x2< <xn1<xnb;,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界.,極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和xi的取法無關(guān), 則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記為,即,二、定積分的定義,在區(qū)間a, b內(nèi)插入n-1,如果當(dāng)0時(shí), 上述和式的,此時(shí)稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分,變量用什么字母表示無關(guān) ,即,2.函數(shù)的可積性,定理1:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間 a, b上可積. 定理2:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限 個(gè)間斷點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積.,1.定積分的定義,二、定積分的定義,3.定積分的幾何意義:,曲邊梯形面積,曲邊梯形面積的負(fù)值,各部分面積的代數(shù)和,解 把區(qū)間0, 1分成n等份, 分點(diǎn)為和小區(qū)間長度為,例1. 利用定義計(jì)算定積分,取 ,作積分和,解 函數(shù) y1x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為 曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積.,因?yàn)橐詙=1-x為曲邊, 以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形是 一個(gè)直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以,例2 用定積分的幾何意義求,兩點(diǎn)規(guī)定,三、定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3,注：值得注意的是不論a b c的相 對(duì)位置如何上式總成立,性質(zhì)4,推論1,如果在區(qū)間a b上 f (x)g(x) 則,如果在區(qū)間a b上 f (x)0 則,性質(zhì)5,推論2,這是因?yàn)閨f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,即,|,.,性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值 則,性質(zhì)7 (定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連 續(xù)則在積分區(qū)間a b上至少存在一個(gè)點(diǎn)x ,使下式成立,這是因?yàn)? 由性質(zhì)6變形得,積分中值公式,由介值定理, 至少存在一點(diǎn)xa, b, 使,兩端乘以ba即得積分中值公式.,注:,可把,故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.,積分中值定理對(duì),因,解,例3 估計(jì)積分 的值,解,例4 估計(jì)積分 的值,內(nèi)容小結(jié),1. 定積分的定義, 乘積和式的極限,2. 定積分的性質(zhì),3. 積分中值定理,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式,