專題三三角函數(shù)及解三角形第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)真題試做1(2012·湖南高考，理6)函數(shù)f(x)sin xcos的值域?yàn)?)A2,2 B，C1,1 D2(2012·大綱全國(guó)高考，理14)當(dāng)函數(shù)ysin xcos x(0x2)取得最大值時(shí)，x_.3(2012·山東高考，理17)已知向量m(sin x,1)，n(A0)，函數(shù)f(x)m·n的最大值為6.(1)求A；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)在上的值域4(2012·重慶高考，理18)設(shè)f(x)4cossin xcos(2x)，其中0.(1)求函數(shù)yf(x)的值域；(2)若f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值考向分析三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)及熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行考查：1三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式，主要以選擇、填空題的形式為主2三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問(wèn)題以及由圖象確定函數(shù)解析式問(wèn)題，主要以選擇、填空題的形式考查，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)大題3三角函數(shù)的性質(zhì)，通常是給出函數(shù)解析式，先進(jìn)行三角變換，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式再研究其性質(zhì)，或知道某三角函數(shù)的圖象或性質(zhì)求其解析式，再研究其他性質(zhì)，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一三角函數(shù)的概念【例1】已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A B C D規(guī)律方法 當(dāng)已知角的終邊所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)或角的終邊所在的直線固定時(shí)，通常先根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求這個(gè)角的三角函數(shù)特別提醒：(1)當(dāng)角的終邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)不固定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，特別是當(dāng)角的終邊在過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線上時(shí)，根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，要把這條直線看做兩條射線，分別求解(2)在利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式時(shí)，一定要特別注意符號(hào)一定要理解“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的意思；同角三角函數(shù)的平方關(guān)系中，開(kāi)方后的符號(hào)要根據(jù)角所在的象限確定變式訓(xùn)練1 (2012·福建莆田高三質(zhì)檢，11)已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，若(0，)，則tan _.熱點(diǎn)二三角函數(shù)圖象及解析式如圖，根據(jù)函數(shù)的圖象，求函數(shù)yAsin(x)(A0，0，|)的解析式規(guī)律方法 由部分圖象確定函數(shù)解析式問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于確定參數(shù)A，其基本方法是在觀察圖象的基礎(chǔ)上，利用待定系數(shù)法求解若設(shè)所求解析式為yAsin(x)，則在觀察圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來(lái)確定A，.(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來(lái)確定|A|，或代入點(diǎn)的坐標(biāo)解關(guān)于A的方程；(2)因?yàn)門(mén)，所以往往通過(guò)求周期T來(lái)確定.可通過(guò)已知曲線與x軸的交點(diǎn)確定周期T，或者相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為；相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T(mén)；(3)從尋找五點(diǎn)法中的第一零點(diǎn)(也叫初始點(diǎn))作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的位置，或者在五點(diǎn)中找兩個(gè)特殊點(diǎn)列方程組解出.(4)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)解三角方程，再結(jié)合圖象確定，.特別提醒：求yAsin(x)的解析式，最難的是求，第一零點(diǎn)常常用來(lái)求，只要找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的橫坐標(biāo)，列方程就能求出.若對(duì)A，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸?，可用誘導(dǎo)公式變換，使其符合要求變式訓(xùn)練2 (2012·福建泉州質(zhì)檢，8)下圖所示的是函數(shù)yAsin(x)(A0，0)圖象的一部分，則其函數(shù)解析式是()Aysin BysinCysin Dysin熱點(diǎn)三三角函數(shù)圖象變換【例3】(2012·四川綿陽(yáng)高三三診，10)已知函數(shù)f(x)Asin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可由函數(shù)ycos x的圖象(縱坐標(biāo)不變)()A先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位B先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向右平移個(gè)單位C先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位D先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位規(guī)律方法 圖象變換理論：(1)平移變換沿x軸平移，按“左加右減”法則；沿y軸平移，按“上加下減”法則；(2)伸縮變換沿x軸伸縮時(shí)，橫坐標(biāo)x伸長(zhǎng)(01)或縮短(1)為原來(lái)的(縱坐標(biāo)y不變)；沿y軸伸縮時(shí)，縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)(A1)或縮短(0A1)為原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)x不變)特別提醒：對(duì)于圖象的平移和伸縮變換都要注意對(duì)應(yīng)解析式是在x或在y的基礎(chǔ)上改變了多少，尤其當(dāng)x與y前的系數(shù)不為1時(shí)一定要將系數(shù)提出來(lái)再判斷變式訓(xùn)練3 要得到y(tǒng)cos的圖象，只需將ysin 2x的圖象()A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度熱點(diǎn)四三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用【例4】(2012·上海浦東新區(qū)模擬，19)已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求方程g(x)1的解規(guī)律方法 求解三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期、最值、單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題時(shí)，通常要運(yùn)用各種三角函數(shù)公式，通過(guò)恒等變換(降冪、輔助角公式應(yīng)用)將其解析式化為yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)的形式，再研究其各種性質(zhì)有關(guān)常用結(jié)論與技巧：(1)我們往往運(yùn)用整體換元法來(lái)求解單調(diào)性與對(duì)稱性，求yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要注意的取值情況，若0，則最好用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為0后再去求解，否則極易出錯(cuò)(2)函數(shù)yAsin(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)，是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)，是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAtan(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)(3)對(duì)yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)結(jié)合函數(shù)圖象可觀察出如下幾點(diǎn)：函數(shù)圖象的對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)函數(shù)的最值點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)都是函數(shù)的零點(diǎn)；相鄰兩對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)間的距離都是半個(gè)周期；圖象上相鄰兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之間的距離恰好等于一個(gè)周期變式訓(xùn)練4 (2012·重慶高三模擬，17)已知函數(shù)f(x)4sin xsin2cos 2x，其中0.(1)當(dāng)1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍思想滲透整體代換思想三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題(1)求函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解時(shí)主要方法為：(1)關(guān)于函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的對(duì)稱性，一般可利用正弦、余弦曲線的對(duì)稱性，把x看成x，整體代換求得(2)求函數(shù)yAsin(x)(A，是常數(shù)，且A0，0)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：若0，把x看成一個(gè)整體，由2kx2k(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由2kx2k(kZ)解得x的集合，所得區(qū)間即為減區(qū)間若0，可先用誘導(dǎo)公式變?yōu)閥Asin(x)，則yAsin(x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間【典型例題】已知函數(shù)f(x)cos2，g(x)1sin 2x.(1)設(shè)xx0是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸，求g(x0)的值；(2)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解：(1)由題設(shè)知f(x).因?yàn)閤x0是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對(duì)稱軸，所以2x0k(kZ)，即2x0k(kZ)所以g(x0)1sin 2x01sin.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g(x0)1sin1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g(x0)1sin1.(2)h(x)f(x)g(x)1sin 2xsin.當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時(shí)，函數(shù)h(x)sin是增函數(shù)故函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)1(2012·山東青島一模，8)將函數(shù)ycos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是()Ax Bx Cx Dx2(2012·湖北孝感二模，8)若函數(shù)yAsin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·0，則A·()A B C D3(2012·天津?qū)氎尜|(zhì)檢，4)設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且f(x)f(x)0，則()Af(x)在上是增函數(shù)Bf(x)在上是減函數(shù)Cf(x)在上是增函數(shù)Df(x)在上是減函數(shù)4(2012·江西九校聯(lián)考，理8)已知A，B，C，D是函數(shù)ysin(x)的一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，A，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為，則，的值為()A2， B2，C， D，5已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，點(diǎn)P(4m,3m)(m0)是角終邊上一點(diǎn)，則2sin cos _.6(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)(sin xcos x)|sin xcos x|，則f(x)的值域是_7已知函數(shù)yabcos 3x(b0)的最大值為，最小值為，求函數(shù)y4asin 3bx的最大值和最小值8已知函數(shù)f(x)Asin(x)的圖象的一部分如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)x時(shí)，求函數(shù)yf(x)f(x2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析：f(x)sin xcossin xsin xcos xsin，故選B2解析：ysin xcos x22sin當(dāng)y取最大值時(shí)，x2k，x2k又0x2，x3解：(1)f(x)m·nAsin xcos xcos 2xAAsin因?yàn)锳0，由題意知A6(2)由(1)f(x)6sin將函數(shù)yf(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)6sin的圖象；再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)6sin的圖象因此g(x)6sin因?yàn)閤，所以4x故g(x)在上的值域?yàn)?,64解：(1)f(x)4sin xcos 2x2sin xcos x2sin2xcos2xsin2xsin 2x1因1sin 2x1，所以函數(shù)yf(x)的值域?yàn)?，1(2)因ysin x在每個(gè)閉區(qū)間(kZ)上為增函數(shù)，故f(x)sin 2x1(0)在每個(gè)閉區(qū)間(kZ)上為增函數(shù)依題意知對(duì)某個(gè)kZ成立，此時(shí)必有k0，于是解得，故的最大值為精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】B解析：(方法1)在角終邊上任取一點(diǎn)P(a,2a)(a0)，則r2|OP|2a2(2a)25a2，cos 2，cos 22cos 211(方法2)由方法1知tan 2，cos 2【變式訓(xùn)練1】解析：由三角函數(shù)定義可知cos ，又(0，)，sin ，所以tan 【例2】解：由圖象可知A2，T2×6(2)16，即16，y2sin又點(diǎn)(2，2)在曲線上，代入得2sin2，sin12k2k，kZ又|，k0時(shí)，函數(shù)解析式為y2sin【變式訓(xùn)練2】A解析：由圖象可知A1，T21又可看做“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)，ysin【例3】B解析：由題中圖象可知A1，T2又可看做“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn)，ysin由函數(shù)ycos x的圖象(縱坐標(biāo)不變)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，可得ycos 2x的圖象，再向右平移個(gè)單位可得ycos2coscossin的圖象【變式訓(xùn)練3】A解析：ycossinsin2，故需將ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【例4】解：(1)f(x)sin1，由2k2x2k(kZ)得：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)(2)由已知，g(x)sin1，由g(x)1，得sin0，x(kZ)【變式訓(xùn)練4】解：(1)由題可知：f(x)4sin x·cos 2x2sin x1當(dāng)1時(shí)，f(x)2sin x1，則函數(shù)f(x)的最小正周期為2(2)由(1)知：f(x)2sin x1，欲使f(x)在上單調(diào)遞增，結(jié)合y2sin x1的圖象，則有，于是創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1D解析：函數(shù)ycos的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)cos的圖象，再向左平移個(gè)單位，得函數(shù)cos的圖象，令xk，即x2k，kZ令k0，則x2A解析：由圖象可知，T2又M，N，·0，×A20AA·3B解析：由f(x)sin(x)cos(x)sin，又最小正周期為，2f(x)sinf(x)f(x)，k，kZ，k，kZ由題意f(x)sincos 2x當(dāng)02x，即0x時(shí)，f(x)單調(diào)遞減當(dāng)2x0，即x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增4A解析：設(shè)題圖中的最高點(diǎn)為P根據(jù)已知的對(duì)稱性和在x軸上的投影為可知，在x軸上的投影也為，所以函數(shù)ysin(x)的四分之一周期為，所以函數(shù)ysin(x)的周期為，故2又20，所以故選A5解析：P(4m,3m)(m0)，r5|m|，由m0得r5m，sin ，cos 2sin cos 6解析：當(dāng)sin xcos x時(shí)，f(x)cos x，當(dāng)sin xcos x時(shí)，f(x)sin x同時(shí)畫(huà)出ysin x與ycos x在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象始終取ysin x與ycos x兩者下方的圖象，結(jié)合圖象可得f(x)7解：yabcos 3x(b0)當(dāng)cos 3x1時(shí)，ymaxab，當(dāng)cos 3x1時(shí)，yminab，由得y4×·sin 3x2sin 3x當(dāng)sin 3x1時(shí)，ymax2，當(dāng)sin 3x1時(shí)，ymin28解：(1)由圖象知A2，2T8，得f(x)2sin由×1f(x)2sin(2)y2sin2sin2cos2sin2cosx，x當(dāng)x，即x時(shí)，y取最大值；當(dāng)x，即x4時(shí)，y取最小值2