第2講三角恒等變換與解三角形,高考定位1.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是高考的命題熱點(diǎn)，其中關(guān)鍵是利用兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等進(jìn)行恒等變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心；2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問(wèn)題.,答案A,真 題 感 悟,3.(2018全國(guó)卷)在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.,在BCD中，由余弦定理得,所以BC5.,1.三角函數(shù)公式,考 點(diǎn) 整 合,2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式,探究提高1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡(jiǎn)求值. 2.解決條件求值問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來(lái)表示未知角. (2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示. (3)求解三角函數(shù)中給值求角的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小.,所以cos()cos(2)(2) cos(2)cos(2)sin(2)sin(2),熱點(diǎn)二正弦定理與余弦定理 考法1利用正(余)弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算 【例21】 (2018濰坊一模)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(a2c)cos Bbcos A0.,解(1)由已知及正弦定理得 (sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0， (sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0， sin(AB)2sin Ccos B0， 又sin(AB)sin C，且C(0，)，sin C0，,(2)由余弦定理，得9a2c22accos B. a2c2ac9，則(ac)2ac9.,由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)2ac，,解由b2a2c22accos Ba2c2ac， 則9a2c2ac2acacac， 所以ac9(當(dāng)且僅當(dāng)ac3時(shí)，取等號(hào))，,探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)、角、面積等基本計(jì)算，或?qū)蓚€(gè)定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形. 2.關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口.,上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，,由余弦定理及ac6得 b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B),所以b2.,考法2應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題,【例22】 (2018衡水質(zhì)檢)某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在C處(點(diǎn)C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B兩地相距100米，BAC60，其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40米.A地測(cè)得該儀器在C處的俯角為OAC15，A地測(cè)得最高點(diǎn)H的仰角為HAO30，則該儀器的垂直彈射高度CH為(),解析由題意，設(shè)ACx米，則BC(x40)米， 在ABC內(nèi)，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC， 即(x40)2x210 000100 x，解得x420(米). 在ACH中，AC420米，CAH301545，CHA903060，,答案B,探究提高1.實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解. 2.實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.,【訓(xùn)練3】 如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.,解析由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105， 故ACB45.,又0，所以1.,設(shè)ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.,探究提高1.破解平面向量與“三角”相交匯題的常用方法是“化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化法”，即先活用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行巧“化簡(jiǎn)”；然后把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為“對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系”；再活用正、余弦定理，對(duì)三角形的邊、角進(jìn)行互化. 2.這種問(wèn)題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識(shí)將條件“脫去向量外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.,1.對(duì)于三角函數(shù)的求值，需關(guān)注：,(1)尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式； (2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用； (3)對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入手的問(wèn)題，可利用分析法.,2.三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法：,(1)通過(guò)正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；(2)通過(guò)余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過(guò)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論；(5)若涉及兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)求解.,