,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,多元微分學(xué),第三講,一、 歷年試題分類(lèi)統(tǒng)計(jì)及考點(diǎn)分布,二、考點(diǎn)綜述及主要解題方法與技巧,三、真題解析,一、 歷年試題分類(lèi)統(tǒng)計(jì)及考點(diǎn)分布,(1)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(2)偏導(dǎo)數(shù)與全微分計(jì)算,二、考點(diǎn)綜述與主要解題方法與技巧,(3)極值與最值,(4)方向?qū)?shù)與梯度,()偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義問(wèn)題,(a)偏導(dǎo)數(shù)定義,(b)偏導(dǎo)數(shù)定義推廣,,,(c)全微分定義,全微分,可微,,是曲線(xiàn),在點(diǎn) M0 處的切線(xiàn),對(duì) x 軸的斜率.,在點(diǎn)M0 處的切線(xiàn),斜率.,是曲線(xiàn),,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,對(duì) y 軸的,(d)偏導(dǎo)數(shù)幾何意義,連續(xù),可微,,(d)偏導(dǎo)數(shù),可微與連續(xù)的關(guān)系,,偏導(dǎo)數(shù)存在,,在點(diǎn) (0,0) 可微 .,例1,在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,,續(xù),,,證: 1),因,故函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 連續(xù) ;,但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (0,0) 不連,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,證明函數(shù),所以,,,,同理,,極限不存在 ,,在點(diǎn)(0,0)不連續(xù) ;,同理 ,,在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).,2),3),題目 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,4) 下面證明,可微 :,,說(shuō)明: 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.,令,則,題目 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,()偏導(dǎo)數(shù)與全微分計(jì)算問(wèn)題,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),例,函數(shù)f 具有二階,,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求,，其中,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),(11年考研真題9分),，其中函數(shù)f 具有二階,,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x=1處取得極值g(1)=1,求,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),(11年考研真題4分),,隱函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),(10年考研真題4分),,由方程,確定，其中F為可微函數(shù)，且,隱函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),練習(xí),,由方程,確定，其中F有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,函數(shù)極值問(wèn)題,、多元函數(shù)極值問(wèn)題,,無(wú)條件極值,有條件極值,,顯函數(shù),隱函數(shù),,閉區(qū)域邊界上,閉區(qū)域上,,必要條件,充分條件,..無(wú)條件極值-顯函數(shù),求函數(shù),(12年考研真題10分),的極值,思路解析：,() 典型的無(wú)條件極值顯函數(shù)問(wèn)題先求駐點(diǎn),時(shí), 具有極值,(2)令,則: 1) 當(dāng),A<0 時(shí)取極大值;,A0 時(shí)取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時(shí), 沒(méi)有極值.,時(shí), 不能確定 , 需另行討論.,,,.2.無(wú)條件極值-隱函數(shù),設(shè)函數(shù),(年考研真題1分),是由,思路解析：,() 典型的無(wú)條件極值（隱函數(shù)）先用必要條件 求駐點(diǎn),確定的函數(shù)，求,的極值點(diǎn)和極值,,(2) 用充分條件判別可疑點(diǎn),已知曲線(xiàn),(08年考研真題11分),求C上距離xoy面最,,思路解析：,() 典型的兩條件極值問(wèn)題閉區(qū)域邊界上的最值，,近和最遠(yuǎn)的點(diǎn),用拉格朗日乘數(shù)法,3..條件極值-閉區(qū)域邊界上的最值,為中心在原點(diǎn)的橢圓,求它的面積,思路解析：,分別是半長(zhǎng)軸與半短軸,它們分別是橢圓上點(diǎn)到中,心的距離的最大值與最小值,練習(xí). 已知平面曲線(xiàn),,,用拉格朗日乘數(shù)法,的面積為S，三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,,思路解析：,從其內(nèi)部的點(diǎn)P向三邊作三條垂線(xiàn)，，求使此三條垂線(xiàn) 乘積為最大的點(diǎn)P的位置.,條件：面積為S,練習(xí). 已知,,用拉格朗日乘數(shù)法,.4.條件極值-閉區(qū)域上的最值,求函數(shù),(0年考研真題11分),在區(qū)域,思路解析：,() 典型的條件極值問(wèn)題閉區(qū)域邊界內(nèi)的最值，,上的最大最小值,內(nèi)部點(diǎn)為駐點(diǎn),邊界點(diǎn)用拉格朗日乘數(shù)法,,.方向?qū)?shù)與梯度問(wèn)題,(a)方向?qū)?shù)定義,,.方向?qū)?shù)與梯度問(wèn)題,(a)方向?qū)?shù)定義（1）,,為平面直線(xiàn),(a)方向?qū)?shù)定義式（2）,,為空間直線(xiàn),(b)方向?qū)?shù)計(jì)算式（1）,對(duì)于二元函數(shù),為, ，的方向?qū)?shù)為,特別:, 當(dāng) l 與 x 軸同向, 當(dāng) l 與 x 軸反向,,向角,(b)方向?qū)?shù)計(jì)算式（2）,對(duì)于三元函數(shù),為, ,特別:, 當(dāng) l 與 x 軸同向, 當(dāng) l 與 x 軸反向,向角,的方向?qū)?shù)為,例1. 求函數(shù),在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向?qū)?shù) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,例2. 求函數(shù),在點(diǎn)P(2, 3)沿曲線(xiàn),朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).,解:將已知曲線(xiàn)用參數(shù)方程表示為,它在點(diǎn) P 的切向量為,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,例3. 設(shè),是曲面,在點(diǎn) P(1, 1, 1 )處,指向外側(cè)的法向量,,解:,方向余弦為,而,同理得,方向,的方向?qū)?shù).,在點(diǎn)P 處沿,求函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,,,,方向?qū)?shù)公式,梯度,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,(c)梯度定義,,梯度定義式,三元函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度,(gradient),,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,說(shuō)明:,函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.,二元函數(shù),在點(diǎn),處的梯度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,稱(chēng)為函數(shù) f 的等值線(xiàn) .,,,,,,（d)梯度的幾何意義,,,,,,,,,,,,旋轉(zhuǎn)曲面,,,,結(jié)論1: 任意點(diǎn)梯度向量垂直于該點(diǎn)等值線(xiàn)（的切線(xiàn)）,為了更形象地理解梯度的特征,,不妨將函數(shù),z = f (x, y)的圖形想象為一座山,,如果你向梯度方向爬山,,總是沿著梯度垂直的方向走,,那么你一定上不了山,,因?yàn)樵谶@種情況下你總是在一,(如圖).,如果你,最陡, 最費(fèi)力;,,條等高線(xiàn)上走.,,,,討論規(guī)劃最優(yōu)解問(wèn)題,,,梯度方向與函數(shù)值變化的關(guān)系.,最優(yōu)解（1，4）,（梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.）,,,,,,,,,,,,,,,,方向?qū)?shù),驗(yàn)證：,梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,,,,,,,方向,,驗(yàn)證：,這說(shuō)明,.,,梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,,f 變化率最大即梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,l與梯度方向重合時(shí),,,,2.,,f 變化率為零即沿等值線(xiàn)方向，函數(shù)值不變,l與梯度方向垂直時(shí),,,,.,f 變化率最小即沿梯度相反方向，是函數(shù)值減少最快.,l與梯度方向相反時(shí),,,,,,討論函數(shù)變化率的最值問(wèn)題,,,,梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系,例：,（）問(wèn)在點(diǎn)(1, )處，沿什么方向電壓升高最快?其速率為多少?,,設(shè)一金屬板上電壓的分布函數(shù)為,（）問(wèn)在點(diǎn)(1, )處，沿什么方向電壓下降最快?其速率為多少?,（）問(wèn)在點(diǎn)(1, )處，沿什么方向電壓變化最慢？,f. 關(guān)系,方向?qū)?shù)存在,,偏導(dǎo)數(shù)存在,, 可微,,求,(年考研真題分),,思路解析：,() 考察梯度定義與計(jì)算,求,(年考研真題分),,思路解析：,() 考察梯度定義與計(jì)算,在點(diǎn)（，）的梯度,設(shè)函數(shù),(年考研真題分),,思路解析：,() 考察方向?qū)?shù)定義與計(jì)算,單位向量,則,（）,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .,在點(diǎn)A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn)A,函數(shù),提示:,則,,,(96考研真題),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,,函數(shù),在點(diǎn),處的梯度,,解:,則,注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱(chēng)性,,(92年考研真題),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,,設(shè)有一小山，取它的底面為xoy坐標(biāo)面，其底部所占,(年考研真題分),的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為,（）設(shè),為區(qū)域D上的一個(gè)點(diǎn)，問(wèn),在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？,若記此方向?qū)?shù)的最大值為,試寫(xiě)出,的表達(dá)式,（）現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳,一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)，也就是,在D的邊界曲線(xiàn)上尋找出（）中,達(dá)到最大,值的點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,積分對(duì)稱(chēng)性,、積分對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題,,定積分,曲線(xiàn)積分,二重函數(shù),,三重積分,曲面積分,,對(duì)弧長(zhǎng),對(duì)坐標(biāo),對(duì)面積,對(duì)坐標(biāo),