第二章 數(shù)列 章末檢測 （A）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1an是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，如果an2 011，則序號n等于()A667 B668 C669 D671答案D解析由2 01113(n1)解得n671.2已知等差數(shù)列an中，a7a916，a41，則a12的值是()A15 B30 C31 D64答案A解析在等差數(shù)列an中，a7a9a4a12，a1216115.3等比數(shù)列an中，a29，a5243，則an的前4項和為()A81 B120 C168 D192答案B解析由a5a2q3得q3.a13，S4120.4等差數(shù)列an中，a1a2a324，a18a19a2078，則此數(shù)列前20項和等于()A160 B180 C200 D220答案B解析(a1a2a3)(a18a19a20)(a1a20)(a2a19)(a3a18)3(a1a20)247854，a1a2018.S20180.5數(shù)列an中，an3n7 (nN)，數(shù)列bn滿足b1，bn127bn(n2且nN)，若anlogkbn為常數(shù)，則滿足條件的k值()A唯一存在，且為 B唯一存在，且為3 C存在且不唯一 D不一定存在答案B解析依題意，bnb1·n1·3n33n2，anlogkbn3n7logk3n23n7(3n2)logkn72logk，anlogkbn是常數(shù)，33logk0，即logk31，k3.6等比數(shù)列an中，a2，a6是方程x234x640的兩根，則a4等于()A8 B8 C±8 D以上都不對答案A解析a2a634，a2·a664，a64，a2>0，a6>0，a4a2q2>0，a48.7若an是等比數(shù)列，其公比是q，且a5，a4，a6成等差數(shù)列，則q等于()A1或2 B1或2 C1或2 D1或2答案C解析依題意有2a4a6a5，即2a4a4q2a4q，而a40，q2q20，(q2)(q1)0.q1或q2.8設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S10S512，則S15S5等于()A34 B23 C12 D13答案A解析顯然等比數(shù)列an的公比q1，則由1q5q5，故.9已知等差數(shù)列an的公差d0且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則等于()A. B. C. D.答案C解析因為aa1·a9，所以(a12d)2a1·(a18d)所以a1d.所以.10已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n項和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是()A21 B20 C19 D18答案B解析(a2a1)(a4a3)(a6a5)3d，991053d.d2.又a1a3a53a16d105，a139.Snna1dn240n(n20)2400.當(dāng)n20時，Sn有最大值11設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前n項和，前2n項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BY(YX)Z(ZX) CY2XZ DY(YX)X(ZX)答案D解析由題意知SnX，S2nY，S3nZ.又an是等比數(shù)列，Sn，S2nSn，S3nS2n為等比數(shù)列，即X，YX，ZY為等比數(shù)列，(YX)2X·(ZY)，即Y22XYX2ZXXY，Y2XYZXX2，即Y(YX)X(ZX)12已知數(shù)列1，則是數(shù)列中的()A第48項 B第49項C第50項 D第51項答案C解析將數(shù)列分為第1組一個，第2組二個，第n組n個，即，則第n組中每個數(shù)分子分母的和為n1，則為第10組中的第5個，其項數(shù)為(1239)550.二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)13.1與1的等比中項是_答案±114已知在等差數(shù)列an中，首項為23，公差是整數(shù)，從第七項開始為負(fù)項，則公差為_答案4解析由，解得d<，dZ，d4.15“嫦娥奔月，舉國歡慶”，據(jù)科學(xué)計算，運載“神六”的“長征二號”系列火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2 km，以后每秒鐘通過的路程都增加2 km，在達(dá)到離地面240 km的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程大約需要的時間是_秒答案15解析設(shè)每一秒鐘通過的路程依次為a1，a2，a3，an，則數(shù)列an是首項a12，公差d2的等差數(shù)列，由求和公式得na1240，即2nn(n1)240，解得n15.16等比數(shù)列an的公比為q，其前n項的積為Tn，并且滿足條件a1>1，a99a1001>0，<0.給出下列結(jié)論：0<q<1；a99a1011<0；T100的值是Tn中最大的；使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于198.其中正確的結(jié)論是_(填寫所有正確的序號)答案解析中，q(0,1)，正確中，a99a101<1，正確中，T100<T99，錯誤中，T198a1a2a198(a1a198)(a2a197)(a99a100)(a99a100)99>1，T199a1a2a198a199(a1a199)(a99a101)·a100a199100<1，正確三、解答題(本大題共6小題，共74分)17(12分)已知an為等差數(shù)列，且a36，a60.(1)求an的通項公式；(2)若等比數(shù)列bn滿足b18，b2a1a2a3，求bn的前n項和公式解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a36，a60，所以解得a110，d2.所以an10(n1)×22n12.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因為b2a1a2a324，b18，所以8q24，q3.所以數(shù)列bn的前n項和公式為Sn4(13n)18(12分)已知等差數(shù)列an中，a3a716，a4a60，求an的前n項和Sn.解設(shè)an的公差為d，則即解得或因此Sn8nn(n1)n(n9)，或Sn8nn(n1)n(n9)19(12分)已知數(shù)列l(wèi)og2(an1) (nN*)為等差數(shù)列，且a13，a39.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：<1.(1)解設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an1)的公差為d.由a13，a39，得log2(91)log2(31)2d，則d1.所以log2(an1)1(n1)×1n，即an2n1.(2)證明因為，所以1<1.20(12分)在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項和(1)證明由已知an12an2n，得bn11bn1.bn1bn1，又b1a11.bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnn，bnn.ann·2n1.Sn12·213·22n·2n1兩邊乘以2得：2Sn1·212·22(n1)·2n1n·2n，兩式相減得：Sn121222n1n·2n2n1n·2n(1n)2n1，Sn(n1)·2n1.21(12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，an1Sn(n1,2,3，)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)當(dāng)bnlog(3an1)時，求證：數(shù)列的前n項和Tn.(1)解由已知(n2)，得an1an(n2)數(shù)列an是以a2為首項，以為公比的等比數(shù)列又a2S1a1，ana2×()n2(n2)an(2)證明bnlog(3an1)log×()n1n.Tn()()()()1.22(14分)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，對任意nN*，它的前n項和Sn滿足Sn(an1)(an2)，并且a2，a4，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn(1)n1anan1，Tn為數(shù)列bn的前n項和，求T2n.解(1)對任意nN*，有Sn(an1)(an2)， 當(dāng)n1時，有S1a1(a11)(a12)，解得a11或2.當(dāng)n2時，有Sn1(an11)(an12) 并整理得(anan1)(anan13)0.而數(shù)列an的各項均為正數(shù)，anan13.當(dāng)a11時，an13(n1)3n2，此時aa2a9成立；當(dāng)a12時，an23(n1)3n1，此時aa2a9不成立，舍去an3n2，nN*.(2)T2nb1b2b2na1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)6a26a46a2n6(a2a4a2n)6×18n26n.